第56讲 圆锥曲线离心率问题专练 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线离心率核心考点，系统整合椭圆与双曲线离心率的求值及范围问题，按直接法、构造齐次方程、利用有界性等六大题型分层梳理，通过例题精讲、变式训练、课时精练及真题回顾环节，帮助学生构建从几何条件到代数关系的转化框架，体现复习的系统性与针对性。 讲义以素养导向设计教学活动，如构造齐次方程时引导学生从焦点三角形、渐近线等几何关系中抽象等量关系，培养数学思维；利用有界性求范围时结合图形分析变量取值，发展数学眼光。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合真题实战，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第56讲 专题：圆锥曲线离心率问题专练 题型一 直接法求椭圆离心率或范围： 【例1】【答案】D 【例2】【答案】A 【变式训练1】【答案】C 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】【答案】D 【课时精练】 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】ABD 4．【答案】AD 5．【答案】AC 题型二 直接法求双曲线离心率或范围： 【例题精讲】 【例1】【答案】D 【例2】【答案】B 【变式训练1】【答案】A 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】D 【课时精练】 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】ABD 4．【答案】ABD 5．【答案】BCD 题型三 构造齐次方程求椭圆离心率或范围 【例题精讲】 【例1】【答案】D 【例2】【答案】D 【变式训练1】【答案】A 【变式训练2】【答案】B 【变式训练3】【答案】C 【课时精练】 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】BCD 4．【答案】BCD 5．【答案】ACD 题型四 构造齐次方程求双曲线离心率或范围 【例题精讲】 【例1】【答案】C 【例2】【答案】C 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】B 【变式训练3】【答案】A 【课时精练】 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】ACD 4．【答案】AD 5．【答案】BC 题型五 利用椭圆有界性（x、y的范围）建立不等式关系 【例题精讲】 【例1】【答案】C 【例2】【答案】B 【变式训练1】 【答案】C 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】A 【课时精练】 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】ABC 4．【答案】ABD 5．【答案】BCD 题型六 利用双曲线有界性（x、y的范围）建立不等式关系 【例题精讲】 【例1】【答案】C 【例2】【答案】D 【变式训练1】【答案】C 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】【答案】D 【课时精练】 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】ABD 4．【答案】AD 5．【答案】BC 【真题回顾】 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】A 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 第56讲 专题：圆锥曲线离心率问题专练 题型一 直接法求椭圆离心率或范围： 1 题型二 直接法求双曲线离心率或范围： 4 题型三 构造齐次方程求椭圆离心率或范围 5 题型四 构造齐次方程求双曲线离心率或范围 7 题型五 利用椭圆有界性（x、y的范围）建立不等式关系 9 题型六 利用双曲线有界性（x、y的范围）建立不等式关系 11 【真题回顾】 13 【必备知识】求离心率的值及范围的思路与方法 （1）直接法：若已知 可直接利用 求解。 若已知 或 可借助于 求出 或 ，再代入公式 求解。 （2）方程法：若 的值不可求，则可根据条件建立 的关系式， 借助于 ，转化为关于 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 的最高次幂，得到关于 的方程或不等式，即可求得 的值或范围。 无论哪种方法，最后的目的都是建立 的数量关系。 求离心率及离心率取值范围的问题解题思路往往涉及多个知识点， 对学生的综合分析能力要求较高。 通过对问题的不同思考方向和思路， 可以把离心率的问题分为以下几种类型： 题型一 直接法求椭圆离心率或范围： 【例题精讲】 【例1】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高二下·重庆·期中）如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·湖南常德·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B．的最大值为25 C．存在点P使 D．以为直径的圆与以为直径的圆内切 4．（多选）（2026·江苏南京·三模）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 5．（多选）（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知，是椭圆E：（）的左右焦点，，为的左右顶点，为坐标原点，点为椭圆在第一象限内的一动点，若直线l：与直线：，：的交点分别为，则下列说法正确的是（     ） A．直线经过点 B．当直线斜率与直线的斜率之积为时，的离心率为 C． D． 题型二 直接法求双曲线离心率或范围： 【例题精讲】 【例1】（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 【变式训练1】（25-26高二下·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高二下·重庆·期中）双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D． 【变式训练3】（2026·山东·模拟预测）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点是双曲线上的一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A．4 B． C．2 D． 【课时精练】 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（   ） A． B． C． D．-2 3．（多选）（2026·山东·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 4．（多选）（2026·甘肃张掖·二模）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的两条渐近线平分四个象限，是双曲线右支上的一动点，则（     ） A．双曲线的离心率为 B．不可能为等腰直角三角形 C．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 D． 5．（多选）（2026·山西大同·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，点P是E上位于第一象限内的一点，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．E的离心率为2 B．点P到E的两条渐近线的距离之积为定值 C． D． 题型三 构造齐次方程求椭圆离心率或范围 【例题精讲】 【例1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·河北保定·模拟预测）已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆：与抛物线：交于，两点，点为椭圆上顶点，直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知椭圆与双曲线在第一象限交于，两点，若，斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·河北邯郸·一模）已知是椭圆上一点，分别是的左、右焦点，若点满足，，则的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二上·广东深圳·期中）已知椭圆，我们把圆称为椭圆的蒙日圆，为原点，点在椭圆上，延长与椭圆的蒙日圆交于点，则（　　） A．的最大值为 B．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 C．若点（3，1）在椭圆上，则椭圆的蒙日圆周长的最小值为 D．若存在点为的中点，则椭圆的离心率的最小值为 题型四 构造齐次方程求双曲线离心率或范围 【例题精讲】 【例1】（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练3】（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（2026·四川广安·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·江苏盐城·模拟预测）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．直线的斜率为 4．（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 5．（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 题型五 利用椭圆有界性（x、y的范围）建立不等式关系 【例题精讲】 【例1】（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·重庆长寿·期末）设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】 （25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高二上·吉林·期末）已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高二上·广东汕头·期末）椭圆的焦点为，若中，面积为，则离心率e为（    ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东·阶段检测）记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最小值为 C．不存在点，使得 D．的最小值为1 4．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）在底面半径2，高为6的圆柱内放有一个半径为2的球，作与圆柱底面不平行的平面，与球切于点，若平面与圆柱侧面相交所得封闭曲线为，则下列命题正确的有（   ） A．曲线是椭圆 B．曲线的离心率最大值为 C．平面与底面所成夹角正弦最大值为 D．点到底面距离最小值为 5．（多选）（25-26高二上·山东·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（   ） A．若能成立，则的取值范围为 B．若，则的面积为 C．直线与的斜率之积为 D．若，的横坐标是的横坐标的4倍，则 题型六 利用双曲线有界性（x、y的范围）建立不等式关系 【例题精讲】 【例1】（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·重庆·期末）已知点 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在一点 满足 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26高一下·重庆·期中）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：，则（   ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围是 2．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且，则（   ） A．的面积是 B．双曲线C的虚轴长为 C．双曲线C的渐近线方程不可能为 D．双曲线C的离心率的最大值是 4．（多选）（24-25高二上·山东泰安·期末）已知曲线，则下列说法正确的为（   ） A．若该曲线是双曲线方程，则，或 B．若，则该曲线为椭圆 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率 5．（多选）（25-26高二下·四川南充·期中）椭圆的左右焦点分别为，，双曲线与椭圆的焦点相同，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的方程为 C．若的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率取值范围是 D．若与轴交于点，平分，则双曲线的离心率为 【真题回顾】 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 3．（2008·湖南·高考真题）双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2008·山东·高考真题）设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 第56讲 专题：圆锥曲线离心率问题专练 题型一 直接法求椭圆离心率或范围： 1 题型二 直接法求双曲线离心率或范围： 9 题型三 构造齐次方程求椭圆离心率或范围 16 题型四 构造齐次方程求双曲线离心率或范围 24 题型五 利用椭圆有界性（x、y的范围）建立不等式关系 32 题型六 利用双曲线有界性（x、y的范围）建立不等式关系 41 【真题回顾】 49 【必备知识】求离心率的值及范围的思路与方法 （1）直接法：若已知 可直接利用 求解。 若已知 或 可借助于 求出 或 ，再代入公式 求解。 （2）方程法：若 的值不可求，则可根据条件建立 的关系式， 借助于 ，转化为关于 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 的最高次幂，得到关于 的方程或不等式，即可求得 的值或范围。 无论哪种方法，最后的目的都是建立 的数量关系。 求离心率及离心率取值范围的问题解题思路往往涉及多个知识点， 对学生的综合分析能力要求较高。 通过对问题的不同思考方向和思路， 可以把离心率的问题分为以下几种类型： 题型一 直接法求椭圆离心率或范围： 【例题精讲】 【例1】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 【例2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 【变式训练1】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以， 所以椭圆的焦点在y轴上， 所以. 【变式训练2】（25-26高二下·重庆·期中）如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线长定理及椭圆的定义求解即可. 【详解】设旁切圆与相切于B，由题意可知，， 设，则，， 又，且， ， 所以，即， 又，即， 所以. 【变式训练3】（2026·湖南常德·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得，进而得，利用椭圆的定义得，又，由，利用二倍角的余弦公式得，最后由离心率的公式即可求解. 【详解】设，由，所以， 所以，， 所以，所以， 又，所以， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 【课时精练】 1．（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知四边形为平行四边形，可得，结合椭圆的定义可得出、，再利用勾股定理可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，为、的中点，所以四边形为平行四边形，则， 所以，则， 因为，由勾股定理可得， 故该椭圆的离心率为. 2．（2026·河北邢台·三模）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上顶点为，为上一点，在点处的切线为，过点 且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，若的面积，到的距离之和为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，分别过作直线的垂线，再由到的距离之和为，求得，设，则，求得，得到，在中，利用余弦定理，化简求得，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为 ，可得， 如图所示，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， 又因为到的距离之和为，所以，则， 设，则， 所以， 则， 可得，所以，则， 由余弦定理得， 所以，即，可得， 所以椭圆的离心率为. 3．（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B．的最大值为25 C．存在点P使 D．以为直径的圆与以为直径的圆内切 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，，则，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，设，则，即； ，分别是椭圆的左、右焦点，，； ，. ；故C错误； 对于D，，是椭圆长轴端点，，则以为直径的圆的圆心为原点,半径为； 设以为直径的圆的圆心为，则其半径为. 是的中点，是的中点， . 是椭圆上的点，，分别是椭圆的左、右焦点，； ，即以为直径的圆与以为直径的圆内切，故D正确. 4．（多选）（2026·江苏南京·三模）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点，过与底面平行的平面绕点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（    ） A．截面中圆的面积为 B．截面是完整椭圆的离心率最大是 C．截面是抛物线的焦准距 D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出截面中圆的面积判断A；确定离心率最大的完整椭圆位置并求出离心率判断B；建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程，进而求解判断CD. 【详解】依题意，圆锥的底面圆半径，圆锥的高，， 对于A，由为母线的中点，得截面圆的半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，截面是完整椭圆的短轴可视为以点为圆心，为半径的圆垂直于的直径 沿投影到截面椭圆上，则短轴长，当椭圆经过点时，其长轴长取得最大值， 离心率取得最大值，，，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为x轴， 在平面中建立平面直角坐标系，则，，点， 设抛物线方程为，则，解得，则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上， 则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为，则，，解得， ，所以双曲线的离心率为，D正确. 5．（多选）（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知，是椭圆E：（）的左右焦点，，为的左右顶点，为坐标原点，点为椭圆在第一象限内的一动点，若直线l：与直线：，：的交点分别为，则下列说法正确的是（     ） A．直线经过点 B．当直线斜率与直线的斜率之积为时，的离心率为 C． D． 【答案】AC 【分析】直接将点坐标代入直线的方程中，判断等式是否成立即可； 先分别求出直线的斜率和直线的斜率，根据两者乘积并结合椭圆和离心率公式求解； 分别将、代入直线方程中，求出点的纵坐标，因为、对应纵坐标的绝对值，且在椭圆上满足椭圆方程，所以代入化简可判断选项； 先确定的坐标特征，利用直线的斜率乘积判断直线的位置关系及角度和的大小. 【详解】选项A，因为点在椭圆上，满足，代入直线的方程，等式成 立，因此直线经过点， A正确； 选项B，直线斜率，整理直线得，斜率. 斜率乘积，由题意，得， 离心率，B错误； 选项C，将代入得，将代入得. ，因此，， 则.由椭圆方程得， 代入得 ，C正确； 选项D，，计算斜率乘积， 由，，得，因此，. 同理可得，，， 因此，不满足小于，D错误.    题型二 直接法求双曲线离心率或范围： 【例题精讲】 【例1】（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用角平分线定理得出，再结合双曲线定义得出，最后应用离心率公式求值即可. 【详解】因为的平分线与轴交于点，所以， 因为，A在双曲线右支上，设， 因为，所以 ， 又因为，所以， 所以. 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，又，则 所以的离心率为． 【变式训练1】（25-26高二下·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在双曲线中，虚轴端点和焦点构成等腰三角形，利用等腰三角形底角的正切与顶角余弦的关系（二倍角公式），代入已知的顶角余弦值，解出与的比例即可求得离心率． 【详解】 设，则， 由， 整理得，所以，整理得，所以． 【变式训练2】（25-26高二下·重庆·期中）双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，可推出为直角三角形；再根据，结合双曲线定义，表示出三角形各边的长，利用勾股定理建立等量关系，即可求出离心率. 【详解】解：由题意知，，，，    由，为中点，易知为直角三角形，即， 因为，所以设，则，， 根据双曲线定义可知，，， 所以，，， 在中，由勾股定理可得， 即，化简整理得， 因为，所以. 在中，由勾股定理可得，即， 代入得，，所以，即， 又因为，所以. 【变式训练3】（2026·山东·模拟预测）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点是双曲线上的一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】由双曲线对称性，不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则，， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，，， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 【课时精练】 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】令，则，解得，所以， 又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即， 所以，所以双曲线的离心率． 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【详解】因为双曲线的离心率为，可得双曲线为等轴双曲线，即有，， 设双曲线的方程为， ，则①， 又因为，则，， 由，可得②， ①②联立可得，则， 所以． 3．（多选）（2026·山东·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为2 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】利用双曲线方程及其性质,即可通过方程求解来判断各选项. 【详解】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ， 又由双曲线渐近线为，得 ​，即， 代入，得， 因此双曲线的方程为，故A正确； 离心率，故B正确； 到直线的距离： ，故C错误； 由，可知在以为直径的圆上， 联立渐近线：代入得， 可得交点纵坐标， 即的面积为： ，故D正确. 4．（多选）（2026·甘肃张掖·二模）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的两条渐近线平分四个象限，是双曲线右支上的一动点，则（     ） A．双曲线的离心率为 B．不可能为等腰直角三角形 C．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，利用，结合离心率公式即可求解； 对于B，若为等腰直角三角形，可得，且，由求解即可判断； 对于C，利用点到直线的距离公式求解即可； 对于D，由于，设，且，利用不等式求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线平分四个象限，所以，则双曲线的离心率为,故A正确； 因为是双曲线右支上的一动点，所以， 若为等腰直角三角形，直角不可能在M点或点，则，且， 则，由于，解得：，由于双曲线中，出现矛盾， 所以不可能为等腰直角三角形，故B正确； 由于该双曲线的渐近线方程为，设，满足， 所以到直线的距离为， 到直线的距离为， 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，故C不正确； 由于，可设，且， 所以， 因为，所以， 则，则， 即，故D正确. 5．（多选）（2026·山西大同·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，点P是E上位于第一象限内的一点，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．E的离心率为2 B．点P到E的两条渐近线的距离之积为定值 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据离心率公式计算判断A，应用点到直线距离公式结合双曲线方程计算判断B，应用斜率公式计算判断C，应用两角和正切公式计算判断D. 【详解】由双曲线，则， 对于A，则E的离心率，故A错误； 对于B，设点，则，即， 而E的两条渐近线方程为， 所以点P到E的两条渐近线的距离之积为，故B正确； 对于C，设点，则，即，而， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D正确． 题型三 构造齐次方程求椭圆离心率或范围 【例题精讲】 【例1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由以为直径的圆与的某一个交点为，得；由得到平分，根据，是的中点，利用中位线、角平分线的性质等，结合，整理得；由椭圆定义得，由勾股定理得，以及，，即可计算出离心率. 【详解】设直线交直线于点. 由点在以为直径的圆上，得； ，平分，即. ，是的中点， ，，，； ； ，，整理得； 由椭圆定义得； 联立 ，解得，； 在中，，即，整理得 ； 由椭圆得，得； ，得，即； 由，得，，即的离心率为. 【例2】（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 【变式训练1】（2026·河北保定·模拟预测）已知椭圆的上、下顶点分别为，为坐标原点，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的直线方程，然后求出的坐标，根据结合倾斜角的关系可得关于的方程，化简后可得，故可求离心率. 【详解】 因为分别为椭圆的上下顶点，故， 故的直线方程为， 由可得即， 因为，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，故， 整理得，故离心率. 【变式训练2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在，中，由正弦定理及可得，设，在中，由余弦定理化简可得，进而计算可解. 【详解】因为是内心，所以是的角平分线， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 因为，所以， 因为，， 所以，即， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 化简可得，所以. 【变式训练3】（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆：与抛物线：交于，两点，点为椭圆上顶点，直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过抛物线的对称性设出和的坐标并表示出和斜率之积，联立椭圆方程求解离心率. 【详解】 因为与关于轴对称，所以设，，. 则，， 所以斜率之积.则， 又因，则 则得,因,则得, 故. 【课时精练】 1．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知椭圆与双曲线在第一象限交于，两点，若，斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据斜率之积得出，再将点坐标代入椭圆方程中，利用韦达定理得出即可计算. 【详解】设， 因为，斜率之积为，所以，即， 因为， 所以， 则是关于的方程的两个不等根， 则，则，故的离心率为. 2．（2026·安徽·模拟预测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合椭圆的定义可得相应长度，结合勾股定理运算求解即可. 【详解】设的半焦距为，， 则，，，， 由题意可知：， 在中，，即，解得， 则，， 在中，，即，可得， 所以椭圆C的离心率. 3．（多选）（2026·河北邯郸·一模）已知是椭圆上一点，分别是的左、右焦点，若点满足，，则的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得，再由椭圆上点与焦点距离的范围列出不等式求出离心率范围即可得解. 【详解】因为，所以为的中点． 又，所以，则． 因为，所以． 又，所以，得． 即的离心率可能为BCD. 4．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分，，三种情况，求椭圆的离心率即可. 【详解】如图1： 若，因为是等腰直角三角形，所以，即， 所以，所以.故D有可能成立； 如图2： 若，则. 将代入 . 所以 ， 所以或（舍去），故C有可能成立； 如图3： 若，则点横坐标为，将代入，得， 由 ， 所以或（因为，故舍去）. 由 .故B有可能成立. 故选：BCD 5．（多选）（25-26高二上·广东深圳·期中）已知椭圆，我们把圆称为椭圆的蒙日圆，为原点，点在椭圆上，延长与椭圆的蒙日圆交于点，则（　　） A．的最大值为 B．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 C．若点（3，1）在椭圆上，则椭圆的蒙日圆周长的最小值为 D．若存在点为的中点，则椭圆的离心率的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，举反例排除B；利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断C；根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为，又椭圆，所以，所以，故A正确； 对于B，取，则直线互相垂直，且都与椭圆相切，B错误； 对于C，因为点在椭圆上，所以，则 ， 所以，当且仅当，即时取等号，所以蒙日圆的周长最小为，C正确；对于D，若点为的中点则，则，故，，所以椭圆的离心率的最小值为，D正确； 故选：ACD. 题型四 构造齐次方程求双曲线离心率或范围 【例题精讲】 【例1】（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，，渐近线的斜率的绝对值为， 所以，因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得 ，整理得，所以的离心率．    【例2】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点．若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题设条件结合双曲线定义探求出的关系即可作答. 【详解】设，由于，则，， 根据双曲线定义，，, 即，， 因为，所以， 即，化简得到 又由， 即，即， 化简得到，则. 【变式训练1】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形的几何特征，得到双曲线渐近线的斜率，再结合双曲线的离心率公式即可求得. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为为等边三角形，所以， 而双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即， 所以离心率． 【变式训练2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】联立圆与双曲线渐近线方程得出，知，又由确定得，最后根据求得离心率 . 【详解】如图所示： 以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线为， 联立圆的方程与渐近线方程得， 化简得，解得，所以轴， 又因为与相互平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以，即， 所以，所以，从而． 【变式训练3】（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若C的渐近线上存在一点P，满足，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用距离差的绝对值计算判断定义结合计算判断. 【详解】解法一：双曲线的渐近线方程为. 当时，满足轨迹不存在，舍去； 当时，满足轨迹为x轴挖去线段，与题意不符，舍去； 当时，满足轨迹为双曲线. 联立方程，得到． 由，解得或（舍去）， 故，解得，故该双曲线离心率的取值范围是． 解法二：上同解法一.双曲线的渐近线方程为， 因为由题意可知与双曲线相交， 所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，后仿照解法一即可求得. 【课时精练】 1．（2026·四川广安·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆心和直线方程求出弦心距，再根据直角三角形和向量条件求出半弦长，最后在直角三角形建立关于的关系式，用离心率公式可得离心率. 【详解】如图所示，设中点为，连接， 因为为圆心，为中点，可得， 所以三角形为直角三角形. 根据条件得圆心为， 设其中一条渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离为，即， 又因为，所以， 由可知三点共线，且为上靠近点的三等分点， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 2．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图： ，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而， 而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而，所以， ∴双曲线的离心率. 3．（多选）（2026·江苏盐城·模拟预测）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】对于A，联立与双曲线方程，求解后即可判断；对于B，设双曲线的右焦点为，连接,由题意可得为等腰直角三角形，从而得，整理可得，即可判断；对于C，结合B可求得，求出离心率即可判断；对于D，求得，即可判断. 【详解】对于A，由，得或， 所以，故A正确； 对于B，设双曲线的右焦点为，连接， 因为关于原点对称，也关于原点对称， 所以四边形为平行四边形， 且， 所以为等腰直角三角形， 所以， 即，， 所以， 整理得， 所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由B可知， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率，故C正确； 对于D，因为， 即直线的斜率为，故D正确. 4．（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 【答案】AD 【分析】对A根据圆的切线长相等及双曲线的定义可得；对B由A选项解析及条件得，再由双曲线的性质可得，进而可得渐近线方程；对C由垂直解得，，再由等面积法得内切圆半径，再结合A选项结果可得离心率；对D根据双曲线的定义可得焦点三角形的周长，进而可得，再由焦点弦的性质可得离心率的范围. 【详解】对于A项，设点的横坐标为，的焦距为，作，， 垂足分别为点，连接，则， 所以，， ， 又，所以，即， 所以，即，所以点到轴的距离为，故A项正确． 对于B项，由A项知，．又， 所以，所以，所以，所以， 则，所以C的渐近线方程为，故B项错误． 对于C项，因为，，所以， 解得，， 所以内切圆半径 ， 由A项知，即，则， 即，解得或（舍），所以C的离心率为，故C项错误． 对D项，由双曲线的定义可得，， 两式相加可得， 则的周长为，即， 又因为，所以，解得，所以，故D项正确． 5．（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 【答案】BC 【分析】设双曲线的右焦点为，则，结合双曲线定义可求，，判断A，在中由余弦定理列方程求，判断B，结合关系求得双曲线的渐近线方程，根据直线与渐近线斜率大小关系结合图像判断C，利用反证法排除D. 【详解】对于A，设双曲线的右焦点为，连接， 由双曲线的对称性及直线过原点可得关于原点对称，又关于原点对称， 所以四边形是平行四边形，故， 因为，所以， 又，解得，，A错误， 对于B，因为，所以. 由余弦定理得， 所以，B正确， 对于C，由，，则双曲线的渐近线方程为， 因为，所以与双曲线有两个交点，C正确， 对于D，假设的内心在轴上，则有，，直线过坐标原点， 所以，即需要，矛盾，D错误. 题型五 利用椭圆有界性（x、y的范围）建立不等式关系 【例题精讲】 【例1】（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 【例2】（25-26高二上·重庆长寿·期末）设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用向量法解题，设，用和椭圆方程计算点横坐标，然后再根据点在上，根据点的横坐标取值范围求离心率的范围. 【详解】设，，，，， 由，得， 化简得， 联立椭圆方程为， 化简得， 代入， 化简得， 解得（舍），另一根为， 又因为点在上，，即， 代入， 得，解得， 又因为椭圆离心率，故. 故选：B 【变式训练1】 （25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据椭圆与双曲线的定义可得，从而可得，于是可得的取值范围. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则， 由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：C 【变式训练2】（25-26高二上·吉林·期末）已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即， 得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 故选：C 【变式训练3】（25-26高二上·广东汕头·期末）椭圆的焦点为，若中，面积为，则离心率e为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据三角形面积公式求出，利用椭圆的定义及三角形余弦定理即可求出结果． 【详解】设，由椭圆的定义可得， 所以，所以， 由余弦定理可得 所以，所以. 故选：A. 【课时精练】 1．（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 2．（25-26高三上·广东·阶段检测）记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如下图，由椭圆性质可知，，，结合推出四边形共圆，因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上，设圆心为，半径为，则圆的方程为，代入得，结合椭圆性质联立椭圆方程得出，由推出，联立方程推出，进而得出，从而得出答案. 【详解】    由椭圆的性质可知，，，. 因为，则，即四边形对角互补， 所以四边形共圆. 因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上， 设圆心为，半径为，则圆的方程为, 代入可得，. 联立， 已知该方程有两个实数解，即的纵坐标， 所以, 所以. 又因为， 所以. 令，， 则， . 又因为， 所以. 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：C. 3．（多选）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最小值为 C．不存在点，使得 D．的最小值为1 【答案】ABC 【分析】根据点在椭圆内部求的范围，进而可得离心率的范围判断A，根据椭圆定义，结合三角形三边的关系判断B，设，利用向量数量积的坐标表示确定轨迹方程，根据判断C，利用椭圆的定义结合基本不等式判断D. 【详解】由椭圆方程可得， 选项A：因为点在椭圆内部，所以，解得， 又因为，所以，A说法正确； 选项B：当时，由解得，所以， 因为点在椭圆上，所以， 因为，即， 所以， 当且仅当共线且在之间时等号成立， 所以当时，的最小值为，B说法正确； 选项C：设，若存在点，使得， 则，即， 因为，， 所以，圆与椭圆没有交点， 所以假设矛盾，即不存在点，使得，C说法正确； 选项D，因为点在椭圆上，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，D说法错误. 4．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）在底面半径2，高为6的圆柱内放有一个半径为2的球，作与圆柱底面不平行的平面，与球切于点，若平面与圆柱侧面相交所得封闭曲线为，则下列命题正确的有（   ） A．曲线是椭圆 B．曲线的离心率最大值为 C．平面与底面所成夹角正弦最大值为 D．点到底面距离最小值为 【答案】ABD 【分析】由题可知曲线C为椭圆，AB为椭圆长轴，如图所示方法切割时，长轴最长，离心率最大并且此时与底面所成角的正弦值最大，此时切点离底面最近. 【详解】 由题可知曲线为椭圆，短轴长为圆柱直径，即，则当切线过B点时，长轴最长， 设，则， 又，则， 所以；（当最大时斜率最大）； 此时在满足截面为椭圆的前提下，截面所在平面与底面夹角最大， 故此时的正弦值， 又；此时切点最靠下，到底面的距离为. 故选：ABD 5．（多选）（25-26高二上·山东·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（   ） A．若能成立，则的取值范围为 B．若，则的面积为 C．直线与的斜率之积为 D．若，的横坐标是的横坐标的4倍，则 【答案】BCD 【分析】选项A，由，得，推e范围；选项B，由对称性可知的面积等于的面积，再由焦点三角形的面积公式求解；选项C，设点，用椭圆方程得直线斜率之积；选项D，根据垂直和斜率关系，结合横坐标条件判断. 【详解】因为，所以四边形为矩形， 设椭圆的上顶点为，若要上存在点，使得， 则需，所以， 即，，A错误； 由对称性可知的面积等于的面积， 由焦点三角形的面积公式可知，的面积为，B正确；    设，，则，且，， 两式相减得， 可知，C正确； 由，得，因为，且， 所以，解得，D正确. 故选：BCD. 题型六 利用双曲线有界性（x、y的范围）建立不等式关系 【例题精讲】 【例1】（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则， 得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即， 进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 【例2】（25-26高二上·重庆·期末）已知点 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在一点 满足 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用向量的数量积坐标公式化简推得，再借助于双曲线上点的坐标的范围得到不等式求解即得. 【详解】设双曲线的半焦距为，则. 设，则， 则，可得，即点P在双曲线的右支上，则， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故选：D. 【变式训练1】（25-26高一下·重庆·期中）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆和双曲线定义，可得，进而可得，化简可得，所以，令，换元后可得，根据函数单调性，即可求得其最值. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，即， 由椭圆与双曲线的定义可得可得，， 因为，所以，则，即，故， 又，，则， 所以， 令，则， 设函数， 则， 因为，所以， 所以函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 【变式训练2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，建立直角坐标系，设 ，根据题设条件得，，代入双曲线方程得，从而得，即可求解. 【详解】如图，以的中点为原点，建立直角坐标系， 设 ，得， 过作于，因为是等腰梯形，且， 则，所以，则， 所以 设，则， 得，，又点在双曲线上，所以， 整理得，则， 因为，易知在区间上单调递增，则， 所以，即，又，所以， 故选：A. 【变式训练3】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的定义列式即可求的范围. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， 依题意，， 而椭圆的离心率， 双曲线的离心率， 因此， 由，得，∴， ∴，∴. 即. 故选：D 【课时精练】 1．（25-26高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：，则（   ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围是 【答案】C 【分析】要解决这道关于双曲线的题目，我们需要根据双曲线的标准方程形式以及相关性质，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A，因为表示双曲线，所以, 解得，故A错误. 对于B,由A选项，得，所以， 所以的焦点只能在轴上，故B错误. 对于C,设的半焦距为，则，解得， 即焦距为，故C正确. 对于D,离心率,因为，所以， 那么,所以的取值范围是，故D错误. 故选：C 2．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 3．（多选）（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知双曲线：的右焦点为，圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且，则（   ） A．的面积是 B．双曲线C的虚轴长为 C．双曲线C的渐近线方程不可能为 D．双曲线C的离心率的最大值是 【答案】ABD 【详解】双曲线渐近线方程为，不妨取这条渐近线， 可知圆心为，弦长，圆半径为，所以弦心距为，即，解得， 则，选项A正确； 由，所以双曲线C的虚轴长为，选项B正确； 由，当时，双曲线渐近线方程为，所以C错误； 因为，所以，则，可知，当时，， 即，所以D正确； 4．（多选）（24-25高二上·山东泰安·期末）已知曲线，则下列说法正确的为（   ） A．若该曲线是双曲线方程，则，或 B．若，则该曲线为椭圆 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率 【答案】AD 【分析】由椭圆、双曲线的标准方程及离心率即可得到答案. 【详解】对于A选项，，所以，或，A正确. 对于B选项，该曲线为椭圆时,满足，所以，B错误. 对于C选项，若该曲线离心率为，该曲线表示椭圆； 若，则离心率，解得； 若，则离心率，解得，C错误. 对于D选项，由题意知，所以， 离心率，D正确. 故选：AD. 5．（多选）（25-26高二下·四川南充·期中）椭圆的左右焦点分别为，，双曲线与椭圆的焦点相同，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的方程为 C．若的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率取值范围是 D．若与轴交于点，平分，则双曲线的离心率为 【答案】BC 【分析】设，由椭圆的定义和余弦定理求出，再根据计算，即可判断A；在中，由余弦定理求出，再结合双曲线的定义求出，即可判断B；利用三角形的面积公式和双曲线的定义将转化为，求出离心率的范围，即可判断C；根据椭圆和双曲线的定义用含的式子表示，设，由角平分线定理及相似得到，，从而求出，即可求出离心率，即可判断D. 【详解】由椭圆方程可得，. 设，则由椭圆的定义可得， 在中，若，由余弦定理可知， 即， 将代入上式可得，解得， 所以，故A错误； 在中，若， 由余弦定理可知，即， 将代入上式可得，解得. 因为P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，由双曲线定义可知， 两边平方可得，即，解得. 在双曲线中，因为，所以，所以， 所以双曲线的方程为，故B正确； 设的内切圆的半径为， 则. 因为，即，所以. 由双曲线定义知，所以，即. 因为双曲线的离心率，所以，又由双曲线的离心率， 所以可知双曲线的离心率取值范围是，故C正确； 因为平分，所以由角平分线定理可知， 设，则有，整理可得， 由对称性可得，所以，， 所以，即，所以， 因为可得，所以，解得 所以双曲线的离心率，故D错误. 【真题回顾】 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选：A 3．（2008·湖南·高考真题）双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据右支上存在一点到右焦点及左准线的距离相等，通过得到关于的不等式，最后根据，综合可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， 而双曲线的离心率， ， 故选：C． 4．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 6．（2008·山东·高考真题）设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率和长轴长计算得到，，判断曲线为焦点在轴上的双曲线，根据双曲线的定义计算得到答案. 【详解】椭圆的离心率为，，，故， 故椭圆的两个焦点为，， 曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于8，， 故曲线为焦点在轴上的双曲线， ，，，，故双曲线方程为. 故选：A 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $