河北保定市博野县部分校联考2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题

2025~2026学年度期末考试卷 高一数学 测试模块：必修第二册 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，是复数，若，，则 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数 A．2 B．1 C．-1 D．-2 3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球 A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 5．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 6．从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为 A． B． C． D． 7．如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为37°，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为30°，则楼的高为 参考数据：． A．米 B．米 C．米 D．米 8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点，分别为棱，的中点，且，，，则球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是 A．该组数据的极差为 B．该组数据的70%分位数为 C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 10．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，且，则，关于轴对称 C．若，则 D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则 11．如图，是边长为2的正六边形的中心，是正六边形边上的动点，则 A． B． C．的最大值为6 D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 13．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为________． 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知向量与的夹角为，，． （1）若，求实数的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分） 甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． （1）求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； （2）求此次比赛进行3局就结束的概率． 17．（本小题满分15分） 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 18．（本小题满分17分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求A； （2）若，的面积为． （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长． 19．（本小题满分17分） 如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $期末数学答案 1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.A8.C 9.AD 10.BC 11.ACD 12.4813.2214.(（1+2) 15.解：)因刘2a+)1(6-而)，所(a+6)(a-6)-=0.2分 所以2a+0-2a.5-B-0,2x+0-20x2x1xeos2-x2=0 4分 解得2 6分 aa+2-+2a6=3xf+2x1x2个-1 8分 pa+20l-9f+12 a2+4-9+12x1x2x24×2= 11分 cos0= a:(3a+2b）113 设向量d与3ā+2b的夹角为8，则 3a+261313 13分 16.解：(1)设每局比赛中，甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,甲、乙平局为事件C, --引8P到号 4分 PG-1P0P-16号5. 6分 (2)设比赛进行3局就结束为事件D,第局比赛中甲获胜为事件A,第局比赛中乙获胜为事件B, i=1,2,3 则D=A4,4+A4,4+BB,B,+BB,B，, 9分 所uP(D)=P(I44)+P(444)+P(E8,B)+P(BB,B) 12分 -2-哈- 15分 17.解：(1)根据题意，(0.015+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030.3分 0.15×55+0.20×65+0.30×75+0.25×85+0.10×95=74.5, 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5.7分 (2)由频率分布直方图可知评分在[60,70），[70,80)的频率比为2：3， 则样本中在[60,80)内的评分的平均数为5艾 2x64.5+3×745=70.5 11分 F4中60则n5花x4-(5-05时]+-(s-03j]-3s 15分 sin B-sinC=(sin 4+sin c)(a-c) b-c=(a+c)(a-c) 18.解：(1)因 b ，由正弦定理，得 b cosA=b'+c-a bc I 即b2+c2-a2=bc,所以 2bc2bc2,4分 Aπ 又1∈(0，)，所以13.5分 ex2x3 (2)(i) 2 22，解得c=3. 7分 2=b2+c2-2bcc0sA=4+9-2×2x3x】=7 由余弦定理，得 2,所以a=V7,9分 所以△ABC的周长为a+b+C=V7+2+3=V7+5.10分 (i)设BD=V7m,CD=V7n,m+n=l,m,n∈(0,1) SAARD.V7m 1125 -=m 所以SacV7,则S=S△4m=mSac,所以mSAAnC9m,1分 1-123 同理可得S,Sa4c9n，12分 9+1-185+25-259+）-259+m+m-23(9+m+10} 所以SS29m9n9(mn9mn 十 n 323 9 9n m 1 3 当且仅当m”,即”4，m4时等号成立， n=- 14分 CD= 所以 4 COSC=a'+b-c_7+4-9 又在△ABC中， 2ab 2×2√714 AD2=AC2+CD2-2ACxCDcosC=4+ 2×2× 7V763 在△ACD中， 4 41416 D3V分 所以 4. 17分 19.(1)证明：如图，连接4C,交AC于点F,连接FD、 4F4C-1 在三棱台ABC-AB,C中，ACAC,所以CFCA2, 2分 ED 1 又D是棱BC的中点，E是线段BD的中点，所以DC2, ED AF 所以DCCF,所以4EFD,4分 又AE￠平面CAD,FDc平面CAD,所以AE∥平面CAD.5分 (2)解：过D作D0LAC,垂足为O,过O作OM1AG,垂足为M,连接MD,CO. 6分 因为AA1平面ABC,DOc平面ABC,所以A41D0, 又D0⊥AC,AC∩A4=A,AC,AAC平面ACCA,所以D0L平面ACCA .7分 因为ACC平面ACCA,所以D0⊥AC, 又OM⊥AC,MO∩D0=O,MO,DOc平面MOD,所以AC1平面MOD, 8分 因为MDc平面MOD,所以AC,1MD,所以∠OMD为二面角D-AC-C的平面角.9分 0-41,4C-a+4G-5oN-4Oo2-居 2 AC 5 MD=D0+0M=1+5-5 43 在Rt△MOD中，∠MOD=90°， cos∠OMD=OM2 3 所 MD3,即二面角D-AC-C的余弦值为3. 11分 (3)解：因为BBCD,BB￠平面CAD,CDC平面CAD,所以BB,∥平面CAD, 所以点B到平面C4D的距离等于点B到平面CAD的距离.13分 设点B到平面CAD的距离为d, ”6m-方x×m写4对x0xD-x2对-员 1 2 1 .1 1 V三校雏B-GAD=3> xdSc有xX×AC XMD=3dXx5x3 2 52. d2 4 d=- 由'=模能G-40=P=楼8G0,得23，解得从3,15分 ino=d d 345 = 设直线AB与平面CAD所成角为B,所以 BVA4+48515 45 即直线AB与平面C4D所成角的正弦值为15.17分