7.5 空间直线、平面的垂直 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以空间直线、平面垂直为核心，通过基础辨析、空间推理到综合应用的三级分层设计，强化概念理解与逻辑推理，适配一轮复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线面垂直判定与性质|单选题1-2、填空题10聚焦概念辨析，如线面垂直性质的正误判断，培养空间观念| |能力提升|空间几何体中垂直关系|单选题5-7、多选题8-9结合正方体、三棱柱等模型，考查动态几何与线面垂直判定，发展几何直观| |综合应用|垂直关系综合证明|解答题13-14需结合菱形、三棱锥等复杂情境，论证面面垂直及存在性问题，提升推理能力与数学表达|

第5节　空间直线、平面的垂直 一、单选题 1.(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　) A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β D.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β 2.下列命题中正确的是 (　　) A.如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a B.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β C.如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a D.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 5.(2026·承德质检)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E是棱BC上的动点(包括端点)，则满足PE⊥DE的点E有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AD⊥SC C.平面SAC⊥平面SBD D.BD⊥SA 7.(2026·烟台调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　) A.有且仅有1条 B.有且仅有2条 C.有且仅有3条 D.有无数条 二、多选题 8.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 9.(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 三、填空题 10.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是　　　　.   11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件:①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的　　　　时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).  12.已知A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，则当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝　　　　.  四、解答题 13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若∠ABC＝60°，求证:平面PAB⊥平面PAE. 14.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，M为AC的中点. (1)求证:平面PBC⊥平面PAB; (2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 第5节　空间直线、平面的垂直 一、单选题 1.(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是(　　) A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β D.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β 答案　C 解析　若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，A错误; 若m⊥α，m⊥β，则α∥β，B错误; 若m∥α，m⊥β，则α⊥β，C正确; 若m⊂α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m⊂β， D错误. 2.下列命题中正确的是 (　　) A.如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a B.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β C.如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a D.如果平面α垂直于平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案　C 解析　若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确. 3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 答案　C 解析　因为AB＝CB，且E是AC的中点， 所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE. 因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.故选C. 4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 答案　A 解析　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1. ∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上. 5.(2026·承德质检)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E是棱BC上的动点(包括端点)，则满足PE⊥DE的点E有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案　B 解析　如图，连接AE. 由已知可得PE⊥DE， PA⊥DE， 又PA∩PE＝P， 所以DE⊥平面PAE， 所以DE⊥AE，所以点E在以AD为直径的圆上，又由几何关系可知，以AD为直径的圆与直线BC相切， 故满足条件的点E只有1个. 6.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　) A.AC⊥SB B.AD⊥SC C.平面SAC⊥平面SBD D.BD⊥SA 答案　D 解析　由题意知SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故SD⊥AC， 又四棱锥S－ABCD的底面为正方形， 即AC⊥BD， 而SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD， 故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD， 故AC⊥SB，A正确; SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 故SD⊥AD， 又四棱锥S－ABCD的底面为正方形， 即AD⊥CD， 而SD∩CD＝D，SD，CD⊂平面SCD， 故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD， 故AD⊥SC，B正确; 由于AC⊥平面SBD，AC⊂平面SAC， 故平面SAC⊥平面SBD，C正确; SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 故SD⊥BD，若BD⊥SA， 而SD∩SA＝S，SD，SA⊂平面SAD， 故BD⊥平面SAD，又AD⊂平面SAD， 故BD⊥AD，即∠BDA＝90°， 这与正方形ABCD中∠BDA＝45°矛盾，D错误. 7.(2026·烟台调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　) A.有且仅有1条 B.有且仅有2条 C.有且仅有3条 D.有无数条 答案　D 解析　如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E， 连接DE， 当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下: 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD， 又MD＝NE， 所以四边形MDEN为平行四边形， 所以MN∥DE. 因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD， 所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN. 所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN， 此时满足条件的直线MN有无数条. 二、多选题 8.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 答案　BD 解析　对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直; 对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ ED＝E，CE，ED⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE; 对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直; 对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB， 因为ED∩CE＝E，ED，CE⊂平面CDE， 所以AB⊥平面CDE. 9.(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 答案　BD 解析　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 又AD⊂平面ABC， 则AA1⊥AD， 即·＝0， 因为△ABC是正三角形，D为BC中点， 则AD⊥BC，即·＝0， 又 ， 所以·＝()···≠0， 则AD与A1C不垂直，故A错误; 因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱， 所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC， 因为△ABC是正三角形，D为BC的中点， 则AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，B正确; AB∥A1B1，AD与AB相交， 所以AD与A1B1异面，C错误; CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，D正确. 三、填空题 10.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是　　　　.   答案　平行 解析　依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，故l⊥平面ABC， 又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，故m⊥平面ABC， ∴l∥m. 11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件:①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的　　　　时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).  答案　②(或③) 解析　连接AC(图略)，∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥BD. ∵底面各边都相等，∴AC⊥BD. ∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC， ∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC. 当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD. 12.已知A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，则当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝　　　　.  答案　2 解析　取AB的中点为E， 连接DE，CE(图略). 由题意知DE⊥AB，当平面ADB⊥平面ABC时，平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB， 则DE⊥平面ABC. 因为CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE. 由已知可得DE＝，CE＝1， 所以在Rt△DEC中，CD＝＝2. 四、解答题 13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若∠ABC＝60°，求证:平面PAB⊥平面PAE. 证明　(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. (2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD， 所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， 所以AE⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE. 14.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，M为AC的中点. (1)求证:平面PBC⊥平面PAB; (2)线段PC上是否存在点N，使得PC⊥平面BMN?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. (1)证明　因为平面PAC⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，PA⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以PA⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 又PA＝1，PC＝，PA⊥AC， 所以AC＝. 又AB＝BC＝1，所以AC2＝AB2＋BC2， 所以AB⊥BC.又PA⊥BC，PA，AB是平面PAB内的两条相交直线， 所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PAB. (2)解　存在，当时，PC⊥平面BMN， 过点M作MN⊥PC，垂足为N，连接BN， 由(1)知PA⊥平面ABC， 因为MB⊂平面ABC，所以PA⊥MB. 又M为AC的中点，AB＝BC＝1， 所以MB⊥AC，因为PA，AC是平面PAC内的两条相交直线， 所以MB⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC， 所以MB⊥PC，因为MN⊥PC，MB，MN是平面BMN内的两条相交直线， 所以PC⊥平面BMN. 由已知得sin∠PCA＝， 又MC＝AC＝， 即，得MN＝， 又CN＝， 所以PN＝PC－CN＝， 所以， 故当时，PC⊥平面BMN. 学科网（北京）股份有限公司 $