2025-2026学年高二数学下学期期末试卷分类汇编及模拟预测---排列组合专题

**基本信息** 聚焦排列组合专题，精选期末真题与模拟预测题，融合文化传承（如五音音阶排列）、社会热点（如哈尔滨旅游打卡）及生活实际（如房间安排），梯度设计考察数学抽象、逻辑推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|14|分步计数、排列、组合、相邻不相邻问题|以青年音乐节节目排序考察不相邻问题，体现应用意识| |填空题|6|分组分配、染色问题、对数计算|赵爽勾股定理图染色结合数学文化，考察分类讨论能力|

期末试卷分类汇编及模拟预测---排列组合专题 1、 期末试题汇编 1．（24-25高二下·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 3．（24-25高二下·天津西青·期末）据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为____________种.(用数字作答) 4．（24-25高二下·天津·期末）2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（   ） A．280 B．336 C．360 D．408 5．（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 6．（24-25高二下·天津和平·期末）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ） A．100 B．120 C．200 D．210 7．（24-25高二下·天津·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 8．（24-25高二下·天津南开·期末）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 9．（24-25高二下·天津·期末）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种． 10．（24-25高二下·天津和平·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 2、 模拟预测 1.（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 2．（23-24高二下·河北石家庄·阶段检测）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 3．（25-26高二下·上海闵行·期末）从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（     ）种 A．48 B．288 C．312 D．336 4．（22-23高二下·天津西青·期末）某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（    ） A．14种 B．48种 C．72种 D．120种 5．（25-26高二下·北京·期末）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有 __ 种．（用数字作答） 6．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 7．（25-26高二下·上海静安·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数，共可得___________个不同的对数值． 8．（24-25高二下·四川泸州·期末）从2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5中任取1个数字，共可组成无重复数字的三位数的个数____________（用具体数字作答）. 9．（25-26高二下·浙江·阶段检测）无人机送物成为人工智能时代的一种流行的物流方式.现在有部不同无人机可供调用给个街区送物（如图），若每部无人机只能给个区块或者两个相邻区块进行送物，所有区块均需配送，则不同分配方案种数为______. 10．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）某班一天上午有节课，下午有节课，该班一天中语文、英语、政治、体育各有一节课，数学有两节课.现安排一个课程表，要求两节数学课相邻（上午最后一节和下午第一节算不相邻），体育课不能排在上午第一节，则不同的排法共有________种.（用数字作答） 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末试卷分类汇编及模拟预测---排列组合专题 1、 期末试题汇编 1．（24-25高二下·天津西青·期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意可知每人均有3种菜品可供选择，结合分步乘法计数原理即可得结果. 【详解】由题意可知：每人均有3种菜品可供选择， 所以选法的可能方式共有种. 故选：B. 2．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【详解】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 3．（24-25高二下·天津西青·期末）据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为____________种.(用数字作答) 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由插空法，捆绑法结合分步计数原理可得答案. 【详解】先从剩下3个音符中选一个插入“徵”和“羽”之间，有种情况. 再将这3个音符作为整体与剩下2个音符排成1列，有种情况. 故答案为： 4．（24-25高二下·天津·期末）2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（   ） A．280 B．336 C．360 D．408 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】利用间接法，首先求第一个节目不排大合唱的方法种数，再减去两个节目相邻的方法，即可求解. 【详解】间接法：第一个节目不排大合唱，共有（种）不同的排法，第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目相邻共（种），所以第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目不相邻共有（种）排法， 故选：D. 5．（24-25高二下·天津·期末）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．8400 B．11760 C．13440 D．20160 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他排列模型、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，进而根据计数原理得到最终结果. 【详解】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果， 再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果， 因此根据计数原理可知共有种结果. 故选：B 6．（24-25高二下·天津和平·期末）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ） A．100 B．120 C．200 D．210 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外安排的一人，即可求解. 【详解】先从7人中任选1人参加两天的服务，再从余下的6人中选2人参加两天的服务（每人各1天）， 所以两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为. 故选：D. 7．（24-25高二下·天津·期末）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种， 所以，满足条件的参赛方案有种. 故选：B 8．（24-25高二下·天津南开·期末）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（   ）种 A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项. 【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间． 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为， 若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为， 则不同的安排方法有种． 故选:． 9．（24-25高二下·天津·期末）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种． 【答案】36 【知识点】排列组合综合、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】先分析出甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数有3，1，1和2，2，1两种可能，再按照先选后排的原则写出式子计算即可. 【详解】由题意可知，甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数 有3，1，1和2，2，1两种可能， ①在3，1，1方案中，包含甲乙在内的3人到一所学校， 另外两人各到一所学校，有种方案； ②在2，2，1方案中，甲乙去一所学校，其余3人中的1人去一所学校， 剩余2人去另一所学校，有种方案， 因此，所有的分配方案共有种， 故答案为：36. 10．（24-25高二下·天津和平·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 【答案】 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】按同色区域用黄色和不用黄色分类，再结合分步乘法计数原理列式计算即得；按用色多少分成3类，再在每一类中采用先取后排的方法列式计算即得. 【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色， ①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法， 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，分3种情况讨论： ①若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法； ③若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法， 综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：染色问题，可以按用色多少分类，再在每一类中找同色方案，并结合排列组合综合问题求解. 2、 模拟预测 1.（2026·安徽六安·模拟预测）子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．40种 B．120种 C．200种 D．240种 【答案】D 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 2．（23-24高二下·河北石家庄·阶段检测）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 【答案】C 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 3．（25-26高二下·上海闵行·期末）从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（     ）种 A．48 B．288 C．312 D．336 【答案】B 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】方法一，根据分步计数原理，分一男两女、两男一女两种情况分别计算出选派方案数后，再根据分类加法计数原理求和即可；方法二，用总选派方案数减去全男、全女不符合要求的方案数即可. 【详解】方法一：直接法． 男女教师都有的情况分为两种： 第一种，选派1名男教师，2名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 第二种，选派2名男教师，1名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 根据分类加法计数原理，总选派方案数共有种； 方法二：间接法. 从8名教师中任选3名教师分配到3个班的总选派方案数为种， 其中全是男教师或全是女教师的情况不符合要求， 两类不符合的选派方案数均为种， 故符合要求的选派方案数为种. 4．（22-23高二下·天津西青·期末）某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（    ） A．14种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】D 【知识点】排列组合综合 【分析】按照合唱歌曲的个数来分类：可能选出两首，可能是一首，合唱歌曲有要求，则需要先排，然后进行排列. 【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排合唱歌曲在最后，其余的全排列，共种； （2）若选取两首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排选一首合唱歌曲在最后有种方法，其余的全排列，共种. 因此一共种. 故选：D 5．（25-26高二下·北京·期末）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有 __ 种．（用数字作答） 【答案】216 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【详解】依题意分两步完成：先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，将4名学生分配到3个补给站，且每个补给站至少1名学生，所以分组方式是“2，1，1”，有种情况， 根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法有种． 6．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 【答案】114 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据排列组合知识，结合部分平均分组法、捆绑法求解即可. 【详解】先将5人分为3组，有两种分法（3,1,1；2,2,1）：， 再将3组进行全排列，方案数 ：， 把甲乙看作1个整体，相当于4个元素分到3组，共有（1种分法：2,1,1）：， 再将3组进行全排列，方案数：， 所以满足上述要求的不同安排方案数为：. 7．（25-26高二下·上海静安·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数，共可得___________个不同的对数值． 【答案】53 【知识点】排列组合综合 【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数共有：种情况， 当时，不管取何值，相应的对数值都是0； 当时，，，，，共有4对相同的对数值. 所以共可得不同的对数值的情况为：种. 8．（24-25高二下·四川泸州·期末）从2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5中任取1个数字，共可组成无重复数字的三位数的个数____________（用具体数字作答）. 【答案】108 【知识点】数字排列问题、全排列问题、代数中的组合计数问题 【分析】应用分步计数及组合排列数求三位数的个数即可. 【详解】由题设，所得三位数有个. 故答案为：108 9．（25-26高二下·浙江·阶段检测）无人机送物成为人工智能时代的一种流行的物流方式.现在有部不同无人机可供调用给个街区送物（如图），若每部无人机只能给个区块或者两个相邻区块进行送物，所有区块均需配送，则不同分配方案种数为______. 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】分情况讨论：（1）若有部无人机只负责配送区域；（2）若有部无人机负责配送区域与区域.然后确定剩余部无人机所负责的区域，结合分步和分类计数原理可得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： （1）若有部无人机只负责配送区域，则其余部无人机分别负责个区域， 则剩余部无人机分别负责区域与区域、区域与区域、区域与区域， 或区域与区域、区域与区域、区域与区域， 或区域与区域、区域与区域、区域与区域， 此时不同的分配方案种数为种； （2）若有部无人机负责配送区域与区域，则剩余部无人机有部负责个区域，有部无人机只负责个区域， 则剩余部无人机分别负责区域、区域与区域、区域与区域， 或区域、区域与区域、区域与区域， 或区域、区域与区域、区域与区域， 此时不同的分配方案种数为种. 综上所述，不同的分配方案种数为种. 10．（25-26高二下·浙江嘉兴·期末）某班一天上午有节课，下午有节课，该班一天中语文、英语、政治、体育各有一节课，数学有两节课.现安排一个课程表，要求两节数学课相邻（上午最后一节和下午第一节算不相邻），体育课不能排在上午第一节，则不同的排法共有________种.（用数字作答） 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】先排体育课，结合分类即可求解. 【详解】若体育排在上午第二节，则两节数学可以排在上午的第三四节和下午的一二节，有两种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在上午第三节，则两节数学可以排在上午的第一二节和下午的一二节，有两种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在上午第四节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午的二三节，以及下午的一二节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在下午第一节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午第二三节或者上午的三四节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有, 若体育排在下午第二节，则两节数学可以排在上午的第一二节，或者上午第二三节或者上午的三四节，有3种选择，剩余三节课任意排，故有, 综上可得总共有种方案. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $