3.1 列代数式表示数量关系 教案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该教案聚焦代数式概念、列代数式及反比例关系，通过“青蛙儿歌”游戏从具体数字过渡到字母表示，复习旧知巩固代数式，对比正比例引入反比例，搭建连贯的知识支架。 以智能机器人、冬奥会造雪等现实情境为载体，引导学生抽象数量关系，培养抽象能力与符号意识，典例结合商品售价等实例，助力用数学语言表达实际问题，提升学生应用意识，也为教师提供结构化教学方案，高效落实核心素养。

3.1列代数式表示数量关系 第1课时代数式（1） 教学设计 课题 第1课时代数式（1） 授课人 教学目标 1.了解代数式的概念,能用代数式表示简单问题中的数量关系 2.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义, 3.通过具体例子感受“同一个代数式可以表示不同的实际意义”“理解符号所代表的数量关系” 教学重点 用字母表示数的意义 教学难点 正确地说出代数式所表示的数量关系 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 一只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水； 两只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水； 三只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水； 请接下去: 十只青蛙10张嘴，20只眼睛40条腿，10声扑通跳下水； 一百只青蛙100张嘴，200只眼睛400条腿，100声扑通跳下水； …… a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，a声扑通跳下水； 通过游戏导入新课，激发学生的学习兴趣，为新知教学做铺垫. 探究新知 问题1 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人可以1s完成5m²范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题： (1)该机器人10s能识别多大范围内的苹果?60s呢?ts呢? (2)该机器人识别nm²范围内的苹果需要多少秒? (3)若该机器人搭载了m个机械手(m＞1)，它与采摘工人同时工作1h,已知工人平均5s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果? 解:（1）该机器人10s能识别的范围是5×10＝50； 60s能识别的范围是5×60＝300； ts能识别的范围是5×t＝5t. 注意：在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写.例如，5×t可以写成5·t或5t. （2）该机器人识别nm²范围内的苹果需要的时间是s. （3）机器人多采摘的苹果个数 ＝机器人采摘的苹果个数－工人采摘的苹果个数 ＝一个机械手的采摘效率×工作时间×机械手的个数－工人的采摘效率×工作时间 ＝×3600×m－×3600 ＝450m－720. 问题2 （1）某工程队负责铺设一条长2km的地下管道，经过d天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度. 解：平均每天铺设的管道长度＝铺设的管道总长度÷工作天数.因此，这支工程队平均每天铺设的管道长度是km. （2）一个正方形的边长是a,这个正方形的周长l是多少?面积S呢? 解：由正方形的周长及面积公式，可得周长l＝4a，面积S＝a2. 由上述问题得出下列式子，观察这些式子有什么特点？ 5t，，450m－720，，4a，a2. 它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 单独的一个数或字母也是代数式，例如，5,t都是代数式. 通过生活例子让学生自己得出规律. 典例精析 【例1】下列式子：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0．其中是代数式个数的有（　　） A．2个B．3个C．4个D．5个 【解析】此题考查了代数式，用加、减、乘、除、乘方、开方等运算连接起来的式子叫做代数式，单个的数字或字母也是代数式，根据代数式的定义进行判断即可． 【解】代数式为①；②；④，⑦0，共4个， 故选：C 【例2（教材P70例1）】苹果原价是p元/kg,现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； (2)一个长方形的长是0.9m,宽是pm,用代数式表示这个长方形的面积； (3)某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量； (4)一个长方体水池底面的长和宽都是am,高是hm,池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积. 【解】(1)苹果的售价是0.9p元/kg; (2)这个长方形的面积是0.9pm²; (3)去年的产量是(2n－10)件； (4)由长方体的体积＝长×宽×高，得这个长方体水池的容积是a·a·hm3,即a²hm³,故池内水的体积为a²hm³. 【方法总结】用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.例如，在例1第(1)(2)题中，0.9p既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积. 【例3（教材P71例2）】说出下列代数式的意义： （1）2a＋3；（2）2(a＋3)；（3）；（4）x²＋2x＋3. 【解】(1)2a＋3的意义是a的2倍与3的和； (2)2(a＋3)的意义是a与3的和的2倍； (3)的意义是c除以a,b的积的商； (4)x²＋2x＋3的意义是x的平方，x的2倍，与8的和. 进一步巩固所学新知，提高学生的新知识运用能力，同时培养学生养成细心检查的好习惯. 随堂检测 1.在，，，，0，，中，是代数式的有（　A　） A．5个 B．4个 C．3个D．2个 2.如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（C）平方厘米． A．B．C．D． 3.贵阳某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式，关于这个代数式，下列说法正确的是（ C ） A．表示3与的和 B．表示3与的商 C．表示单价为3元的钢笔买了支的总价 D．表示3与的差 4.请你对“”赋予一个实际含义：． 【答案】一个作业本元，小明买了个作业本，共付了多少钱？（答案不唯一） 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 (1)代数式的概念、意义是什么？ (2)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？学习本节课后，还存在哪些困惑？ 巩固所学知识，加深对代数式的理解. 作业布置 《课时训练》p45-46练习题 板书设计 第1课时代数式（1） 5t，，450m－720，，4a，a2. 它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 单独的一个数或字母也是代数式，例如，5,t都是代数式. 教学反思 第2课时 代数式（2） 教学设计 课题 第2课时 代数式（2） 授课人 教学目标 1.进一步理解字母表示数的意义，能结合具体情景给字母赋于实际意义；理解代数式和代数式的值的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，在具体情景中能求出代数式的值. （重难点） 2.通过创设实际背景和引用符号，经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程，体会数学与现实世界的联系，增强符号感，发展运用符号解决问题和数学探究意识. 教学重点 　根据数量关系列代数式 教学难点 　正确地说出代数式所表示的数量关系 授课类型 课时 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 （1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是　　　　，体积是　　　　Ｗ. （2）设n表示一个数，则它的相反数是　　　　； （3）铅笔的单价是x元，钢笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则钢笔的单价是　　　　元. （4）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为　　　　千米. 回顾旧知，加深对代数式的理解，为新课做铺垫. 探究新知 思考： 如何用代数式表示a、b两数的和与差的积？ 所以a、b两数的和与差的积为(a＋b)(a－b) 在本套书中，如无特别说明，a,b两数的差，a与b的差，都指“a－b”. 通过例子让学生自己得出规律. 典例精析 【例1（教材P72例3）】用代数式表示： (1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数. (2)把a元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%,到期时的利息是多少元? (3)某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元? 【解析】(1)总钱数＝2个面包的总价＋3瓶饮料的总价；(2)利息＝本金×年利率×存期；(3)现在的售价＝原来的标价一降价数. 【解】(1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2a＋3b)元. (2)根据题意，得a×2.75%×3＝8.25%a,因此到期时的利息为 8.25%a元. (3)现在的售价为(1.1x－80)元. 【例2（教材P72例4）】甲、乙两地之间公路全长240 km,汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h. (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时? (2)如果汽车的行驶速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?汽车加快速度后可以早到多少小时? 【解析】本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系：时间＝.另外，早到的时间＝原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间. 【解】(1)汽车从甲地到乙地需要行驶 h. (2)如果汽车的行驶速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行 h.汽车加快速度后可以早到（－）h. 进一步巩固所学新知，提高学生的新知识运用能力，同时培养学生养成细心检查的好习惯. 随堂检测 1．某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（D  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 2．某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付（ C ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．一个长方形的周长为，若它的一边长用字母表示，则它的面积是（   A ） A． B． C． D． 4．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”m人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（ B ） A． B． C． D． 5．某工程队要修路a m，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为 天． 6．买一个足球要m元，买一个篮球要n元，则买3个足球、5个篮球共需要 元． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 1．数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，也可写成“.”；数字与数字相乘，乘号不能省略；数字要写在字母前面； 2．在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式； 3．式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来； 4．带分数一定要写成假分数． 巩固所学知识，加深对代数式的理解. 作业布置 《课时训练》p47-48练习题 板书设计 第2课时 代数式（2） 代数式的意义及列代数式 用字母和数表示实际问题中的数量关系 例题解析 教学反思 第3课时 反比例关系 教学设计 课题 第3课时 反比例关系 授课人 教学目标 1.使学生经历从生活实例中抽象出成反比例关系的量的过程，初步理解反比例的意义，能判断两种量是否成反比例关系. 2.使学生在建构反比例意义的过程中培养观察、比较、分析、抽象、概括等能力，初步感受函数、数形结合等数学思想方法，发展思维能力. 3.在自主探索与合作交流中获得积极的数学学习情感体验. 教学重点 理解反比例的意义，能判断两种量是否成反比例关系. 教学难点 在探究中抽象出反比例的意义，渗透函数思想. 授课类型 课时 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5 m²范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题： (1)该机器人t s能识别多大范围内的苹果? 机器人t s能识别的范围是5t m². 也就是说，机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的(等于5).因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系. 这节课我们一起来学习另一种常见的数量关系——成反比例的量.(板书课题：反比例) 探究新知 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000 m3.解答下列问题： (1)根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表. 40 50 52 (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 造雪天数＝， 每天造雪量为5 000 m³时，造雪天数＝＝52； 每天造雪量为5 200 m³时，造雪天数＝＝50； 每天造雪量为6 500 m³时，造雪天数＝＝40. 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260000.例如，5.000×52＝5200×50＝6500×40＝260000. 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. ★补充：k为比例系数. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0),反比例关系可以用xy＝k来表示. 通过例子让学生自己得出规律. 典例精析 【例(教材P74例5)】 如图所示,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm²,20 cm²,30 cm²,60 cm².分别往这四个容器中注入300 cm³的水. (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用x(单位：cm²)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系? 【解析】题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积＝底面积×高，高＝. 【解】(1)四个容器中水的高度分别为 ＝30(cm),＝15(cm),＝10 (cm),＝5(cm). (2)xy＝300.y与x成反比例关系. 进一步巩固所学新知，提高学生的新知识运用能力，同时培养学生养成细心检查的好习惯. 随堂检测 1．下列各组的两个变量间满足反比例关系的是（ A   ） A．三角形面积一定时，它的一边长与该边上的高 B．等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长 C．正方形的面积与边长之间的关系 D．圆的面积与它的半径 2．一个长方形的周长为，若它的一边长用字母表示，则它的面积是（ A   ） A． B． C． D． 3．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”m人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（ B   ） A． B． C． D． 4．某快递公司的收费标准：5千克以内收费a元，超过5千克的部分每千克按3元收费，小天寄8千克的包裹，需要支付（ C） A．元 B．元 C．元 D．元 5．下面两种量是反比例关系的是（  C  ） A．圆的圆周率和半径 B．圆柱体的底面积一定，体积和高 C．一个房间铺地砖，每块地砖的面积和地砖数量 D．一辆车的速度一定，路程和时间 6．某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（D  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 请同学们谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获? 巩固所学知识，加深对反比例关系的理解. 作业布置 《课时训练》p47-48练习题 板书设计 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 反比例关系可以用xy＝k来表示，k≠0 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $