5.柯西不等式和权方和不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 《柯西不等式与权方和不等式》同步练聚焦不等式应用，分层设计从基础公式到综合创新，助力一轮复习知识巩固与运算能力、推理意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式直接应用|选择2用柯西不等式求ax+by范围，强化公式记忆| |提升层|条件转化与多变量处理|选择6变形a-2、b-3后用权方和，培养转化思维| |综合层|跨情境创新应用|填空12结合“类柯西不等式”新定义，发展创新意识|

微练(五)　柯西不等式与权方和不等式 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若a,b,c均为正数,且a+b+c=1,则(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为(　　) A. B. C. D. 2.设a,b,x,y为实数,且a2+b2=1,x2+y2=1,则ax+by的取值范围为(　　) A.[0,2] B.[-1,1] C.[-2,2] D.[0,1] 3.若x∈,则函数f(x)=+的最小值为(　　) A.25 B.15 C.10 D.5 4.对任意的正实数x,y,+≤k恒成立,则k的最小值为(　　) A. B. C.2 D. 5.若a,b,m,n为实数,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为(　　) A.5 B.2 C. D. 6.已知a>2,b>3,a+b=8,则+的最小值为(　　) A.64 B. C. D. 7.已知x>1,y>1,xy2=1 000,则+的最小值为(　　) A.4 B. C. D. 8.若正实数x,y,z满足x+3y+2z=1,则+的最小值是(　　) A.4+2 B.2 C.4+ D.4 二、填空题 9.若a,b均为正实数且满足a2+b2=4,则4a+3b的最大值为　　　　.  10.已知实数x,y满足x>y>0且x+y=2,则+的最小值为　　　　.  11.已知3x2+2y2=6,则2x+y的最大值为　　　　.  12.为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上,学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维),当向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,有|a·b|2≤|a|2|b|2,即(x1x2+y1y2)2≤(+)(+),当且仅当x1y2=x2y1时等号成立.学生乙从这个结论出发,得到了一个新不等式:(x1x2-y1y2)2≥(-)(-),当且仅当x1y2=x2y1时等号成立,并取名为“类柯西不等式”.根据前面的结论可知,当x∈R时,-的最小值是　　　　.  微练(五)　柯西不等式与权方和不等式 1.C　解析　因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以0<a<1,0<b<1,0<c<1,所以(1-a)(1-b)(1-c)≤==,当且仅当1-a=1-b=1-c,即a=b=c=时,等号成立. 2.B　解析　(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,即1≥(ax+by)2,所以-1≤ax+by≤1.故选B. 3.A　解析　f(x)=+=+=25,当且仅当=时,即x=时“=”成立. 4.B　解析　解法一(基本不等式):由题意得k≥恒成立.因为==6,当且仅当5x=y时,等号成立,所以,所以k≥. 解法二(柯西不等式):由题意得k≥恒成立.因为(+)2≤(x+y)(1+5)=6(x+y),当且仅当=,即5x=y时,等号成立,所以+,即,所以k≥. 解法三(权方和不等式):由题意得k≥恒成立.因为=+=6,当且仅当=,即5x=y时,等号成立,所以,所以k≥. 5.D　解析　(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,即5(m2+n2)≥52,所以m2+n2≥5,.故选D. 6.B　解析　因为a-2>0,b-3>0,所以+=,当且仅当=,a+b=8时,即a=,b=时“=”成立.故选B. 7.C　解析　+=+==,当且仅当=,即lg x=时“=”成立.故选C. 8.A　解析　由题,x+3y+2z=x+2y+y+2z=1,所以x+2y=1-(y+2z),+=+=+-=+--=-=4+2,当且仅当=时“=”成立.故选A. 9.10　解析　(a2+b2)(42+32)≥(4a+3b)2,所以4a+3b≤10. 10.　解析　+=. 11.　解析　令a1=x,a2=y,b1=,b2=,代入柯西不等式(a1b1+a2b2)2≤(+)(+),得(2x+y)2≤(3x2+2y2)=6×=11,当且仅当=2y时等号成立,所以-≤2x+y≤,所以2x+y的最大值为. 12.-1　解析　-=-,且[(2x2+1)-(2x2+2)]=[()2-()2]≤=1,当且仅当=,即x=0时,等号成立,即-≤1,所以-=-≥-1,当且仅当x=0时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $