高二数学第二学期期末试卷分类汇编及模拟预测---二项式定理专题

**基本信息** 二项式定理专题期末汇编及模拟卷，含20道天津地区期末真题与预测题，覆盖展开式系数、二项式系数等核心知识点，梯度设计助力运算能力与推理意识培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空|8|常数项（如2026天津和平二模题）、二项式系数之和（24-25西青期末题）|基础巩固，聚焦核心概念应用| |选择|6|二项式系数最大项（模拟题1）、系数判断（24-25南开期末题）|辨析能力，强化数学思维严谨性| |解答|6|综合应用（如24-25天津期末题三问：系数和、常数项、最大项）|分层设问，提升问题解决与数学语言表达能力|

期末试卷分类汇编及模拟预测---二项式定理专题 1、 期末试题汇编 1．（25-26高二下·天津·期末）二项式展开式中项的系数为 __． 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【详解】二项式展开式的通项为， 令，得，所以展开式中含项的系数为． 2．（2026·天津和平·二模）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 【答案】84 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据展开式的通项，再令进行计算． 【详解】解：二项式的展开式， 当，即时，常数项为． 3．（24-25高二下·天津西青·期末）若 展开式的二项式系数之和为64，n=____________；展开式中x²项的系数为______________ 【答案】 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】第一空，由二项式系数之和为64可得；第二空，由第一空分析可得展开式通项，据此可得答案. 【详解】第一空，因展开式的二项式系数之和为64，则. 第二空，由第一空可得展开式通项为，令， 则展开式中x²项的系数为. 故答案为：；. 4．（24-25高二下·天津和平·期末）已知二项式的展开式中，的系数为28，则的系数为_____. 【答案】70 【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数 【分析】根据二项式的展开式的通项公式先求出，进而求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， ，， 令，得， 由于的系数为28，则，解得， 则，， 令，得， 所以的系数为. 故答案为：70. 5．（24-25高二下·天津西青·期末）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 6．（25-26高二下·天津·期末）多项式的展开式中，含项的系数为______. 【答案】 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】由展开式通项为，再写出的展开式通项，结合所得写出含项的系数即可. 【详解】由可写为，展开式为，， 对于，其展开式为，， 当，即， 若，，则对应项的系数为， 若，，则对应项的系数为， 综上，含项的系数为. 7．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 8．（24-25高二下·天津南开·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 【答案】D 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】对于A，赋值即可判断；对于BC，由二项式定理即可验算；对于D，由二项式系数的增减性即可判断. 【详解】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A错误； 对于B中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B错误； 对于C中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以C错误； 对于D中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以D正确. 故选：D. 9．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 【答案】(1)6； (2)1. 【知识点】二项式的系数和、由项的系数确定参数 【分析】（1）由二项式系数和定义可直接得n的值； （2）由（1）中的n的值求出展开式中的通项式，令的指数等于0，求出通项式中的，带回通项式求得的值. 【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为，所以； （2）因为展开式中的通项公式为，整理得， 令，得， 则，解得. 10．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)1 (2)180 (3) 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）依据题意得到，然后令计算； （2）写出二项式的通项公式，然后令计算； （3）根据二项式系数的对称性可知结果. 【详解】（1）由题意知，或（舍去），所以， 故令，可得展开式中各项系数的和为． （2）由于二项式的通项公式为， 令，求得， 故展开式中的常数项为． （3）要使二项式系数最大，只要最大，故， 故二项式系数最大的项为第6项． 2、 模拟预测 1．的展开式中的第项与第项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第项 B．第项或第项 C．第项 D．第项 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、求二项展开式的第k项 【详解】的展开式的通项为，则，， 依题意有，解得， 所以的展开式中共有项，二项式系数最大的项为第项. 2．的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由二项式定理可知：的展开式中含的项为： ，所以的系数为2. 3．已知，则的值为（   ） A．220 B．450 C．455 D．715 【答案】D 【知识点】组合数的性质及应用、求指定项的系数 【分析】先根据等式两边的常数10确定，再根据二项式系数的性质，即可求得. 【详解】由题可知，等式左边每一个二项式展开之后常数项均为1，等式右边常数项为10， 则左边展开共有10个1，则由可得， 因为为的系数，所以结合等式左边，可得， 则. 4．的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三项展开式的系数问题 【详解】因为， 其展开式的通项公式为， 令，得到，所以展开式中的常数项为. 5．被5除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】整除和余数问题 【分析】由利用二项式定理展开，分析得出结果. 【详解】因为 故， 因是正整数，所以被除所得的余数是. 6．的展开式中常数项为______． 【答案】60 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 7．若，则________（用数字作答）. 【答案】15 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】赋值法进行求解即可. 【详解】由题意得在中， 令，得， 令，得， 故. 8．已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． (1)求； (2)求展开式中第3项与第项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【详解】（1）由二项式系数的定义，第3项的二项式系数为，第2项的二项式系数为， 根据题意得， 即，化简得， 解得（不符合正整数要求，舍去）. （2）由（1）得，二项式的展开式通项为：， 第3项对应，系数为；第项对应，系数为， 由组合数性质，故展开式中第3项与第项的系数比值为. （3）令展开式通项中x的指数为0，即，解得， 代入通项得常数项为：. 9．设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式系数的增减性和最值 【分析】（1）根据二项式系数的性质计算n的值，并求出二项式系数最大项. （2）对展开式中的赋值计算即可. 【详解】（1）因为展开式中所有二项式系数之和为1024，即，所以， 故二项式系数最大的项为. （2）令， 所以，令，可得． 令，可得， 故. 10．已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求n的值； (2)求展开式中各项系数的和； (3)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)5 (2) (3)，， 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、求有理项或其系数 【分析】（1）根据二项式系数和的公式求； （2）利用赋值法求各项系数的和； （3）根据通项公式，求有理项． 【详解】（1）由题意有，解得； （2）时，， 则展开式中各项系数的和为； （3）二项式展开式的通项为 ，当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为，， ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末试卷分类汇编及模拟预测---二项式定理专题 1、 期末试题汇编 1．（25-26高二下·天津·期末）二项式展开式中项的系数为 __． 2．（2026·天津和平·二模）的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） 3．（24-25高二下·天津西青·期末）若 展开式的二项式系数之和为64，n=____________；展开式中x²项的系数为______________ 4．（24-25高二下·天津和平·期末）已知二项式的展开式中，的系数为28，则的系数为_____. 5．（24-25高二下·天津西青·期末）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 6．（25-26高二下·天津·期末）多项式的展开式中，含项的系数为______. 7．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 8．（24-25高二下·天津南开·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 9．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)若展开式中的常数项为20，求m的值. 10．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项. 2、 模拟预测 1．的展开式中的第项与第项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A．第项 B．第项或第项 C．第项 D．第项 2．的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 3．已知，则的值为（   ） A．220 B．450 C．455 D．715 4．的展开式中的常数项为（     ） A． B． C． D． 5．被5除所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．的展开式中常数项为______． 7．若，则________（用数字作答）. 8．已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． (1)求； (2)求展开式中第3项与第项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项． 9．设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． (1)求的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值． 10．已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求n的值； (2)求展开式中各项系数的和； (3)求展开式中所有的有理项． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $