专题04 二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义 (知识梳理+题型精析+强化巩固专练) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题04二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 · 理解抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，建立函数与方程的关联。 · 掌握判别式 Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴交点个数的对应关系，能区分无交点、一个交点、两个交点三种情况。 · 会利用二次函数图象求解一元二次方程近似根，看懂图象与x轴交点的几何意义。 · 能结合函数图象解简单一元二次不等式，借助抛物线上下位置确定自变量取值范围。 · 理解抛物线与x轴两交点距离公式，会结合韦达定理计算交点间线段长度。 · 能综合运用判别式、韦达定理、二次函数图象性质解决含参数综合题型。 · 感受数形结合思想，学会用代数计算分析图像特征、用图像直观简化方程、不等式问题。 · 分层预习要求：基础掌握交点与方程根的对应关系；提高会用Δ判断交点个数、求解方程近似根；拓展能结合图象解不等式、处理参数综合题。 预习必备 知识梳理 1.二次函数与一元二次方程 2.两个衍生结论 3.求一元二次方程近似解 4.二次函数与不等式的关系 5.含参数题型解题模板 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5.二次函数图象确定方程根的情况 6.求x轴与抛物线的截线长 7.图象法确定方程的近似跟 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 11.一元二次方程解的估算 强化题型 解答题6题 知识点01:二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 **x轴交点的横坐标 **，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的实数根。 二、判别式 Δ=b2−4ac 与图像、方程的关系 判别式 Δ 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点 Δ>0 有两个不相等的实数根 x1、x2 有两个不同交点 (x1 0)、(x2 0) Δ=0 有两个相等的实数根 x1=x2​ 有唯一交点（顶点在x轴上） Δ<0 无实数根 无交点 知识点02:两根衍生结论（结合韦达定理） 设抛物线与x轴交于(x1,0),(x2,0)，则方程ax2+bx+c=0满足： · 两根和：x1+x2=- · 两根积：x1x2= · 两交点之间线段长度： 知识点03:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1） 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； （2） 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 .从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 04 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点05:含参数综合题型解题模板 题型 1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件 a≠0； (2)计算判别式Δ； (3)根据交点个数列不等式（Δ>0/Δ=0/Δ<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型 2：已知交点距离，求参数 步骤： 题型 3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到交点(x1、x2)； (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 概念前提 忽略 a≠0，把一次式当作二次函数讨论交点 二次函数必须满足 a≠0，a=0 是一次函数 先写 a≠0，再算判别式 根与交点 认为 “1 个交点” 对应方程 1 个根 Δ=0 是两个相等实数根，不是 1 个根 表述必须写 “两个相等实数根” 判别式计算 算Δ=b2-4ac 时符号出错 严格代入符号，常数项为负时整体参与运算 先算 b2，再算 4ac，最后相减 不等式解集 不看 a 正负直接套区间 a>0和a<0 解集完全相反 先判断开口方向，再结合图像写范围 近似根估算 区间过大，近似值误差大 逐步缩小区间，y 正负交替处必有根 看(y)更小的一侧（或点 (x,y)离 x 轴更近的一侧），该侧 x 更接近真实根 参数综合题 求出参数后不检验 Δ≥0 参数需同时满足 a≠0 和 Δ取值要求 代回判别式验证，舍去无效解 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【跟踪专练1】若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【跟踪专练3】如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】函数图象与轴的交点坐标是______ 【跟踪专练1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 【跟踪专练2】若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【跟踪专练1】点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】已知函数的顶点在x轴上，那么______． 【跟踪专练1】抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是_______． 【跟踪专练1】抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【跟踪专练2】二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 题型6.求x轴与抛物线的截线长 【典例】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【跟踪专练2】下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【跟踪专练3】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型7.图象法确定方程的近似跟 【典例】下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【跟踪专练1】如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 【跟踪专练3】已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 题型8.图象法解一元二次不等式. 【典例】二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【跟踪专练2】在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 【跟踪专练3】已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 【跟踪专练1】如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知方程的一个实根小于，一个实根大于，则实数的取值范围是________． 【跟踪专练3】二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y 0 0 … 有下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴是直线；③由抛物线可知的解集是；④抛物线与x轴的交点坐标为．其中，正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 题型11.一元二次方程解的估算 【典例】在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【跟踪专练1】根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 3．已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． (1)求该抛物线的解析式； (2)求代数式的值． 4．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表：. … 0 3 … … 0 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是________． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 6．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 · 理解抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交点横坐标，就是对应一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根，建立函数与方程的关联。 · 掌握判别式 Δ=b2-4ac判断抛物线与x轴交点个数的对应关系，能区分无交点、一个交点、两个交点三种情况。 · 会利用二次函数图象求解一元二次方程近似根，看懂图象与x轴交点的几何意义。 · 能结合函数图象解简单一元二次不等式，借助抛物线上下位置确定自变量取值范围。 · 理解抛物线与x轴两交点距离公式，会结合韦达定理计算交点间线段长度。 · 能综合运用判别式、韦达定理、二次函数图象性质解决含参数综合题型。 · 感受数形结合思想，学会用代数计算分析图像特征、用图像直观简化方程、不等式问题。 · 分层预习要求：基础掌握交点与方程根的对应关系；提高会用Δ判断交点个数、求解方程近似根；拓展能结合图象解不等式、处理参数综合题。 预习必备 知识梳理 1.二次函数与一元二次方程 2.两个衍生结论 3.求一元二次方程近似解 4.二次函数与不等式的关系 5.含参数题型解题模板 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5.二次函数图象确定方程根的情况 6.求x轴与抛物线的截线长 7.图象法确定方程的近似跟 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 11.一元二次方程解的估算 强化题型 解答题6题 知识点01:二次函数与一元二次方程 一、核心联系（数形结合） 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 **x轴交点的横坐标 **，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的实数根。 二、判别式 Δ=b2−4ac 与图像、方程的关系 判别式 Δ 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点 Δ>0 有两个不相等的实数根 x1、x2 有两个不同交点 (x1 0)、(x2 0) Δ=0 有两个相等的实数根 x1=x2​ 有唯一交点（顶点在x轴上） Δ<0 无实数根 无交点 知识点02:两根衍生结论（结合韦达定理） 设抛物线与x轴交于(x1,0),(x2,0)，则方程ax2+bx+c=0满足： · 两根和：x1+x2=- · 两根积：x1x2= · 两交点之间线段长度： 知识点03:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1） 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； （2） 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 .从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 04 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点05:含参数综合题型解题模板 题型 1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件 a≠0； (2)计算判别式Δ； (3)根据交点个数列不等式（Δ>0/Δ=0/Δ<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型 2：已知交点距离，求参数 步骤： 题型 3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到交点(x1、x2)； (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 概念前提 忽略 a≠0，把一次式当作二次函数讨论交点 二次函数必须满足 a≠0，a=0 是一次函数 先写 a≠0，再算判别式 根与交点 认为 “1 个交点” 对应方程 1 个根 Δ=0 是两个相等实数根，不是 1 个根 表述必须写 “两个相等实数根” 判别式计算 算Δ=b2-4ac 时符号出错 严格代入符号，常数项为负时整体参与运算 先算 b2，再算 4ac，最后相减 不等式解集 不看 a 正负直接套区间 a>0和a<0 解集完全相反 先判断开口方向，再结合图像写范围 近似根估算 区间过大，近似值误差大 逐步缩小区间，y 正负交替处必有根 看(y)更小的一侧（或点 (x,y)离 x 轴更近的一侧），该侧 x 更接近真实根 参数综合题 求出参数后不检验 Δ≥0 参数需同时满足 a≠0 和 Δ取值要求 代回判别式验证，舍去无效解 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键．m是抛物线与x轴交点的横坐标，即m是方程的根，由方程可直接得出的值． 【详解】解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根，即， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练1】若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 【跟踪专练2】若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵、两点在抛物线上， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵在抛物线上， ∴当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____． 【答案】或 【分析】函数为二次函数，与轴恒有一个交点，因此与坐标轴只有两个交点需分两种情况讨论：一是二次函数与轴只有一个交点，与轴交于异于原点的点，共两个交点；二是二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为原点，此时与轴交点和原点重合，总交点数为两个，据此分别求解即可． 【详解】解：是二次函数，当时，， 函数图象与轴恒有一个交点， 函数图象与坐标轴只有两个交点，分两种情况讨论： 情况1：抛物线与轴只有一个交点，且交点不是原点， 此时根的判别式，且，即， 解得， 情况2：抛物线与轴有两个不同交点，且其中一个交点为原点，此时原点为抛物线与坐标轴的公共交点，总交点数为， 将代入函数解析式得， 检验：当时，，抛物线与轴有两个不同交点，符合题意； 综上，的值为或． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 【跟踪专练1】点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为 ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】已知函数的顶点在x轴上，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了把化成顶点式，抛物线与x轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数的顶点在x轴上，得出方程只有一个实数根，从而可得到关于b的方程求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 【跟踪专练2】已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据抛物线上点的坐标满足抛物线解析式，将交点代入解析式，得到的值，利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：把代入抛物线解析式， 得 ， 整理得． ． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与轴交点个数与判别式的关系；由图象得，，，图象与轴无交点，即可求解． 【详解】解：由图得 ，，， ， A 、C 、D都正确； 图象与轴无交点， ， B的结论错误； 故选：B． 题型5.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】若、是关于x的方程的两根，且，则a、b、m、n的大小关系是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质、一元二次方程与二次函数的关系，准确分析判断是解题的关键． 通过构造二次函数，利用函数图像分析方程根的位置关系． 【详解】函数，该函数为二次函数，开口向上，与 x 轴交于点和， 方程，即，表示求函数与水平线的交点， 二次函数顶点在轴下方，且在轴上方， 方程有两个实数根，分别位于的左侧和的右侧， 已知， 故． 故答案是：． 【跟踪专练1】抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 【跟踪专练2】二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息可得二次函数时，，由此可得二次函数的对称轴为直线，则对应的的值为，故或，由此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时， 即对应的的值为， ∴在一元二次方程中，或 解得，， 故答案为：， 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】A 【分析】本题考查根据图象判断一元二次方程的根的情况，根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：由图可得与x轴有两个不同的交点， 则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， 故选：A． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 【典例】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 【跟踪专练2】下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 【跟踪专练3】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 题型7.图象法确定方程的近似跟 【典例】下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【跟踪专练1】如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 【跟踪专练2】已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 【答案】①④/④① 【分析】根据和的函数值相同求出二次函数的对称轴，进而根据的函数值大于的函数值，即离对称轴越近函数值越大即可判断①；根据时，即可判断②；根据和关于直线对称，即可判断③；根据当时，，当时，，二次函数与x轴的一个交点在3和4之间，即可判断④． 【详解】解：∵和的函数值相同， ∴二次函数对称轴为直线， ∵ ∴离对称轴越近函数值越大， ∴二次函数开口向下，故①正确； ∵时，， ∴二次函数与y轴交于正半轴，故②错误； ∵和关于直线对称， ∴时，，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴二次函数与x轴的一个交点在3和4之间， ∴方程的正根在3与4之间，故④正确； 故答案为：①④； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确根据表格中的数据求出二次函数的对称轴方程是解题的关键． 【跟踪专练3】已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 题型8.图象法解一元二次不等式. 【典例】二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２ 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 【跟踪专练2】在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质和解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键；先根据点 M 和 N 在函数图象上求出和的表达式，再代入不等式，并结合点 P 在函数上得到 p 的表达式，消去常数 d 后得到关于 k 的不等式组，解不等式组即可得到 k 的取值范围． 【详解】解：∵在二次函数 上， ∴． ∵在二次函数上， ∴． ∵， ∴． 又∵ 在二次函数上， ∴， 代入不等式得 ． 即 ． 解左边不等式 即， 因式分解得， 解得 或 ． 解右边不等式，即， 因式分解得，解得 ． 取交集，得或 ． 故答案为或 ． 【跟踪专练3】已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，， ∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为； 又∵抛物线开口向上， ∴不等式的解集是或； 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 【跟踪专练2】已知方程的一个实根小于，一个实根大于，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将方程转化为开口向上的二次函数，“一个根小于、一个根大于”等价于和时函数值小于，据此分别代入函数后解不等式，再找出同时满足两个条件的的取值范围． 【详解】解：令， 二次项系数为， 函数图像开口向上， 方程一个实根小于，一个实根大于， 当或时，， 将代入可得，解得， 将代入可得，解得， 故实数的取值范围是． 【跟踪专练3】二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y 0 0 … 有下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴是直线；③由抛物线可知的解集是；④抛物线与x轴的交点坐标为．其中，正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 根据表格数据以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：当和时，， 抛物线对称轴为直线，故②正确； 由表格数据可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 抛物线开口向上，故①错误； 当和时，， 抛物线与轴的交点坐标为和，故④错误； 抛物线开口向上， 当时，， 抛物线的解集是，故③正确； 故选：B． 题型11.一元二次方程解的估算 【典例】在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 【跟踪专练2】根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 解答题 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的结合、二次函数上点的坐标特征以及二次函数在给定区间内的最值问题，关键是掌握二次函数的图象性质与方程的结合． （1）求二次函数与轴的交点，只需令，解一元二次方程即可； （2）点在抛物线上，将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先将二次函数化为顶点式，确定其开口方向与顶点坐标，再结合给定的的范围，分析的最值，从而确定取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 因式分解得，解得，， 由图象可知点在轴负半轴，点在轴正半轴， 故，； （2）解：∵点在抛物线上， ∴将代入解析式得， 解得或． 故或； （3）解：， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， 又∵， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； 比较可得，当时，的最大值为，最小值为， 故的取值范围为． 3．已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． (1)求该抛物线的解析式； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）把点代入抛物线可求出c的值，根据增减性得到抛物线对称轴为直线，求出b的值，即可得到抛物线解析式； （2）根据m是抛物线与轴交点的横坐标，得到，变形为，进而得到，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，即， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 抛物线对称轴为直线， ∴， ， 该抛物线的解析式为； （2）解：是抛物线与轴一个交点的横坐标， ， ∴， ， 方程两边除以得，即， ， ， ． 4．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表：. … 0 3 … … 0 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先得到该二次函数图象的开口方向和对称轴，再求得时的x值，然后根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵由表格可知该二次函数的图像与轴的交点分别是，． ∴设该二次函数的表达式为． ∵当时，， ∴该二次函数的表达式为． 解得． ∴该二次函数的表达式为，即． （2）解：由得，该二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 解方程得，， ∴当时，或． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出当时的值即可得到答案； （2）先求出对称轴和顶点坐标，最大值，再求出或时二次函数的值即可得解； （3）分情况列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， 当时，， 当时，， ∴点的纵坐标的取值范围为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 当点M在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点N在对称轴直线的左侧，点M在对称轴直线的右侧时， 由题意得，该不等式组无解； 综上所述，． 6．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【答案】(1)①，，；②，；③左，，下， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $