4.2认识一次函数习题课件 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“均匀变化”核心知识点，通过“从学校回家行走”的生活情境导入，引导学生观察时间与路程的关系，结合小球滚动、水池注水等实例，构建从实际问题到数学概念的认知支架，为一次函数学习奠定基础。 其亮点在于以生活与科技实例（如神舟飞船速度、汽车耗油量）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过表格分析、关系式推导发展数学思维（推理意识、运算能力），用函数关系式表达变量关系强化数学语言（模型意识）。分层训练（基础+拔高）助力学生巩固，教师可借助丰富实例提升教学效率。

第四章　一次函数 2　认识一次函数 第1课时　均匀变化 数学·八年级上册　 1 【思考】假设你在从学校回家的过程中，以70米/分的速度行走，路程是否随 着时间的变化而“均匀变化”？时间和路程又是什么样的关系？你能不能再 举出类似的例子？ 数学·八年级上册　 在解决实际问题中感受变量的均匀变化 　　在一个变化过程中，一个变量增加① 数值时，另一个变量的改 变量是② ⁠. 相同　 相同的　 数学·八年级上册　 【例】一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s. （1）小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）是均匀变化吗？ 解：由题意可得，时间t每增加1 s，速度v增加2 m/s，所以速度v随着时间t均匀变化. （2）求第3.5 s时小球的速度. 解：小球由静止向下滚动，当t＝3.5 s时，v＝0＋2×3.5＝7（m/s）， 即第3.5 s时小球的速度为7 m/s. 数学·八年级上册　 一空水池现需注满水，水池深4.9 m，现以不变的流量注水，数据 如下表，可以推断注满水池所需的时间是 ⁠. 水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间t/h 0.5 1 1.5 2 解析：∵深度h每增加0.7 m，时间都固定增加0.5 h， ∴将空水池注满水，需要的时间为0＋0.5×（4.9÷0.7）＝3.5（h）， ∴注满水池所需的时间是3.5 h. 3.5 h　 数学·八年级上册　 1. 下列选项中，不是“均匀”变化的现象是（　C　）. A. 汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间之间的关系 B. 在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C. 摩天轮上某一点离地面的高度与旋转时间之间的关系 D. 三角形一边上的高一定时，三角形面积与该边的长度之间的关系 C 数学·八年级上册　 2. 如表记录了一次试验中时间和温度的数据： 时间/min 0 3 6 9 12 15 温度/℃ 10 16 22 28 34 40 如果温度变化是均匀的，10 min时的温度是（　C　）. A. 28 ℃ B. 29 ℃ C. 30 ℃ D. 32 ℃ C 数学·八年级上册　 3. 如图是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中 放入大小相同的骰子.随着放入骰子数量的增加，水杯中的水面会升高，这 样的升高 （填“是”或“不是”）“均匀”变化的. 不是　 数学·八年级上册　 4. 神舟二十一号飞船在发射升空过程中，在最初的某个阶段，飞船的速度随 时间均匀变化.此阶段飞船的速度v与时间t关系见下表： 发射时间t/s 2 3 4 … 8 飞船速度v/m•s－1 100 150 200 … 400 飞船发射后第10秒时的速度是 ⁠. 解析：由表格可知，时间t每增加1秒，速度v增加50 m/s， ∴v与t的关系式为v＝50 t， 当t＝10时，代入得v＝50×10＝500（m/s）， 故答案为500 m/s. 500 m/s　 数学·八年级上册　 5. 在探究水沸腾时温度变化特点的实验中，下表记录了实验中水的温度 （℃）随时间（min）变化的数据.实验中温度的变化是均匀的. 时间/min 0 5 10 15 20 25 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 （1）若设实验中水的温度为y ℃，时间为x min，试写出y关于x的关系式. 解：根据时间每增加5 min，温度升高15 ℃可得y＝10＋15× ＝3x＋10. （2）试求出18分钟时的水温. 解：当x＝18时，y＝3×18＋10＝64（℃）. 数学·八年级上册　 6. “五一”假期，小明和父母开车到距家180千米的西乡旅游.出发前，汽车 油箱内储油36升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千 米时，发现油箱剩余油量为20升. （1）求： ①汽车平均每千米的耗油量； 解：∵小明发现油量随着里程均匀变化，当行驶160千米时，发现油箱剩余油 量为20升， ∴（36－20）÷160＝16÷160＝0.1（升） 即汽车平均每千米的耗油量为0.1升. 数学·八年级上册　 ②行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式； 解：依题意，汽车平均每千米的耗油量为0.1升， ∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝36－0.1x. 数学·八年级上册　 （2）当x＝240千米时，求剩余油量Q（升）的值； 解：依题意，把x＝240代入Q＝36－0.1x， 得Q＝36－0.1x＝36－0.1×240＝12， ∴剩余油量 Q（升）的值为12升. 数学·八年级上册　 （3）当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警.若往返途中，都未加 油.小明一家能否在汽车报警前回到家？请说明理由. 解：不能，理由如下： 依题意，把Q＝4代入Q＝36－0.1x， 得4＝36－0.1x，解得x＝320， 而往返共需要行驶180×2＝360（千米）. ∵320＜360， ∴小明一家不能在汽车报警前回到家. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点 ①相同　②相同的 例　解：（1）由题意可得，时间t每增加1 s，速度v增加2 m/s，所以速度v 随着时间t均匀变化. （2）小球由静止向下滚动，当t＝3.5 s时，v＝0＋2×3.5＝7（m/s），即第 3.5 s时小球的速度为7 m/s. 变式训练　3.5 h　解析：∵深度h每增加0.7 m，时间都固定增加0.5 h，∴ 将空水池注满水，需要的时间为0＋0.5×（4.9÷0.7）＝3.5（h），∴注满 水池所需的时间是3.5 h. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. C　2.C　3.不是 4.500 m/s　解析：由表格可知，时间t每增加1秒，速度v增加50 m/s， ∴v与t的关系式为v＝50 t， 当t＝10时，代入得v＝50×10＝500（m/s）， 故答案为500 m/s. 5. 解：（1）根据时间每增加5 min，温度升高15 ℃可得 y＝10＋15× ＝3x＋10. （2）当x＝18时，y＝3×18＋10＝64（℃）. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）①∵小明发现油量随着里程均匀变化，当行驶160千米时，发现 油箱剩余油量为20升， ∴（36－20）÷160＝16÷160＝0.1（升） 即汽车平均每千米的耗油量为0.1升. ②依题意，汽车平均每千米的耗油量为0.1升， ∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝36－0.1x. （2）依题意，把x＝240代入Q＝36－0.1x， 得Q＝36－0.1x＝36－0.1×240＝12， ∴剩余油量 Q（升）的值为12升. 数学·八年级上册　 （3）不能，理由如下： 依题意，把Q＝4代入Q＝36－0.1x， 得4＝36－0.1x，解得x＝320， 而往返共需要行驶180×2＝360（千米）. ∵320＜360，∴小明一家不能在汽车报警前回到家. 数学·八年级上册　 $第四章　一次函数 2　认识一次函数 第2课时　一次函数与正比例函数 数学·八年级上册　 1 在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位： kg）的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 （1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的变化是“均匀”的吗？ （2）写出y与x之间的关系式，并说明理由. 数学·八年级上册　 一次函数与正比例函数的概念 　　若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝① （k，b 为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当② ⁠ 时，称y是x的正比例函数. 特别说明：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. kx＋b　 b＝0　 数学·八年级上册　 【例】下列函数中，y是x的正比例函数的是（　D　）. A. y＝x－1 B. y＝ C. y＝2x2 D. y＝3x （2025•龙岗区同乐主力学校月考）下列函数中，是一次函数但不 是正比例函数的是（　C　）. A. y＝－4x B. y＝4x2＋6 C. y＝ x－1 D. y＝5－ D C 数学·八年级上册　 1. 下列函数中是正比例函数的是（　A　）. A. y＝－8x B. y＝ C. y＝x2 D. y＝ x－1 A 数学·八年级上册　 2. 下列说法中，正确的是（　D　）. A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数包括一次函数 C. 一次函数不包括正比例函数 D. 正比例函数是一次函数 D 3. （2025•南山区南海中学期中）若函数y＝（m－2）x｜m｜－1是一次函数， 则m的值为（　B　）. A. 2 B. －2 C. ±2 D. 0 B 数学·八年级上册　 4. （2025•福田区石厦中学期中）若y＝（a＋1）•xa2＋（b－2）是正比例 函数，则（a－b）2 025的值是 ⁠. 解析：∵y＝（a＋1） ＋（b－2）是正比例函数， ∴ 解得 ∴（a－b）2 025＝（1－2）2 025＝－1. －1　 数学·八年级上册　 5. 已知函数y＝（k－2）x＋（k2－4）. （1）若该函数是一次函数，求k的取值范围. 解：∵函数y＝（k－2）x＋（k2－4）是一次函数， ∴k－2≠0，解得k≠2. （2）若该函数是正比例函数，求k的值. 解：∵函数y＝（k－2）x＋（k2－4）是正比例函数， ∴ 解得k＝－2. 数学·八年级上册　 6. 已知y关于x的函数y＝（2m＋4）x＋m－2. （1）若该函数是正比例函数，求m的值； 解：∵y关于x的函数y＝（2m＋4）x＋m－2是正比例函数， ∴ 解得m＝2， ∴m的值为2. （2）若点（1，5）在函数图象上，求m的值. 解：∵点（1，5）在函数y＝（2m＋4）x＋m－2的图象上， ∴（2m＋4）×1＋m－2＝5，解得m＝1， ∴m的值为1. 数学·八年级上册　 7. 如图是由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由n个正方形组成.通过观察 后请回答： （1）第4个图形中，火柴棒有 根，第n个图形中，火柴棒有 ⁠ 根； 13　 （3n＋ 1）　 数学·八年级上册　 （2）若用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数，试判断y是不是x的 一次函数，并求出y与x之间的函数关系式. 解：结合图形，构建函数模型规律可推出y是x的一次函数，y与x之间的函 数关系式为y＝3x＋1. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点 ①kx＋b ②b＝0 例 D 变式训练 C 【随堂小测】 1. A　2.D　3.B 4. －1　解析：∵y＝（a＋1） ＋（b－2）是正比例函数， ∴ 解得 ∴（a－b）2 025＝（1－2）2 025＝－1. 数学·八年级上册　 5. 解：（1）∵函数y＝（k－2）x＋（k2－4）是一次函数， ∴k－2≠0，解得k≠2. （2）∵函数y＝（k－2）x＋（k2－4）是正比例函数， ∴ 解得k＝－2. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）∵y关于x的函数y＝（2m＋4）x＋m－2是正比例函数， ∴ 解得m＝2，∴m的值为2. （2）∵点（1，5）在函数y＝（2m＋4）x＋m－2的图象上， ∴（2m＋4）×1＋m－2＝5，解得m＝1，∴m的值为1. 7. 解：（1）13　（3n＋1） （2）结合图形，构建函数模型规律可推出y是x的一次函数，y与x之间的 函数关系式为y＝3x＋1. 数学·八年级上册　 $第四章　一次函数 2　认识一次函数 第3课时　一次函数的简单应用 数学·八年级上册　 1 前面我们探究了生活中的均匀变化的现象以及正比例函数、一次函数的定 义，那么在实际生活中有哪些熟悉的可以运用一次函数的实例呢？ 数学·八年级上册　 一次函数与生活中的实际问题 特别说明：一次函数的本质是两个变量之间的一种线性增长关系，即一个变 量（不管其原始数值如何）改变一个固定的常数后，另一个变量的相应改变 量也是固定的. 数学·八年级上册　 【例】一个弹簧不挂重物时长12 cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的 质量成正比.如果挂上1 kg的重物后弹簧伸长2 cm，则弹簧的总长y（单位： cm）关于所挂重物质量x（单位：kg）的函数表达式是 ⁠. y＝2x＋12　 数学·八年级上册　 （2025•龙华区教育科学院附属外国语学校期中）如图，漏刻是我 国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中 国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个 简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次 函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为 （　D　）. t/min … 0 1 2 3 … h/cm … 0.7 1.1 1.5 1.9 … D A. 3.3 B. 3.65 C. 3.9 D. 4.7 数学·八年级上册　 1. 下列两个变量间成正比例关系的是（　C　）. A. 正方形的面积与边长 B. 从甲地到乙地，所用的时间和速度 C. 圆的周长和半径 D. 三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 C 数学·八年级上册　 2. 某书定价为25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，若购 买x本（x＞20），那么应付款金额为（　C　）. A. 25x元 B. 20x元 C. （20x＋100）元 D. （20x－100）元 C 数学·八年级上册　 3. （2025•南山区白石洲学校期中）将长为30 cm，宽为10 cm的长方形白纸， 按如图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为3 cm.设x张白纸黏合后的总长 度为y cm，则y与x的函数关系式为 ⁠. 解析：每张纸条的长度是30 cm，x张应是30x cm，由题图可以看出4张纸条 之间有3个黏合部分，那么x张纸条之间有（x－1）个黏合部分，应从总长 度中减去， ∴y＝30x－（x－1）×3＝27x＋3. y＝27x＋3　 数学·八年级上册　 4. 下表反映的是某地区电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的关系，下 列说法不正确的是（　D　）. 用电量x/千瓦时 1 2 3 4 … 电费y/元 0.55 1.1 1.65 2.2 … A. x，y都是变量，其中x是自变量，y是x的正比例函数 B. 用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元 C. 若用电量为8千瓦时，则电费为4.4元 D. y不是x的一次函数 D 数学·八年级上册　 5. （2025•南山区南海中学期中）某超市开展促销活动：购买不超过10斤水 果，每斤8元；超过10斤的部分，每斤打八折.设购买x斤（x＞10）水果需 付款y元. （1）写出y关于x的函数关系式； 解：y＝10×8＋（x－10）×8×0.8＝80＋6.4x－64＝6.4x＋16（x＞10）. （2）小李付款124元，求他购买了多少斤水果. 解：当y＝124时，代入函数关系式，得124＝6.4x＋16， 解得x＝16.875. 答：小李购买了16.875斤水果. 数学·八年级上册　 6. 某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4 000元，每月的乘车人数x （人）与这趟公交车每月的利润（利润＝收入费用－支出费用）y（元）的 变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） x/人 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 … y/元 －3 000 －2 000 －1 000 0 1 000 2 000 … 请回答下列问题： （1）自变量为 ，因变量为 ⁠； 每月的乘车人数　 公交车每月的利润　 数学·八年级上册　 （2）y与x之间的关系式是 ⁠； 解析：∵从表格中的数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，每月的利 润就增加1 000元， ∴每位乘客坐一次车需要1 000÷500＝2（元）， 即函数关系式为y＝2（x－500）－3 000＝2x－4 000. 故答案为y＝2x－4 000. y＝2x－4 000　 x/人 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 … y/元 －3 000 －2 000 －1 000 0 1 000 2 000 … 数学·八年级上册　 （3）当每月乘车人数为4 000人时，每月利润为多少元？ 解：当x＝4 000时， y＝2×4 000－4 000＝4 000. 答：当每月乘车人数为4 000人时，每月利润为4 000元. x/人 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 … y/元 －3 000 －2 000 －1 000 0 1 000 2 000 … 数学·八年级上册　 7. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月 必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/分计；B类收费标准如下：没有月 租费，但通话费按0.3元/分计.按照此类收费标准完成下列各题： （1）直接写出每月应缴费用y（元）与通话时长x（分）之间的关系式：A 类： ；B类： ⁠. yA＝0.2x＋12　 yB＝0.3x　 数学·八年级上册　 （2）若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式所缴话费较少？ （3）求每月通话多长时间时，按A，B两类收费标准所缴话费相等. 解：当x＝300时，yA＝0.2×300＋12＝72，yB＝0.3×300＝90. ∵72＜90， ∴选择A类收费方式所缴话费较少. 解：依题意得0.2x＋12＝0.3x，解得x＝120. 答：每月通话120分钟时，按A，B两类收费标准所缴话费相等. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点 例 y＝2x＋12 变式训练 D 【随堂小测】 1. C　2.C 3. y＝27x＋3　解析：每张纸条的长度是30 cm，x张应是30x cm，由题图可 以看出4张纸条之间有3个黏合部分，那么x张纸条之间有（x－1）个黏合部 分，应从总长度中减去，∴y＝30x－（x－1）×3＝27x＋3. 4. D 数学·八年级上册　 5. 解：（1）y＝10×8＋（x－10）×8×0.8＝80＋6.4x－64＝6.4x＋16 （x＞10）. （2）当y＝124时，代入函数关系式，得124＝6.4x＋16， 解得x＝16.875. 答：小李购买了16.875斤水果. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）每月的乘车人数　公交车每月的利润 （2）y＝2x－4 000　解析：∵从表格中的数据变化可知，每月乘车人数每 增加500人，每月的利润就增加1 000元， ∴每位乘客坐一次车需要1 000÷500＝2（元）， 即函数关系式为y＝2（x－500）－3 000＝2x－4 000. 故答案为y＝2x－4 000. （3）当x＝4 000时， y＝2×4 000－4 000＝4 000. 答：当每月乘车人数为4 000人时，每月利润为4 000元. 数学·八年级上册　 7. 解：（1）yA＝0.2x＋12　yB＝0.3x （2）当x＝300时，yA＝0.2×300＋12＝72，yB＝0.3×300＝90. ∵72＜90，∴选择A类收费方式所缴话费较少. （3）依题意得0.2x＋12＝0.3x，解得x＝120. 答：每月通话120分钟时，按A，B两类收费标准所缴话费相等. 数学·八年级上册　 $