12.3 等腰三角形 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形与等边三角形的性质及判定，通过复习旧知回顾定义，结合剪纸片对折实验导入新知，衔接全等三角形知识，构建从具体操作到抽象性质的学习支架。 其亮点在于融入数学核心素养，以折叠实验培养几何直观（数学眼光），通过性质判定证明强化推理能力（数学思维），分层练习如角度计算、平行线判定等腰三角形提升应用意识（数学语言），助力学生掌握知识，教师教学更高效。

12.3 等腰三角形 第十二章 全等三角形 12.3.1等腰三角形的性质 学习目标 1、了解等腰三角形、等边三角形的概念. 2、掌握等腰三角形、等边三角形的性质. 3、熟练应用等腰三角形及等边三角形的性质进行应用解题. 2.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图，AB=AC，△ABC就是等腰三角形. 复习旧知 ------------- A C B D A C B D ------------- -------------- ----------- 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗? 探究新知 做一做 可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C. 探究新知 由此得到以下等腰三角形的性质: 等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”) 归 纳 已知：如图，△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C . 验 证 A B C 证明：作顶角∠BAC的平分线AD. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（角平分线的定义）， AD＝AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD(SAS)， ∴∠B＝∠C( 全等三角形的对应角相等 ). A B C D ( ( 1 2 探究新知 探究新知 例1 已知:在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的大小. 解: ∵ AB=AC（已知)， ∴∠C=∠B=80°(等边对等角). 又∵ ∠ A＋ ∠ B+ ∠ C=180°（三角形的内角和等于180°), ∴∠ A =180°- ∠ B- ∠ C（等式的性质) =180°- 80°- 80°= 20°. 探究新知 从以上证明你还可以得到什么结论? AD是等腰三角形底边上的中线，还是底边上的高线，还是顶角的角平分线 A B C D ( ( 1 2 归 纳 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”) 例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°. 求：(1)∠ADC的大小； A D C 1 2 ∴AD⊥BC(等腰三角形 “三线合一”). ∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义). 解：(1) ∵AB = AC，BD=DC（已知）， B 探究新知 (2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°）， ∠B=30° （已知）， ∴∠1=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90° =60°. 例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°. 求：(2)∠1的大小. A D C 1 2 B 探究新知 思考 如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗？ 探究新知 P A B Q O 探究新知 P A B Q O 例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线 证明 如图，设AB与PQ相交于点0，连结PA、PB、 QA、PQ.在△APQ和△BPQ中， ∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ, ∴ △APQ △BPQ（SSS）. ∴∠APQ=∠BPQ（全等三角形的对应角相等）. 又∵AP=BP， ∴AO=BO且PQ⊥AB（等腰三角形的三线合一） 因此直线PQ是已知线段B的垂直平分线. ≌ 探究新知 思考 如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP.当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗 探究新知 比较垂线的作法示意图与垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线，那么类似于垂直平分线的证明，自然就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线. 三条边都相等的三角形是等边三角形. 如图,在等边三角形中,每个角的度数是多少呢? 显然，AB= AC,根据“等边对等角”, 可以得到∠ B= ∠ C，同理可得∠ A = ∠ B， 所以∠ A =∠B = ∠ C. 而∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°， 所以∠ A =∠ B = ∠ C= =60°. 探究新知 A C B 探究新知 也就是说: 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,也称为正三角形. 归 纳 巩固练习 1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 . 2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长 是 . 3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长 是 . 10 cm 10 cm 或 11 cm 19 cm 巩固练习 4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 . 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°，30° 5.如图，在△ABC中，D是边BC上的一点.若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的度数为 　⁠.  34°　 巩固练习 6.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，CE平分∠ACB.若AB＝AC，∠CAD＝20°，求∠AEC的度数. 解：∵AD是边BC上的中线，AB＝AC， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°. ∴∠B＝∠ACB＝（180°－∠CAB）＝70°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACB＝35°. ∴∠AEC＝∠B＋∠BCE＝105°. 巩固练习 6.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，CE平分∠ACB.若AB＝AC，∠CAD＝20°，求∠AEC的度数. 解：∵AD是边BC上的中线，AB＝AC， ∴∠CAB＝2∠CAD＝40°， ∴∠B＝∠ACB＝（180°－∠CAB）＝70°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACB＝35°， ∴∠AEC＝∠B＋∠BCE＝105°. 巩固练习 12.3 等腰三角形 第十二章 全等三角形 12.3.2等腰三角形的判定 学习目标 1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的 判定定理. 2.能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定 理与判定定理解决有关问题. 复习旧知 等腰三角形的性质: 1.等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”) 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合(简称“三线合一”) 从这里你还可以得到什么结论?  探究新知 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 画画看，你发现了什么？ 已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC． C A B 2 1 D （ （ 做一做 证明两条线段相等常用什么方法？ 有哪些构造全等三角形的方法？ 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2，（角平分线的定义） ∴△ABD≌△ACD（A.A.S.）. ∠B=∠C（已知）， AD=AD（公共边）， ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)， ∴△ABC是等腰三角形. 画∠BAC的平分线交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ 已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC． 想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？ 探究新知 从这里你还可以得到什么结论?  探究新知 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 归 纳 等角对等边 等边对等角 探究新知 ∴ AC=AB ( ). 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C ( ), 已知 等角对等边 在△ABC中， B C A ( ( 几何语言: 例4 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC. A B C 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内 角和等于180°）， ∠A=40°，∠B=70°（已知）， ∴∠C=180°-∠A-∠B（等式的性质）， =180°-40°-70°=70°. ∴∠C=∠B（等量代换）. ∴AB=AC（等角对等边）. 探究新知 探究新知 1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗? 请说明理由. 思 考 2.有一个角等于60° 的等腰三角形是等边三角形吗?请说明理由. A B C 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 判定1： 探究新知 结 论 www.czsx.com.cn A B C 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 1 2 探究新知 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 结 论 www.czsx.com.cn 例5 如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC. 证明：∵ AB∥CD （已知）, ∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠B= ∠1（等量代换）. ∴ AB=AC（等角对等边）. 1 2 A B C D ( ( 探究新知 ∵ ∠ACB= ∠ A'C'B'=90°(已知）， ∴ ∠BC'B'= ∠ACB+∠ A'C'B'=180°. 即点B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B中， AB= A'B'（已知）， ∴ ∠B= ∠B'（等边对等角）. 在△ABC和 △A'B'C'中， ∠B= ∠B'（已证）， ∠ACB= ∠ A'C'B'（已知）， AC= A'C'（已知）， ∴Rt△ABC≌Rt △A'B'C'（AAS）. 例6 如图，在Rt△ABC和Rt △A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB= A'B',AC= A'C',求证： Rt△ABC≌Rt △A'B'C'. A B' A' C B C' B 证明：由于直角边AC= A'C',我们移动Rt△ABC使点A与点 A'重合，点C和点C'重合，且使点B和点B'分别位于A'C'两侧. （A） （C） 这样我们就证明了前面给出的HL判定定理 探究新知 1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么? △ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°, 所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,所以△ABC是等腰三角形. 2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________. 36° 72° △ABC △DBA △BCD A B C D ( ( 1 2 巩固练习 3. 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为___ cm. 9 4.已知：AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC. 则∠C＝________，∠B＝________； 30° 30° 巩固练习 5. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点D，E,求证：DE＝BD＋AE. 证明：∵DE∥AB， ∴∠ABP＝∠DPB, ∠BAP＝∠EPA. ∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P， ∴∠ABP＝∠DBP, ∠BAP＝∠EAP. ∴∠DBP＝∠DPB, ∠EAP＝∠EPA. ∴DP＝DB，EP＝EA. ∴DP＋EP＝DB＋EA，即DE＝BD＋AE. 巩固练习 6.已知：AB＝AC，∠B=∠C=30°，AD⊥AB，AE⊥AC. 求证：△ADE是等边三角形． 解：∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义)． ∵ ∠B＝∠C＝30°(已知)， ∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角互余)． ∴∠EAD=60°（三角形内角和为180°）. ∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°. ∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)． 巩固练习 7.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形， ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A，O，D三点共线，∴∠COB =60°. ∴ ∠DOB=∠COA=120°. ∴ △COA ≌△DOB(S.A.S.). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 巩固练习 巩固练习 8.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的相邻外角的平分线CF交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，延长BC至点M.试说明BD、CE、DE之间的数量关系. 解：∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠FBC. ∵DF∥BC， ∴∠DFB=∠FBC.∴∠ABF=∠DFB. ∴△BDF是等腰三角形.∴BD=DF=DE+EF. ∵CF是∠ACM的平分线， ∴∠ACF=∠FCM. ∵DF∥BC，∴∠EFC=∠FCM.∴∠ACF=∠EFC. ∴△CEF是等腰三角形.∴CE=EF. ∴BD=CE+DE. $