第5章一元一次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程，以“概念辨析-运算技能-综合应用”为路径，分层设计基础巩固与能力提升题，适配暑假预习的差异化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方程定义、等式性质、基本解法|单选题1-6、填空题11-15，直接考查核心概念与运算，培养抽象能力| |中档|简单应用与变式计算|单选题7-8、填空题16，结合老鼠打洞、加密传输等情境，发展模型意识| |提升|综合应用与创新拓展|解答题19-22，涉及“美好方程”新定义、旅游费用优化、数轴动态问题，强化推理能力与应用意识|

【暑假预习课】第5章一元一次方程-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则x的值是（    ）． A．6 B． C．6或 D．不确定 4．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 5．下列方程变形正确的是（    ） A．方程移项，得 B．方程去括号，得 C．方程可化为 D．方程系数化为1，得 6．已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A． B． C． D． 7．现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 9．小明从家去学校，若以每分钟100米的速度奔跑，则早到15分钟，若以每分钟50米的速度走路，则迟到5分钟．设小明出发时离上课时间为x分钟，列出方程为（   ） A． B． C． D． 10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，用来表示不大于x的最大整数，如，那么（    ） A．9 B．16 C．27 D．64 二、填空题 11．是一个五次多项式，则的值为_____________． 12．若，则______________． 13．某次数学竞赛有10道试题，若小宁得70分，根据图中两人的对话可知小宁答对_____题，答错_____题． 14．有一个分数，用这个分数除以后，将所得结果不进行约分，分子与分母的和是71，原来它的分子与分母的和是28，这个分数是______． 15．如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______． 16．在图中的7个圆圈内各填一个数，要求在每一条直线上的3个数中，中间的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么，_____． 三、解答题 17．解一元一次方程 (1) (2)． 18．先化简，再求值：，其中是关于x的一元一次方程． 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 20．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对 ； (2)若有理数对，则 ； (3)当满足等式的x是整数时，求整数k的值． 21．国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 22．如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点B表示的数为___________． (2)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________；（用含的代数式表示） (3)经过多少秒点恰为的中点？ (4)当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【暑假预习课】第5章一元一次方程-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A C B D B D B 1．C 【详解】解：方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此可知只有选项C符合题意． 2．B 【详解】解：A、∵，∴，∴，A是正确的，不符合题意； B、当且仅当时成立，当时，，该等式不成立，故该选项不一定成立，符合题意； C、∵，∴，∴，C是正确的，不符合题意； D、∵，∴，D是正确的，不符合题意． 3．C 【分析】先移项可得，再根据绝对值的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 4．A 【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可． 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 5．C 【分析】根据解一元一次方程的步骤逐一判断即可． 【详解】解：A．方程移项，得，故A错误； B．方程去括号，得，故B错误； C．方程，整理得，解得，故C正确； D．方程系数化为1，得，故D错误． 6．B 【详解】解：解方程得：， 解方程得，， ∵方程的解与方程的解互为相反数， ∴， 解得：， 7．D 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚7尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设小老鼠第一天打洞的距离为尺，则大老鼠第一天打洞距离也为尺．由题意可得 ∴ 解得 ， 因此小老鼠第一天打洞距离为尺． 8．B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 9．D 【详解】解：∵设小明出发时离上课时间为分钟，路程速度时间，且小明家到学校的路程不变， ∴速度为每分钟100米时，早到15分钟，实际用时为分钟，家到学校路程为， 速度为每分钟50米时，迟到5分钟，实际用时为分钟，家到学校路程为， ∴可得方程 ． 10．B 【分析】设第二行第二个空格中的数为，第一行第二个空格的数为b，可得每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和为，由左上角的数m和中间数a，得出右下角的数，再由最右侧一列可得右上角的数，最后由第一行可以列方程求出m，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】设第二行第二个空格中的数为，第一行第二个空格的数为b， 则每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和为， 由左上角的数m和中间数a，得出右下角的数是， 由最右侧一列可得右上角的数是， 由第一行可以列式为， 解得， ，， ． 11． 【分析】根据题中多项式为五次多项式，得到最高次项的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式的两项分别为与，的次数为，的次数为， 该多项式是五次多项式， 最高次项的次数为，可得，解得． 12．或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 13． 8 2 【分析】设小宁答对了x题，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：设小宁答对了x题， 依据题意，得， ， ， 解得， 所以答错了（题）． 14． 【分析】设原分数的分子为，根据原分子分母和为28，表示出原分母，根据分数除法法则，分数除以等价于乘以，得到变化后的分子与分母，再根据变化后分子分母和为71，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个分数原来的分子为，由原来分子分母的和为，得原来的分母为，原分数可表示为， 根据题意，得，此时变化后的分子为，分母为. 根据变化后分子与分母的和为，列方程得， 解得， 则原来的分母为，因此这个分数是． 15．7 【分析】先解第一个方程得到的值，再利用两个方程解相同，将代入第二个方程求解即可． 【详解】解：解方程得 因为两个方程的解相同，将代入得 解得 16．14 【分析】设中间的数为y，则上边的数为，得出左上角的数为，然后列出方程求解即可． 【详解】解：， 设中间的数为y，则上边的数为， 左上角的数为， 由题意可得：， 解得：， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤即可求解； （2）根据解一元一次方程的步骤即可求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 18．化简为，值为3． 【分析】先去括号，合并同类项，根据一元一次方程的定义得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式， ∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 19．(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 20．(1) (2)1 (3)整数k的值为3或5或7或9． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出整数k的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∵x是整数， ∴或， ∴整数k的值为3或5或7或9． 21．(1)； (2)①选择乙旅行社，理由见解析；②选择甲旅行社，理由见解析 (3)当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 【分析】（1）根据题意中的优惠方案，列出代数式； （2）把人数、分别代入（1）中的代数式计算，比较后得出结论； （3）先列方程求出两家旅行社费用一样时的人数，再结合（2）的解答写出建议即可． 【详解】（1）解：甲旅行社的费用为：（元）； 乙旅行社的费用为：元． 故答案为：； （2）解：①选择乙旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择乙旅行社； ②选择甲旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择甲旅行社； （3）解：当两家旅行社费用一样时，可列方程， 解得， 答：当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 22．(1) (2)， (3) (4)当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算公式即可； （2）根据点、运动的方向及速度即可得出点、表示的数； （3）根据点恰为的中点列出方程计算即可求解； （4）分相遇前及相遇后两种情况，根据，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点B表示的数为． （2）解：∵点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， （3）解：∵点运动到点的时间为秒，点运动到点的时间为秒， ∴点为的中点时，点在点右侧，点在点左侧， ∵点表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵点恰为的中点， ∴，即， 解得：． （4）解：①当点与点相遇之前，， ∵， ∴ 解得：， ②当点与点相遇之后，， ∵， ∴， 解得：， ∴当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $