第5节　空间向量的概念与运算练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量核心运算，以题载法构建"概念-运算-应用"逻辑链，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|1-3,7-8|向量线性表示、坐标运算、模长公式|从基底表示到坐标转化，构建运算体系| |定理应用|4-6,12,15|共线共面判定、数量积性质|以定理辨析为核心，强化逻辑推理| |综合迁移|9-11,13-14|参数法、等积法、向量法求夹角|结合立体几何情境，提升空间观念应用|

第5节　空间向量的概念与运算 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·湖北武汉二调）在三棱柱ABC-A1B1C1中，设＝a，＝b，＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则＝（　　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a－b＋c D.a＋b＋c 2.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，则λ＝（　　） A.9 B.－9 C.－3 D.3 3.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝（　　） A.1 B.2 C. D. 5.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·＝（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb B.若＝x＋y，则P，M，A，B共面 C.若P，M，A，B共面，则＝x＋y D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 7.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，则xy＝　　　　. 8.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A（1，0，2），B（0，2，1），点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么｜｜的最小值是　　　　. 9.（13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝. （1）若｜c｜＝3，且c∥，求c； （2）求a与b夹角的余弦值； （3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 10.（2026·浙江宁波模拟）如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为（　　） A.2 B.3 C.2 D.4 11.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围为（　　） A.［0，］ B.[0，1] C.［，1］ D.［，1］ 12.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是（　　） A.（＋＋）2＝3 B.·（－）＝0 C.向量与向量的夹角是60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜··｜ 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋（1－x－y），则｜｜的最小值是　　　　. 14.（15分）如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试用向量法解决下列问题： （1）求的模； （2）求与的夹角. 15.〔创新设问〕〔多选〕设向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断正确的是（　　） A.向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关） B.u·v的最大值为 C.u与v的夹角的最大值为 D.ad＋bc的最大值为1 第5节　空间向量的概念与运算 1.B　2.B　3.C　4.A 5.D　∵P-ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴·＝0，｜AO｜＝·｜AB｜·sin 60°＝，故·＝·（＋）＝｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝4－＝.故选D. 6.BD　A项，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；B正确；C项，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立；D项，若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ（，不共线），当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ（－），即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.故选B、D. 7.2　8. 9.解：（1）∵c∥，∴c＝m＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，2m）， ∴｜c｜＝＝3｜m｜＝3， ∴m＝±1， ∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）. （2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）， ∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1， 又｜a｜＝＝， ｜b｜＝＝， ∴cos＜a，b＞＝＝＝－， ∴a与b夹角的余弦值为－. （3）∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－， 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－. 10.B　∵＝＋＋，∴＝＋＋＋2·＋2·＋2·，∵⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，又·＝｜｜｜｜cos（180°－120°）＝×1×2＝1.∴＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴｜｜＝3. 11.B　由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·（＋）＝·（＋λ）＝＋λ·＝＋λ·（－）＝（1－λ）＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1]. 12.AB　由向量的加法运算得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，故D错误.故选A、B. 13.　解析：因为＝x＋y＋（1－x－y），由共面向量定理可知，E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以｜｜的最小值即为点D到平面ACD1的距离d，由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形，则＝×（）2×sin＝，S△ACD＝×1×1＝，由等积法可得＝，所以×d＝××1，解得d＝，所以｜｜的最小值为. 14.解：（1）因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，＝a，＝b，＝c， 所以＝＝（－）＝（b－a）， ＝＝c， 所以＝＋＋＝－（b－a）－a＋c＝（c－a－b）， 所以｜｜2＝（c－a－b）2＝（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝（1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°）＝，故｜｜＝. （2）在正四面体ABCD中，＝（c－a－b），｜｜＝. 同理，＝（b＋c－a），｜｜＝. 所以cos＜，＞＝ ＝＝[（c－a）2－b2]＝（c2＋a2－2c·a－b2）＝（1＋1－2×1×1×cos 60°－1）＝0， 所以与的夹角为90°. 15.ACD　对于选项A，设z轴正方向的方向向量为z＝（0，0，t）（t＞0），v与z轴正方向的夹角为α，则cos α＝＝＝，∴α＝，∴向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c，d无关），故A正确；对于选项B，u·v＝ac＋bd≤＋＝＝1，当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此u·v的最大值为1，故B错误；对于选项C，由｜u·v｜≤1，得－1≤u·v≤1，∴cos＜u，v＞＝＝≥－＝－，∴u与v的夹角的最大值为，故C正确；对于选项D，ad＋bc≤＋＝＝1，当且仅当a＝d，b＝c时取等号，∴ad＋bc的最大值为1，故D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $