期末练习（综合训练）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

**基本信息** 以圆柱圆锥体积、比例应用为核心，通过“原理推导-变式训练-实际应用”逻辑链整合知识，突出空间观念与模型意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间与图形|6题（如1/5/10题）|等底等高体积关系、旋转体侧面积计算|圆柱圆锥体积公式推导→切割/旋转情境应用| |比例与比例尺|5题（如2/4/9题）|比例尺单位换算、内外项乘积关系|比例基本性质→正反比例判断→实际问题建模| |综合应用|4题（如27/29/31题）|体积不变原理、比例解应用题|数学思维（运算能力）→实际问题解决（应用意识）|

2025-2026学年北师大版六年级数学下册期末综合训练 一、填空题 1．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是1.2立方分米，圆锥的体积是( )立方分米。 2．一个零件长4.5毫米画在一幅图纸上，零件长9厘米，这幅图的比例尺是( )。 3．六五折（    ）（填成数）（    ）。 4．一个比例，已知两个外项互为倒数，一个内项是0.5，另一个内项是( )。 5．有一根2.5米长的圆柱形圆木，把它锯成三段相同的小圆木，表面积增加了24平方米，这根圆木的体积是( )立方米。 6．一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是3厘米，它的体积是( )立方厘米。 7．从7：20到7：40，钟表上的分针绕中心点按( )时针旋转了( )°。 8．工地有一堆圆锥形沙子，底面周长12.56米，高3米。如果用这堆沙子铺2厘米厚的路面，能铺( )米长（路面宽4米，π取3.14）。 9．“天和核心舱”的某个精密零件实际长7.5mm，放大后画在图纸上，在图纸上长15cm，这幅图纸的比例尺是( )。 10．一个长方形，长6cm，宽4cm，以长边为轴旋转一周得到一个圆柱。这个圆柱的侧面积是( )cm2，体积是( )cm3。 11．x和y都不为0，如果4x＝5y，x和y成( )比例；如果4÷y＝x，x和y成( )比例。（填“正”或“反”） 12．一个圆柱半径是5cm，如果把它的高截短3cm（如图①），这个圆柱的表面积就减少( )。如果把原来这个圆柱的底面平均分成若干份后拼成一个近似的长方体（如图②），表面积就比原来增加，那么这个圆柱的体积是( )。（π取3.14） 二、选择题 13．下面各组比中，能组成比例的是（    ）。 A．2∶5和4∶8 B．0.8∶0.4和1∶2 C．3∶4和1.5∶2 D．4∶5和2.5∶2 14．用4根相同的小棒摆成一个正方形，若用同样的小棒，摆成一个边长放大到原来的4倍的正方形，还需要（    ）根这样的小棒。 A．4 B．8 C．12 D．16 15．2，3，6，x这四个数可以组成比例，在下面答案中，x等于（    ）。 A．6 B．4 C．3 D．2 16．一个零件长0.5cm，画在图纸上长1dm，图纸上的比例尺是（    ）。 A．1∶20 B．20∶1 C．2∶1 D．1∶2 17．x和y是相关联的量，它们的关系可以用如图的图像表示。那么，这个图像可能是（    ）的关系。 A．自行车车轮的周长和转数 B．正方形的面积和周长 C．平行四边形的面积一定，底和高 D．圆柱的高一定，体积和底面积 三、判断题 18．长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积都可以用“底面积×高”计算，底面积与高都相等的这四种立体图形，体积最小的是圆锥。( ) 19．如果2x＝3y（x、y都不为0），则x∶y＝2∶3。( ) 20．平移、轴对称和旋转，这三种变换都能保持图形的形状和大小不发生变化。( ) 21．一组互相咬合的齿轮数量分别为72和48.如果大齿轮转40圈，小齿轮应该转60圈。( ) 22．比例5∶3＝15∶9的内项3增加6，要使比例成立，外项9应该增加18。( ) 四、计算题 23．直接写得数。      101×56＝                         7.6×99＋7.6＝         2.5∶（    ）＝2∶0.4    ＝            24．计算（能简算的要简算） 90÷÷50％                                                 25×1.6×12.5 25．求未知数x。                  26．求图中组合体的体积。（单位：厘米） 五、解答题 27．一个长31.4厘米、宽10厘米、高2厘米的长方体钢材，熔铸成一个底面积为15.7平方厘米的圆柱钢锭，这个钢锭的高是多少分米？ 28．学校大课间活动时，同学们喜欢玩一种陀螺玩具，尺寸如下图（单位：厘米）。它的体积大约是多少立方厘米？ 29．小华读一本故事书，每天读40页，9天可以读完。如果小华想6天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例知识解答） 30．一幅地图的比例尺为1∶4000000，在这幅地图上，甲、乙两地的图上距离是9厘米。两辆小车分别从甲、乙两地同时相对开出，甲车平均每小时行80千米，乙车的速度比甲车快25%。两车开出多少小时后在途中相遇？ 31．刘大爷家新建了一间厨房，用地板砖铺满厨房地面。计划用边长4分米的方砖铺地要360块，后来改用边长6分米的方砖，至少需要多少块？（用比例解答） 32．小南跟着爸爸在路口提起爱心茶水摊。他搬来一桶6升的凉茶，准备用底面直径6厘米、高10厘米的一次性圆柱形茶杯分装，分给环卫工人。（杯壁厚度忽略不计，取3.14） (1)这桶6升的凉茶，够20个环卫工人每人倒满一杯吗？ (2)小南制作凉茶时发现，每制作0.5升凉茶需要加入25克冰糖。那么制作这壶6升的凉茶需要加入多少克冰糖？（用比例解答） 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．0.3/ 【分析】根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份，它们的体积之和相当于4份圆锥的体积，用体积之和除以4，即可求出圆锥的体积。 【详解】1.2÷（3＋1） ＝1.2÷4 ＝0.3（立方分米） 2．20∶1 【分析】先根据1厘米＝10毫米，把9厘米换算成毫米，再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”即可解答。 【详解】9厘米＝90毫米 90∶4.5 ＝（90×10）∶（4.5×10） ＝900∶45 ＝（900÷45）∶（45÷45） ＝20∶1 3．39；六成五；65；；4 【分析】几折就是几成。六五折表示单位“1”的百分之六十五。据此写出六五折等于几成，等于百分之几。再把表示六五折的百分数化成分母是100的分数，再把它化简成最简分数，然后根据分数的基本性质，把这个分数化成分母是60的分数。然后把表示六五折的百分数化成最简分数，用比的前项除以这个分数，即可算出六五折＝∶（    ）；最后把表示六五折的百分数化成小数，用被除数除以这个小数，即可算出六五折＝2.6÷（    ）。 【详解】六五折＝六成五＝65%； 65%＝＝＝＝＝； 65%＝＝，÷＝×＝； 65%＝0.65，2.6÷0.65＝4； 即。 4．2 【分析】互为倒数的两个数的乘积为1； 再根据比例的基本性质，内项积等于外项积； 即用1除以一个内项即可得到另一个内项。 【详解】另一个内项：1÷0.5＝2 5．15 【分析】根据“锯的次数＝段数－1”可知，锯成三段需要锯2次，锯一次增加2个截面的面积，据此可求出锯两次共增加的截面面数，再用增加的表面积除以共增加的截面面数，求出一个截面的面积，最后根据体积等于截面面积乘长度，求出圆木的体积。 【详解】锯的次数：3－1＝2（次） 共增加的截面面数：2×2＝4（个） 一个截面的面积：24÷4＝6（平方米） 圆木的体积：6×2.5＝15（立方米） 6．28.26 【分析】先根据“”求出圆锥的底面半径，再根据“”求出圆锥的体积。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） ＝ ＝ ＝9×3.14 ＝28.26（立方厘米） 7． 顺 120 【分析】钟表的分针正常转动方向为顺时针，分针转一整圈（360°）是60分钟，每分钟分针转360°÷60＝6°，计算7：20到7：40经过多少分钟，就转了多少个6°。 【详解】钟表的分针正常转动方向为顺时针； 360°÷60＝6° 7：40－7：20＝20（分钟） 20×6＝120° 8．157 【分析】已知底面周长12.56米，高3米。首先根据圆的半径＝周长÷π÷2求出圆锥底面半径，再利用圆锥体积＝×底面积×高求出沙堆的体积。铺成的路面可看作长方体，其体积等于沙堆体积。宽为4米，高为2厘米，注意将路面厚度单位换算为米，最后根据长方体的长＝体积÷宽÷高求出路面的长。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（米） ×3.14×2²×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（立方米） 2厘米＝0.02米 12.56÷4÷0.02＝157（米） 能铺157米长。 9．20∶1 【分析】比例尺定义：图上距离∶实际距离＝比例尺；放大比例尺是图上距离大于实际距离，用于精密零件图纸。 单位统一规则：计算比例尺前，图上距离、实际距离单位必须换算成相同长度单位。 1.梳理已知信息：实际零件长7.5mm ，图纸图上长度是15cm。 2.统一单位：因为1cm＝10 mm，所以15cm＝150mm。 3.按比例尺公式列式：比例尺＝图上距离∶实际距离＝150∶7.5 4.化简整数比。 【详解】150∶7.5＝150÷7.5∶7.5÷7.5＝20∶1 10． 150.72 301.44 【分析】确定旋转得到的圆柱的底面半径和高，因为是以长方形长边为轴旋转，所以长方形的宽是圆柱底面半径，长方形的长是圆柱的高。 计算侧面积时，用到圆柱侧面积公式，代入对应半径和高计算即可。 计算体积时，用到圆柱体积公式，代入对应半径和高计算即可。 【详解】以长6cm的长边为轴旋转一周，圆柱的高等于长方形的长，即；底面半径等于长方形的宽，即。 计算侧面积： 计算体积： 11． 正 反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】4x＝5y，则x∶y＝5∶4，5∶4＝，比值一定，x和y成正比例。 如果4÷y＝x，xy＝4，乘积一定，所以x和y成反比例。 12． 94.2 785 【分析】把高截短3cm，减少的表面积就是底面半径为5cm、高为3cm的圆柱的侧面积。把圆柱的底面平均分成若干份拼成近似的长方体后，表面积比原来增加了两个长方形面，每个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，所以增加的面积为2rh。由增加面积100cm²可以求出圆柱的高，再根据V＝πr2h求体积。 【详解】2×3.14×5×3 ＝6.28×5×3 ＝94.2（cm2） 100÷（2×5） ＝100÷10 ＝10（cm），即圆柱的高是10cm。 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（cm3） 因此这个圆柱的表面积就减少94.2cm2，这个圆柱的体积是785cm3。 13．C 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。判断两个比能否组成比例，可以通过求比值的方法，若两个比的比值相等，则能组成比例，否则不能组成比例。据此分别计算各选项中两个比的比值，再进行比较即可。 【详解】A．2∶5＝2÷5＝0.4，4∶8＝4÷8＝0.5，因为0.4≠0.5，所以不能组成比例，此选项错误； B．0.8∶0.4＝0.8÷0.4＝2，1∶2＝1÷2＝0.5，因为2≠0.5，所以不能组成比例，此选项错误； C．3∶4＝3÷4＝0.75，1.5∶2＝1.5÷2＝0.75，因为0.75＝0.75，所以能组成比例，此选项正确； D．4∶5＝4÷5＝0.8，2.5∶2＝2.5÷2＝1.25，因为0.8≠1.25，所以不能组成比例，此选项错误。 14．C 【分析】先根据“”求出原来正方形每条边需要小棒的数量，把正方形的边长放大到原来的4倍，则每条边的长度放大到原来的4倍，现在正方形每条边需要小棒的数量＝原来正方形每条边需要小棒的数量×4，现在正方形一共需要小棒的数量＝现在正方形每条边需要小棒的数量×4，还需要小棒的数量＝现在正方形一共需要小棒的数量－原来正方形一共需要小棒的数量。 【详解】4÷4＝1（根） 1×4＝4（根） 4×4＝16（根） 16－4＝12（根） 还需要12根这样的小棒。 15．B 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知三个数2、3、6，要确定第四个数，需考虑这三个数中哪两个数的积等于另外两个数的积。分别计算三种情况下的值，再与选项进行比对，找出符合题意的选项。 【详解】若2和3为一组，6和为一组，则x的值为：2×3÷6＝1； 若2和6为一组，3和为一组，则x的值为：2×6÷3＝4； 若3和6为一组，2和为一组，则x的值为：3×6÷2＝9； 综上所述，的值可能是1、4或9。观察选项，只有4在选项中。 16．B 【分析】先统一图上距离与实际距离的单位，再根据比例尺的意义：比例尺是图上距离与实际距离的比，写出比例尺，最后根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变）化简即可解答。 【详解】1dm＝10cm 10:0.5 ＝（10×10）:（0.5×10） ＝100:5 ＝（100÷5）:（5÷5） ＝20:1 17．D 【分析】两种相关联的量，若这两种量的比值（商）一定，两种量成正比例关系；若这两种量的乘积一定，两种量成反比例关系；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。正比例关系的图像特征是一条过原点的直线。分析每个选项中两个量的关系即可。 【详解】A．自行车行驶的路程＝自行车车轮的周长×转数，周长是固定的，应该是行使的路程和转数成正比例，该选项不符合题意； B．根据正方形的面积＝边长×边长、正方形的周长＝边长×4可知，正方形面积÷边长＝边长，边长不一定，就是正方形的面积和它的边长的比值不一定，所以正方形的面积和周长不成正比例关系，该选项不符合题意； C．平行四边形的面积＝底×高，平行四边形的面积一定，是乘积一定，则底和高成反比例关系，该选项不符合题意； D．圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积，圆柱的高一定时，圆柱的体积和底面积的比值一定，则体积和底面积成正比例关系，该选项符合题意。 18．× 【分析】长方体的体积，正方体的体积，圆柱的体积，圆锥的体积。设四种立体图形的底面积均为S，高均为h，则长方体、正方体、圆柱的体积相等，都为，而圆锥的体积为，在四个立体图形中是最小的。 【详解】长方体、正方体和圆柱的体积都可以用公式计算，即体积等于底面积乘高。圆锥的体积计算公式是，即体积等于底面积乘高再乘。因此，圆锥的体积不能用“底面积×高”直接计算，当底面积与高都相等时，圆锥的体积确实是这四种图形中最小的。但题干中关于体积计算公式的描述不正确。 故答案为：× 19．× 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据已知等式2x＝3y，若要将x和y写成比的形式x∶y，则x作为外项，y作为内项，那么与x相乘的数2应作为外项，与y相乘的数3应作为内项，据此推导出x与y的正确比值，再与题干进行比较判断。 【详解】如果2x＝3y（x、y都不为0），则x∶y＝3∶2，原题说法错误。 故答案为：× 20．√ 【分析】平移：物体或图形沿着直线移动，本身的方向、形状、大小都不改变的运动。 轴对称：图形沿着一条直线对折后，直线两边的部分能完全重合，对折后的图形和原图形形状、大小完全相同。 旋转：物体或图形绕着一个点或轴做圆周运动，本身的形状、大小都不改变，只是位置和方向变了。 【详解】平移：比如把一个正方形向右平移3格，它的四条边长度、四个角的大小都和原来一样，形状、大小都没变。 轴对称：比如画一个爱心的轴对称图形，对折后两边能完全重合，新图形和原爱心的形状、大小完全相同。 旋转：比如把一个三角形绕着顶点顺时针旋转90°，它的三条边长度、三个角的大小都和原来一样，形状、大小都没变。 所以“平移、轴对称和旋转，这三种变换都能保持图形的形状和大小不发生变化”这句话是正确的。 故答案为：√ 21．√ 【分析】互相咬合的齿轮，在传动过程中，两个齿轮转过的总齿数是相等的，即“大齿轮齿数×大齿轮转数＝小齿轮齿数×小齿轮转数”，可以通过分别计算大齿轮和小齿轮转过的总齿数，看是否相等来判断说法是否正确。 【详解】大齿轮转过的总齿数：72×40＝2880 小齿轮转过的总齿数：48×60＝2880 2880＝2880，即大齿轮转过的总齿数等于小齿轮转过的总齿数，原题说法正确。 故答案为：√ 22．√ 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。内项3增加6变为3＋6，假设外项9应该增加x，要使比例成立，则有5:（3＋6）＝15:（9＋x），解比例求出x的值，与18对比即可。 【详解】设要使比例成立，外项9应该增加x，则有 5:（3＋6）＝15:（9＋x） 解：5×（9＋x）＝（3＋6）×15 45＋5x＝9×15 45＋5x＝135 5x＝135－45 5x＝90 x＝18 故答案为：√ 23．；5656；2.8；；760； ；0.5；0.027；25； 【解析】略 24．300；12；7875；500 【详解】略 25．x＝0.5；x＝2；x＝29 【分析】5x－1.6＝，根据等式的性质1，两边同时加上1.6，然后再根据等式的性质2，两边同时除以5，即可解答； x∶＝1.2∶根据比例的基本性质，内项积＝外项积，即原式变为：x＝1.2×，再根据等式的性质2，两边同时除以即可解答； 25－0.2x＝19.2这里0.2x相当于减数，减数＝被减数－差，即0.2x＝25－19.2，之后再根据等式的性质2，两边同时除以0.2即可解答。 【详解】5x－1.6＝ 解：5x＝0.9＋1.6 5x＝2.5 x＝2.5÷5 x＝0.5 x∶＝1.2∶ 解：x＝1.2× x＝1.5 x＝1.5÷ x＝2 25－0.2x＝19.2 解：0.2x＝25－19.2 0.2x＝5.8 x＝5.8÷0.2 x＝29 26． 立方厘米 【分析】组合体是由一个长方体和一个圆柱体组成，则组合体的体积＝长方体的体积＋圆柱的体积；根据长方体的体积公式（a代表长方体的长，b代表长方体的宽，h代表长方体的高），圆柱的体积公式（d代表直径，h代表高），代入数据计算即可求解。 【详解】长方体体积：（立方厘米） 圆柱的体积： （立方厘米） 总体积：（立方厘米） 即组合体的体积为84.56立方厘米。 27． 4分米 【分析】钢材在熔铸过程中，形状改变但体积保持不变。首先根据长方体体积公式计算出钢材的体积，即圆柱钢锭的体积；然后根据圆柱体积公式的逆运算，用体积除以底面积求出圆柱的高（单位为厘米）；最后根据题意，将计算结果由厘米换算成分米。 【详解】 （立方厘米） （厘米） 厘米分米 答：这个钢锭的高是分米。 28．169.56立方厘米 【分析】先把陀螺分解成圆柱和圆锥两个基本立体图形，从图中可知圆柱和圆锥的底面直径和高，利用公式和分别计算它们的体积，再相加得到总体积 【详解】6÷2＝3（厘米） 圆柱部分体积： 3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝141.3（立方厘米） 圆锥部分体积： ×3.14×32×3 ＝3.14×9 ＝28.26（立方厘米） 陀螺总体积： 141.3＋28.26＝169.56（立方厘米） 答：它的体积大约是169.56立方厘米。 29．60页 【分析】这本书的总页数固定不变，每天读的页数和读书天数成反比例关系，设平均每天要读x页，根据“每天读的页数×天数＝书的总页数”，列出反比例方程6x＝40×9求解。 【详解】解：设平均每天要读x页。 6x＝40×9 6x＝360 6x÷6＝360÷6 x＝60 答：平均每天要读60页。 30． 小时 【分析】首先根据实际距离图上距离比例尺，求出甲、乙两地的实际距离，并将单位换算为千米；再把甲车速度看作单位“”，乙车的速度就是甲车的，根据求一个数的百分之几是多少用乘法求出乙车速度；最后利用相遇问题的数量关系“时间路程速度和”，求出两车相遇的时间。 【详解】 （厘米） 厘米 千米 （千米/时） （小时） 答：两车开出小时后在途中相遇。 31．160块 【分析】根据“每块方砖的面积×需要的块数＝厨房地面的总面积”，可知每块方砖的面积与需要的块数成反比例关系。设改用边长6分米的方砖需要x块，依据反比例关系列出方程求解即可。 【详解】解：设至少需要x块。 6×6×x＝4×4×360 36x＝4×4×360 36x＝5760 36x÷36＝5760÷36 x＝160 答：至少需要160块。 32．(1) 够。 (2) 【分析】（）先根据圆柱体积公式计算单个茶杯的容积，因为要先知道杯的总容积，所以需将单个茶杯容积乘得到总体积，再统一单位后和升比较大小。 （）因为每升凉茶所需冰糖质量固定，凉茶体积和冰糖质量成正比例关系，所以先设需要的冰糖质量为未知数，再根据正比例关系列比例式求解。 【详解】（1） （立方厘米） （立方厘米） 立方厘米毫升 立方厘米毫升 升毫升 升毫升 答：这桶升的凉茶，够个环卫工人每人倒满一杯。 （2）解：设制作这壶升的凉茶需要克冰糖 答：制作这壶升的凉茶需要加入克冰糖。 答案第14页，共15页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $