辽宁省2025-2026学年八年级第二学期期末数学模拟卷（北师大版）

**基本信息** 以民族文化与生活实践为情境，融合几何直观、模型意识与创新探究，全面考查八年级下册核心知识的期末模拟卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、分式意义、多边形外角和等|民族服饰图案（文化传承）、《四元玉鉴》古题（数学文化）| |填空题|5/15|因式分解、中心对称点、函数图像等|几何计算与代数推理结合，如对称点坐标| |解答题|8/75|分式方程、平行四边形证明、实际应用等|混动汽车费用（模型意识）、平面镶嵌（应用意识）、垂直函数新定义（创新意识）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 辽宁省2025-2026学年八年级第二学期期末数学模拟卷 （版本：北师大版 考试时间：120分钟，分值：120分） 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．正十二边形的外角和为（  ） A． B． C． D． 4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点，，将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，将沿中位线剪开后，把得到的两部分拼成平行四边形，所得平行四边形的周长是（ ） A． B． C．4或 D．或 10．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．多项式2x2﹣8因式分解的结果是______． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 13若是关于的一元一次不等式，则______． 14．如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 15．如图，中，，D，E分别是，上的点，于点H．，，，则长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．（1）解分式方程：； （2）计算：． 17．如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． (1)求证：． (2)若，，．求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的格点上． (1)关于原点成中心对称的图形为，画出并直接写出点的对应点的坐标； (2)将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形． 19．随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多元．求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 20．如图，已知平行四边形． (1)求作：的平分线交延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，与相交于点，连接，若恰好平分，补全图形，并证明四边形是平行四边形． 21．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． (1)如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，同理．再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 ． (2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示．全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜50元；用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 元． 22．【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 23．已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 辽宁省2025-2026学年八年级第二学期期末数学模拟卷 （版本：北师大版 考试时间：120分钟，分值：120分） 第Ⅰ卷 （选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可求解，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是关键． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 2．要使分式有意义，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， 故选：B． 3．正十二边形的外角和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于． 【详解】解：因为多边形的外角和为，所以正十二边形的外角和为． 故选：C． 4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平移的性质，三角形内角和定理，结合图形得到角之间的关系是解题关键． 由平移的性质可得，，进而可得，最后三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：由平移的性质可得，， ， 故选：D． 6．不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，于是可得到正确的选项． 【详解】解不等式x-1≤0得x≤1， 解不等式x+3＞0得x＞-3， 所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为： ． 7．如图，在中，点，，将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点的坐标的平移规律求解即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为，即， 故选：A． 8．如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点M是的中点，，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于H，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：过点B作于H，如下图所示，    ∵，点M是的中点， ∴是的中位线， ∴ 此时点A在地面上，小朋友离地面的距离最大，最大值为， 故选：C． 9．如图，在中，，，，将沿中位线剪开后，把得到的两部分拼成平行四边形，所得平行四边形的周长是（ ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查图形的拼剪，含度的直角三角形，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．首先在中求出，再根据中位线定理求出，，找出剪开后相等的线段，把相等的线段拼在一起，因此有两种拼接方法，分别画出拼接后的图形，然后再求出周长即可． 【详解】解：在中，，，， ， 由勾股定理得：， 是的中位线， ，，， 依题意有两种情况： ①当点与点重合，的斜边与重合时，， 所拼成的平行四边形的周长为：； ②当点与点重合，的直角边与重合时，，， 所拼成的平行四边形的周长为： 综上所述：所拼成的平行四边形的周长为：或． 故选：D． 10．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．多项式2x2﹣8因式分解的结果是______． 【答案】2(x+2)(x-2) 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】原式=2（x2-4）=2（x+2）（x-2）， 故答案为2（x+2）（x-2） 12．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 13若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 14．如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 15．如图，中，，D，E分别是，上的点，于点H．，，，则长为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点A作且，连接，过点E作，将求的长转化为求的长，然后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作且，连接，过点E作， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴，解得：, ∴， 在中，． ∴． 故答案为：7． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16题10分，17-21题每题8分，22题12分，23题13分。 16．（1）解分式方程：； （2）计算：． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，掌握解分式方程的方法，分式的混合运算顺序和法则，是解题的关键． （1）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）根据分式混合运算法则，先计算小括号的分式减法，然后再计算分式除法即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解； （2） ． 17．如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． (1)求证：． (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理： （1）根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理逆定理可得以及平行四边形的性质可得，，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格线的格点上． (1)关于原点成中心对称的图形为，画出并直接写出点的对应点的坐标； (2)将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，画出平移后的图形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查作图平移变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可得， ； （2）解：如图，即为所求． 19．随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多元．求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 【答案】汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元，根据从甲地行驶到乙地的路程相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元，甲、乙两地的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米． 20．如图，已知平行四边形． (1)求作：的平分线交延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，与相交于点，连接，若恰好平分，补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质与判定，等角对等边，熟练掌握平行四边形的性质以及基本作图是解题的关键； （1）根据题意作出的角平分线，即可求解； （2）根据题意补全图形，然后证明得出，进而证明得出，结合，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 21．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． (1)如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，同理．再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 ． (2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示．全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜50元；用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 元． 【答案】(1) (2)①正三角形瓷砖每块的价格为25元，则正六边形瓷砖每块的价格为75元；②1275． 【分析】（1）根据平移的性质可得图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，则图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，如图1所示，过点B作于E，求出，进而求出，，再根据平行四边形的面积公式求得的面积，然后求得图形5的面积即可； （2）①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，然后根据用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等列出方程求解即可；②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，则为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，根据图形找出正六边形瓷砖最多的情形并进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，则图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同， 如图1：过点B作于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图5的面积； （2）解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元， 由题意得，，解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴正三角形瓷砖每块的价格为25元，则正六边形瓷砖每块的价格为75元． ②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而， ∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多， 根据图7结合题意可知，第一行3个六边形，紧接着第二行错开一位2个六边形， 正六边形瓷砖最多可以使用13块，此时正三角形瓷砖需要12块， ∴购买瓷砖最少需要元． 22．【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）详见解析． 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得，，再通过旋转得，，然后证明，最后利用全等三角形的性质来求解的长度； （2）先通过旋转得，，证明是等边三角形，再结合等边三角形，证明，则，根据三角形内角和定理得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明根据勾股定理，即可求解； （3）在上截取，连接，证明，进而得出是等边三角形，则，进而证明是的中位线，得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，； （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 而， ∴． 23．已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（）根据“垂直函数”的定义解答即可； （）①根据“垂直函数”的定义求出，再利用待定系数法求出的解析式，分别联立和的解析式，联立和的解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再求出直线经过点时的值，根据图象与线段有两个公共点可求出的取值范围；②根据平行线的性质可得点横坐标为，点横坐标为，即得，，得到，，再利用平行线的性质求出的值即可求解；③，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，利用轴对称的性质可得，可知当点在点位置，即点三点共时，的值最大，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，再代入解答即可求解； 本题考查了一次函数的新定义，一次函数的几何应用，平行四边形的性质等，理解一次函数的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，， ∴函数的“垂直函数”的函数表达式为； （2）解：①∵函数， ∴函数和它的“垂直函数”， 当与线段有交点时， 设的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴的解析式为， 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 把代入，得， ∴， 即直线经过点时， ∵要使图象与线段有两个公共点， ∴， ∴的取值范围为； ②如图，∵，，平行于轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， 把代入，得， ∴点， 把代入，得， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∵的水平距离为， ∴平行四边形的面积为； ③如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，， ∴ 又∵， ∴当点在点位置，即点三点共时，的值最大， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 把代入，得， ∴． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $