精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试卷

荆州中学2025~2026学年高一下学期6月月考 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 3. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确； 对于选项C，，，则，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确. 4. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得：． 5. 已知函数，在上是增函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果. 【详解】因为函数，在上是增函数， 所以有，解得. 故选D 【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型. 6. 已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦面积公式表示出：，化简可得，即，再结合基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】如图，为角平分线，， 即， 化简得，则， 当且仅当时取等号，故最小值为4. 7. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【详解】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先确定截面与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出，体积， 最后求最小值． 【详解】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 【答案】AD 【解析】 【分析】由数据的最大值减去最小值可得极差，即可判断；出现次数最多的为众数，求出7个数据的平均数即可判断；根据方差公式求解即可判断；将数据从小到大排序，由百分位数的计算方法即可求解. 【详解】对于，由已知样本数据的最大值为，最小值为，所以极差为，故正确； 对于，样本数据的众数为，平均数为， 所以众数等于平均数，故错误； 对于，方差为，故错误； 对于，将数据按照从小到大的顺序排列可得，，，，，，， 因为，所以分位数是，故正确. 故选：. 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的定义域为R，则 C. 若的值域为R，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 11. 如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值 B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C. 使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为 D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B选项，根据找到异面直线所成角为与所成的角，即可判断；C选项，找到的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，计算即可；D选项，利用中点得线线平行，即可找到的轨迹，计算即可． 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时，又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角， 当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为， 当在的中点时，所成的角最大，最大为，故与所成角的取值范围为，故B错误； 对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，则，故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，则的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，故的轨迹长度为，故C正确； 分别取、、、、的中点、、、、， 由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②， 由中位线定理，，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，平面， 所以平面平面， 在底面内运动，所以轨迹为线段， 取中点，连接，则平面， 故 故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时，故最小为，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是奇函数得，解出即可. 【详解】当时，， 则当时，函数是定义在上的奇函数，所以， 可得， 故答案为：. 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】（1）设直线与平面所成的角为，先求出的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，再利用余弦定理求出的值； （2）取的外接圆的圆心为，则圆的半径，连接，作于点，即得，即得解. 【详解】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 如图所示，则， 所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 取的外接圆的圆心为，则圆的半径． 连接，作于点， 则点为的中点，所以， 故三棱锥的外接球的表面积． 故答案为：6；. 【点睛】本题主要考查空间角的计算，考查几何体外接球的问题的处理，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解出集合，利用交集的定义求解； （2）由得到，分和两种情况讨论求解. 【小问1详解】 ，，，， ； 【小问2详解】 ，， 当时，，解得， 当时，， 所以，则， 综合以上两种情况，可得实数的取值范围为. 16. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计本次考试的平均分和众数；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【答案】（1），平均分98，众数为100. （2）最低分数为138. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质先计算，再计算平均数和众数即可求解； （2）由题意得获得表彰的同学的最低分数位于内，设为x，得，解出即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质得，解得， 本次考试的平均分， 由频率分布直方图得：众数为100； 【小问2详解】 的频率为，所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x， 则，解得，即最低分数为138. 17. 已知函数，在中，内角所对的边分别为. （1）求的值，并求函数的对称中心坐标； （2）将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角； （3）在（2）的条件下，，设点在锐角所在平面内，且满足，求面积的取值范围. 【答案】（1），，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质，即可求解； （2）根据条件求出，利用余弦函数的性质，即可求解； （3）根据条件得为的垂心，结合条件得，利用余弦定理及不等式的性质得，再由三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 令，，得，， 则函数的对称中心坐标为，. 【小问2详解】 由题意， 当时，，对任意，都有恒成立， 则为在上的最大值，所以，则. 【小问3详解】 因为，所以，， 即，，故，，所以为的垂心， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，则，， 在四边形中，由，且，得，则， 在中，由余弦定理， 得， 所以，得，当且仅当时，等号成立， 所以， 又，故面积的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. （1）求证：平面PCD； （2）求证：平面平面ABCD； （3）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，如图. ∵M为PA的中点， ∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， ∴，. ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面. （2）如图，连接， ∵，O是的中点， ∴， 由菱形知，又，PO，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，先证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过点B作于点F，连接DF，OF，先证明为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点B作于点F，连接DF，OF. ∵平面PAC，平面PAC， ∴. ∵，BD，平面BDF，. ∴平面BDF， ∴，. ∴为二面角的平面角. ∵，，PC，PA，OF共面， ∴， ∵O是AC的中点， ∴F是PC的中点， 又∵， ∴，， ∴. ∵F是PC的中点，又， ∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为. 19. 已知函数，. （1）若，求实数的值； （2）在（1）问的条件下，解关于的不等式； （3）若，对任意的，函数在区间内总存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由计算，利用对数公式计算得解. （2）解不等式，则此不等式转化为，代入的表达式，解对数不等式得解 （3）由得到，设，由的范围得到的值域，设，由求出的值域，由对任意的，函数在区间内总存在使得成立，得到，利用子集的定义列出的不等式组，计算得解. 【小问1详解】 ，，， ，， ，，或， 当，不满足真数大于，即不成立，故； 【小问2详解】 ，， 的解为 转化为，， ，，的解集为； 【小问3详解】 ，， ，， ， ， ，设 ，，的值域为， 设， 对称轴为，，在处取最大值为， ，的值域为， 对任意的，函数在区间内总存在使得成立， ， ， ，， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025~2026学年高一下学期6月月考 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 3. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知函数，在上是增函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 7. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 若的定义域为，则 B. 若的定义域为R，则 C. 若的值域为R，则 D. 若在上单调递增，则 11. 如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值 B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C. 使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为 D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________. 13. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______. 14. 在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计本次考试的平均分和众数；（同组中每个数据用该组区间的中点值代替） （2）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 17. 已知函数，在中，内角所对的边分别为. （1）求的值，并求函数的对称中心坐标； （2）将的图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有恒成立，且为的内角，求角； （3）在（2）的条件下，，设点在锐角所在平面内，且满足，求面积的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. （1）求证：平面PCD； （2）求证：平面平面ABCD； （3）求二面角的平面角的余弦值. 19. 已知函数，. （1）若，求实数的值； （2）在（1）问的条件下，解关于的不等式； （3）若，对任意的，函数在区间内总存在使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $