3.6 角 课件 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

该初中数学课件围绕“角”展开，涵盖定义（静态、动态）、表示方法、度量分类、比较运算、角平分线及余角补角等核心知识。通过观察图形情境导入，从具体形象到抽象概念，搭建“定义-表示-度量-运算-应用”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于融入数学眼光、思维与语言，如情境导入培养观察能力，尺规作图和角的换算训练推理与运算能力，方位角问题提升应用意识。采用动手操作（折叠分角）、典例解析等方法，课堂总结清晰，助力学生发展几何直观与创新意识，也为教师提供结构化教学资源。

3.6 角 1.角 1.掌握角的两种定义形式、几种表示方法，理解角的度量制． 2.了解角的分类，理解平角和周角的概念并能换算. 3.了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题. 学 习 目 标 观察图中的图形，你发现它们有什么共同特点吗？ 答：这些图形都给出了角的形象. 情 境 导 入 3 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角的顶点 角的边 讲 授 新 课 O 始边 终边 始边 终边 始边 终边 始边 终边 ☀归纳 动态定义：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边. 讲 授 新 课 ☀ 角的表示方法: (1)用三个大写字母表示：三个大写字母应分别为顶点、两条边上的任意的点，顶点的字母必须写在中间．如∠AOB； (2)用一个大写字母表示：要注意的是以这个角为顶点的角只能有一个.如∠O； ∠AOB ∠O 讲 授 新 课 ☀角的表示方法: （3）用一个数字表示：如∠1； （4） 用小写希腊字母表示，如∠α. ∠1 ∠α 讲 授 新 课 A O B A O (B) 绕着射线的端点旋转到终边和始边再次重合，这时所成的角叫做周角. ☀归纳 角的分类： 绕着射线的端点旋转到角的终边和始边成一条直线，这时所成的角叫做平角； 讲 授 新 课 度、分、秒是常用的角的度量单位，它们之间是60进制的. 1周角＝360° 1平角＝180° 1°＝ 60′ 1′＝ 60″ 把周角等分成360份，每一份就是1度的角，1度记作1°； 把1度等分成60份，每一份就是1分，记作1′； 把1分等分成60份，每一份就是1秒﹐记作1". 讲 授 新 课 角的度量：最常用的度量角的工具是量角器. ① 对中（顶点对中心）； ② 重合（一边与量角器 零刻度线重合）； ③读数（读出另一边所在 的度数）. 讲 授 新 课 从角的度数分类： 锐角：大于0°，小于90°的角； 直角：等于90°的角； 钝角：大于90°，小于180°的角； 讲 授 新 课 例1 （1）把18°15′化成用度表示的角； （2）把93.2°化成用度、分、秒表示的角. 解（1）先把15′化成度，即15′=（）=0.25 所以 18°15′＝18.25 （2）因为1°＝60′， 所以 0.2°＝60′×0.2＝12′ 因此 93.2°＝93°12′ 典 例 精 析 北 南 西 东 东北 西北 西南 东南 还记得如图所示的八个方向吗？那是日常生活中经常用到的一些方向，如太阳从东方升起，明天将有4～5级西北风，等等.但实际上，八个方向还是不够用的. 如果要准确地表示方向，那就要借用角的表示方式. 讲 授 新 课 方位角： 射线OA 的方向是北偏东60° 射线OB 的方向是南偏西30° 表示方位的角 正北（或正南）方向线与目标方向线所夹的锐角 方位角 讲 授 新 课 例2 如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线. 仿照这条射线，画出表示下列方向的射线： （1）南偏东25°；（2）北偏西60°. O A 25° 60° 解：如图所示. （1）以正南方向的射线为始边，逆时针旋转25°,所成的角的终边即为所求的射线. (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60°,所成的角的终边即为所求的射线. 典 例 精 析 1.下列关于角的说法正确的个数是(　　) ①角是由两条射线组成的图形； ②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A A．1 B．2 C．3 D．4 随 堂 检 测 2. 下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是(　　 ) A B C D B 随 堂 检 测 3.下列关于平角、周角的说法正确的是(　　) A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．反向延长射线OA，就形成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角 C 随 堂 检 测 4.（1）表示把48.26°化成用度、分、秒表示的角； （2）把37°24′36″化成用度表示的角. (2)先把36″化成分，即（）′＝0.6′， 再把24.6′化成度，即（）°＝0.41°， 所以37°24′36″用度来表示为37.41°. 解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′ ＝48°15′＋0.6×60″ ＝48°15′36″； 随 堂 检 测 60° 30° 5. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东 60° 方向有白色漂浮物，同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏西 30°方向.试在图中确定白色漂浮物C 的位置； A B 北 北 C 随 堂 检 测 角的2种定义 角 角的4种表示方法 方位角 角的度量与转换 课 堂 总 结 3.6 角 2.角的比较和运算 1.了解角的大小比较的方法； 2.掌握角的度数的运算和角的运算； 3.掌握角的平分线及其应用； 4.会用圆规和直尺画一个角等于已知角. 学 习 目 标 O A B F E D H G C 观察如图所示的三个角，哪一个最大？ 从上图我们可以发现，∠DEF明显比∠AOB和∠CGH小，但∠AOB与∠CGH的大小关系不太明显. 那么如何比较，才能得到准确的结果呢? 思 考 如图所示，把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在重合的这一条边的同侧.显然，∠CGH>∠AOB，或∠AOB<∠CGH A B O G H C G（O） H B C（A） 讲 授 新 课 O A B C G H D E F 比较角的大小，也可以用量角器分别量出角的度数，然后加以比较.如我们用量角器可以量出图中的三个角的度数分别为： ∠AOB=60°30′，∠DEF=36°，∠CGH=65° 所以∠CGH＞∠AOB＞∠DEF 讲 授 新 课 45° 45° 30° 60° 一副三角尺上的角是一些常用的角，除了可以用它们直接画出30°、45°、60°和90°的角之外，还可以画出其他一些特殊的角. 讲 授 新 课 75° 15° ☀思考 用一副三角板还可以画出哪些特殊的角？ 讲 授 新 课 由角的大小比较方法我们可以看到，角的大小与它的开口大小有关，开口越大，角越大；开口一样大，角就相等. 前面我们曾用直尺和圆规准确地作出了一条线段等于已知线段 我们能否用直尺和圆规准确地作出一个角等于已知角呢? 思 考 分别以两个角的顶点为圆心、相同长为半径作弧.可以发现，∠2的开口大，圆弧长些，也就是说，圆弧与角两边的交点之 间的线段也长些. 从而想到，如果两个角中，所作圆弧与角两边的交点之间的线段相等，那么这两个角就应该相等. 在图中，∠2>∠1. ☀思考 由此，你能发现用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法吗? 讲 授 新 课 如图，∠AOB为已知角，试用直尺和圆规按下列步骤准确地作一个角等于∠AOB. A O B ☀归纳 将没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为“尺规作图”. 讲 授 新 课 A O B O′ A′ （1）首先作射线O′A′； 作法： （2）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； C D 讲 授 新 课 A O B O′ A′ C D （3）以点O′为圆心、OC的长为半径画弧﹐交O′A′于点C′ ； （4）以点C′为圆心、CD的长为半径画弧﹐交前一条弧于点D′ ; C′ D′ （5）经过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所要画的角. B′ 作法： 讲 授 新 课 我们可以对角进行简单的加减运算，如： (1)34°34'+21°51' = 55°85′=56°25'; =179°60′-52°31'=127°29'. (2)180°－52°31' ☀思考 观察图中的∠AOC、∠COB和∠AOB,如何表示它们之间的关系呢? O B A C 讲 授 新 课 我们可以用熟悉的“和差”来表示： O B A C 可见，两个角相加或相减，得到的和或差也是角. ∠AOC+∠COB = __________. 或∠AOB-∠AOC=__________. 或∠AOB-∠COB=__________. ∠AOB ∠COB ∠AOC 讲 授 新 课 如图,用量角器和直尺在纸上画∠AOB=84°. 然后沿点O对折，使边OB和OA重合，那么折痕把角分成了大小相等的两部分. 你也可以用量角器画出等分∠AOB的射线OC. ☀归纳 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 讲 授 新 课 例 如图，OC 是平角∠AOB 的平分线，∠COD = 32°， 求∠AOD 的度数. 解 因为∠AOB 是平角， 所以∠AOB = 180°， 因为OC 是平角∠AOB 的平分线 所以∠AOC = 90° 因为∠COD = 32°, 所以∠AOD =∠AOC +∠COD = 90° + 32°= 122°. O A B C D 典 例 精 析 1．如图，用同一个三角尺比较∠A与∠B的大小，其中正确的是 (　　) A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定 B 随 堂 检 测 2.如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′， 求∠BOC 的度数. 解：因为∠AOB 是平角， ∠AOB＝∠AOC +∠BOC， 所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC ＝180°－53°17′ ＝179°60′－53°17′ ＝126°43′. O C B A 随 堂 检 测 3．如图，已知∠α，求作∠CAB，使得∠CAB＝∠α.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 解 如图，∠CAB即为所求． 随 堂 检 测 40 角的大小比较 角的比较和运算 作一个角等于已知角 角的平分线 角的和差 课 堂 总 结 3.6 角 3.余角和补角 1. 了解余角、补角的概念， 2.掌握余角和补角的性质,并能利用余角、补角的知识解决相关问题； 学 习 目 标 1 2 α β 用量角器量一量两组图中各角的大小，看看你发现了什么？ 20° 70° 40° 50° ∠1＋∠2＝90° ∠α＋∠β＝90° 情 境 导 入 1 2 α β 如果∠1＋∠2＝90°， 那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角. ☀归纳 两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.简称互余. 讲 授 新 课 1 2 1 那么把这两个角像这样拼一起，就构成一个直角. α β ☀归纳 反过来，如果两个角互余， 讲 授 新 课 3 4 就说这两个角互为补角，简称互补. ∠3＋∠4＝180°，那么∠3、∠4互为补角. ☀归纳 同样，如果两个角的和等于180°（平角）， 讲 授 新 课 1 2 3 4 想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？ ∠1＝∠3 ☀归纳 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等. 思 考 例3 已知∠α＝50°17′，求∠α的余角和补角. 解：∠α的余角＝90°－50°17′＝39°43′ ∠α的补角＝180°－50°17′＝129°43′ 典 例 精 析 1. 如图，已知∠AOB = 90°， ∠AOC =∠BOD，则与∠AOC 互余的角有________________. ∠BOC 和∠AOD O A B C D 2. 一个角的余角是它的 2 倍，这个角的度数是（　 ） A．30° B．45° C．60° D．75° A 随 堂 检 测 3. 已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若∠A = 60°， 则∠C的度数是_______. 150° 4. ∠1 与∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1 = °，∠2 = °. 62 28 随 堂 检 测 5. ∠α的补角是它的 3 倍，∠α是多少度？ 分析： 根据补角的定义，它的补角表示为 (180° -∠α)，题目中的数量关系：补角 = 这个角的 3 倍. 解：依题意得 180° -∠α = 3∠α， 解得 ∠α = 45° 答：∠α 是 45°. 随 堂 检 测 余角和补角的定义 余角和补角 余角和补角的性质 课 堂 总 结 $