1.2 集合间的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集的概念及表示，通过“思考0,{0}与⌀关系”的问题导入，衔接元素与集合的旧知，搭建从元素关系到集合关系的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象，通过“明辨是非”辨析易混点，典例2用列举法、元素特征法、Venn图法判断集合关系，“解题有招”总结步骤。学生能提升推理与抽象能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

1.2　集合间的基本关系 【学习目标】 1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.(数学抽象、逻辑推理) 2.会判断给定集合间的关系,并会用符号和Venn图表示.(直观想象) 3.在具体情境中,了解空集的含义.(数学抽象) 一、子集及相关概念 1.Venn图:用平面上_______________代表集合,这种图称为Venn图. 2.两个集合之间的关系 封闭曲线的内部 [点睛] 1.∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系;⊆表示集合与集合的关系; 2.集合相等的等价条件:A=B⇔A⊆B,且B⊆A. 二、空集 定义 不含_________的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的_____,即_____ 任何元素 子集 ⌀⊆A [思考] 0,{0}与⌀三者之间有什么关系? 提示: 项目 0和{0} ⌀和0 ⌀和{0} 不同点 0是实数,{0}是含有一个元素0的集合,⌀表示不含任何元素的集合 关系 0∈{0} 0∉⌀ ⌀⫋{0} 三、子集的性质 1.任何一个集合是它本身的子集,即_____. 2.对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么_____. [点睛] 1.不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B. 2.含n个元素的集合有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集. A⊆A A⊆C 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个集合之间一定有包含关系.( ) 提示:不一定,如集合A={2,3},B={1,2,4},这两个集合就没有包含关系. (2)空集是任何集合的真子集.( ) 提示:空集是空集的子集,但不是真子集. (3)若A⫋B,则B中至少有一个元素不属于A.( ) 提示:由真子集的概念可知. (4)若B⊆A,元素a∉A,则a∉B.( ) 提示:因为B是A的子集,所以不属于A的元素一定不属于B. × × √ √ 类型1 求集合的子集、真子集(逻辑推理) 【典例1】(1)填写表格,回答后面的问题: 集合 元素个数 所有子集 子集个数 ⌀       {a}       {a,b}       {a,b,c}       ①你能直接说出集合{a,b,c,d,e}的子集的个数吗? ②如果一个集合的元素个数为n,你能用n表示该集合子集、真子集的个数吗? 【解析】 ①集合{a,b,c,d,e}共有32个子集. ②含n个元素的集合的子集共有2n个,真子集共有2n-1个. 集合 元素个数 所有子集 子集个数 ⌀ 0 ⌀ 1 {a} 1 ⌀,{a} 2 {a,b} 2 ⌀,{a},{b},{a,b} 4 {a,b,c} 3 ⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8 (2)(2025·杭州高一检测)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,3,4,5},这样的集合M有 (　　) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【解析】选B.由题意,得1,2∈M且3,4,5不全部是M的元素,所以集合M可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},共7个. √ 【解题有招】 求集合子集、真子集个数的三个步骤   提醒:要注意两个特殊的子集:⌀和自身. 【即学即练】 1.已知集合M={x|-<x<},下列是集合M的子集的是(　　) A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1} C.R={-π,-1,1} D.S={-1,0,} 【解析】选B.因为-π<-3<-,所以集合P,R不是M的子集,因为∉M,所以集合S不是M的子集,集合Q⫋M,满足要求. √ 2.已知集合A={(1,2),(2,1),(2,2)},试写出A的所有子集,并指出哪些是真子集. 【解析】因为A={(1,2),(2,1),(2,2)}, 所以A的子集有:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)}, {(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)},{(1,2),(2,1),(2,2)}. 其中A的真子集为:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)}, {(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)}. 类型2 集合间关系的判断(逻辑推理) 【典例2】(1)设集合A={x|x是等腰直角三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等边三角形},D={x|x是直角三角形},则(　　) A.C⊆A B.D⊆A C.C⊆B D.D⊆B 【解析】选C.直角三角形不一定是等腰直角三角形,故B错误; 等边三角形都是等腰三角形,故C⊆B,故C正确; 等边三角形都不是等腰直角三角形,故A错误; 直角三角形不一定是等腰三角形,故D错误. √ (2)(一题多解)已知集合M={x|x=k+,k∈Z},N={x|x=+1,k∈Z},则(　　) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M∩N=⌀ √ 【思路引领】 读 已知集合M,N,判断它们的关系 想 判断两个集合关系的方法 列举观察法 集合元素特征法 数形结合法 算 变换k值,有规律列举M,N中的部分元素,观察判断 把M,N中元素的特征等式变形为统一的形式,结合特征判断 画出两集合的Venn图,结合图形判断 思 k取哪些值较好? 如何把特征等式变形为统一的形式? 图中元素怎样得到的? 【解析】选A.方法一(列举观察法): 观察上表,可以判断M⊆N. k -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 k+ - - - +1 - 0 1 2 3 4 方法二(集合元素特征法): M={x|x=k+,k∈Z}={x|x=,k∈Z}, N={x|x=+1,k∈Z}={x|x=,k∈Z}, 因为2k+1,k∈Z表示所有的奇数,而k+2,k∈Z表示所有的整数,所以M⊆N. 方法三(数形结合法): 由方法一,可以得到Venn图如图所示: 所以M⊆N. 【解题有招】 判断集合间关系的方法 【即学即练】 1.已知集合M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则表示它们关系的Venn图是(　　)   【解析】选B.根据题意,集合N={0,-1},则N⫋M,B选项符合题意. √ 2.(2025·韶关高一检测)若A={x|x2=x},则下列说法正确的是 (　　) A.⌀∈A B.{1}=A C.{-1,1}⊆A D.{0}⊆A 【解析】选D.A={x|x2=x}={0,1},⌀⊆A,故A错误;{1}≠{0,1},故B错误;-1∉{0,1},故C错误;0∈{0,1},即{0}⊆A,故D正确. √ 类型3 根据集合间的关系求参数(逻辑推理、数学运算) 角度1　根据集合的相等关系求参数 【典例3】若,则b-a=　　　　.  【解析】由题意则a=,解得a=-1(a=1不满足互异性,舍去), 所以b-a=2. 答案:2 【解题有招】 根据集合的相等关系求参数的注意事项 由集合相等求参数时要特别注意验证集合中元素的互异性. 【即学即练】 已知集合A={0,1,a2},B={1,0,3a-2},若A=B,则a=　　　　.  【解析】由题意,得a2=3a-2,解得a=1或2, 当a=1时,集合A,B均不满足互异性,舍去,a=2满足题意. 答案:2 角度2　根据集合的包含关系求参数 【典例4】(类题·节节高) (1)已知集合A={x|x>4},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围为　　　.  【解析】因为B≠⌀,根据题意作出如图所示的数轴,  则解得2<a≤3, 所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}. 答案:{a|2<a≤3} (2)已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围为　　　.  【解析】当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,  可得或,解得a<-4或2<a≤3, 故实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}. 答案:{a|a<-4或a>2} 【解题有招】 利用集合的包含关系求参数问题的关注点 (1)题目原型:一般涉及两个集合,其中一个是含参数的,另一个是具体的. (2)解题技法:借助数轴. (3)注意事项:弄清哪个集合是子集,注意对含参集合是否为空集的讨论,不要忘记验证端点值. 【即学即练】 1.已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x≤2},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　) A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2 【解析】选C.依题意,A={x|0<x<a},B={x|1<x≤2},且B⊆A,所以a>2. √ 2.已知集合A={x|-2≤x≤2},若集合B={x|x≤a}满足A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　.  【解析】因为A={x|-2≤x≤2}≠⌀,A⊆B,所以A与B的关系如图所示: 所以a≥2. 答案:{a|a≥2} $