浙江省舟山市2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

舟山市2025学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，考试时间：120分钟． Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知正的边长为4，那么正的平面直观图的面积是（ ） A． B． C． D． 4．若，q：幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且侧棱，则该四棱台的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知表示不超过的最大整数，则的值为（ ） （参考数据） A．1649 B．1725 C．1744 D．1745 8．已知一个圆被20个点等分，20个点依次编号1，2，3，…，19，20．任取3个不同的点构成三角形，则能构成内角均不小于的锐角三角形的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A．一组数据1，1，2，5，8，9的中位数为2 B．已知经验回归方程为，且，，则 C．若随机变量，且，则 D．在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误 10．在中，点，满足，，与交于点，延长交于点．则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A．的最小值为1 B．的图像关于直线对称 C．在上不具有单调性 D．若，则 Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若事件A和事件B相互独立，且，，则            ． 13．已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为            ． 14．已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为            ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分） 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：． （1）求角的大小； （2）若，，角的角平分线交于点，求的长度． 16．（本题满分15分） 已知函数的最大值为1． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求使成立的的取值集合． 17．（本题满分15分） 已知四面体中，和都是边长为4的正三角形，，点为中点，连接、． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）过点作平面平行于直线，平面与四面体的棱、分别交于点、，求四面体体积的取值范围． 18．（本题满分17分） 一只不透明的箱子中装有3类卡片，其中A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张，所有卡片除类别外完全相同．抽取规则为：每次从箱子中随机抽取1张卡片，记录类别后放回箱子并且补充1张与抽取类别相同的卡片放入箱子，重复抽取3次． （1）设3次抽取中抽到A类卡片的次数为，求的分布列与数学期望； （2）已知第三次抽取的是A类卡片，求前两次抽取的卡片类别相同的概率． 19．（本题满分17分） 设，已知函数，． （1）若，求在上的值域； （2）当时，求证：，并指出等号成立的条件； （3）设，若实数满足．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 舟山市2025学年第二学期期末检测 高二数学（参考答案） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D B D C A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9 10 11 BCD AB ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13．6 14． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分） （1）解：在中，利用正弦定理可得：，（2分） 则．（5分） 故，，则．（7分） （2）解：由 可得（11分） 则（13分） 16．（本题满分15分） （1）解：．（3分） 故，得．（4分） （2）解：由（1）知．由， 得，（7分） 故的单调递增区间为．（9分） （3）解：，可得，则．（13分） 则使得成立的的取值集合为．（15分） 17．（本题满分15分） （1）证明：因为和都是边长为4的正三角形，且点为中点．所以、且．所以平面，且平面． 所以平面⊥平面．（4分） （2）解：设点到平面的距离为． 由（1）知平面，且是边长为的等边三角形． 所以，而，，． 故可得，设直线与平面所成角为． 则，即为所求．（9分） （3）解：如图右，平面平面，平面，故． 设，则，因为是边长为4的正三角形，且点为中点，设，则，并且可得． 所以． 过在平面内作，则由（1）知平面，故为到平面的距离，因为是边长为的正三角形，所以． 则． 故当时取得最大值；当趋近于0或1时趋近于0． 所以．（15分） 18．（本题满分17分） （1）解：由题意可知的可能取值为0，1，2，3．（1分） ：三次都没有抽到A，则．（2分） ：三次抽取中恰好一次取到A（分三种情况：A在第1或第2或第3次被抽到） 则．（3分） ：三次抽取中恰好两次取到A（分三种情况：非A在第1或第2或第3次被抽到） 则．（4分） ：三次都抽到A，则．（5分） 因此的分布列为： 0 1 2 3 (6分) ．（8分） （2）解：设事件D为“第三次抽取的是A类卡片”，事件E为“前两次抽取的卡片类别相同” 则． 步骤1：计算，按照抽取的次序及类别共有：AAA、ABA、ACA、BBA、BAA、BCA、CCA、CAA、CBA，9种情况．则： ．（13分） 步骤2：计算，前两次抽取类别相同且第三次抽取A的情况有3种：AAA、BBA、CCA. 则：．（16分） 故．（17分） 19．（本题满分17分） （1）解：若，，（2分） 其中，所以．（4分） （2）证明：因为 ．（7分） 而，，故，，． 所以． 所以，当且仅当时取得等号．（9分） （3）证明：先求函数的值域，令， 则． 若，则方程化为，故在值域中． 若，则视为关于的二次方程有实数解，则． 解此二次不等式得：．（11分） 因为，记，． 则，且的值域为 由可知．（13分） 证明： 1）当时，因为，所以，，则 ．（14分） 2）当时，由（2）知． 于是， 由得，因为，故，所以． 而，当时取得最大值为，因此． 所以．（16分） 下面说明等号无法成立． 若等号成立，则需要同时满足下列条件： （i）；（ii）；（iii）． 由（i）（ii）得与（iii）矛盾，故等号不能成立，因此（17分） ． 学科网（北京）股份有限公司 $