14 碰撞+简谐运动 专项训练—2026届高考物理压轴题解读与针对性训练

**基本信息** 聚焦碰撞与简谐运动综合应用，通过高考真题解读与多区域模拟题训练，构建力学问题模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考题解读|1道浙江卷真题|多过程力学综合题|从能量守恒到动量守恒，构建碰撞与振动衔接的物理模型| |针对性训练|9道模拟题|弹簧振子、单摆、平抛与碰撞结合题|以简谐运动周期性为核心，辐射动量守恒、能量转化等规律应用|

2026高考物理压轴题解读与针对性训练 14 碰撞+简谐运动 【高考题解读】 2026年1月高考浙江卷第17题．（12分） 如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNOP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑(h<< r)，途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点。 （1）求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； （2）从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； （3）求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； （4）若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从NQ之间滑离，求BQ间距L的范围。 【针对性训练】 1．（2026湖南部分高中联考）如图，足够长的木板B和小物块C静置于光滑水平面上，相距为d，处于原长的轻弹簧两端分别与C和固定的墙壁相连，小物块A置于B的最左端。已知A、B、C的质量分别为m、2m、6m，重力加速度大小为g，A受到水平向右的外力作用下运动，此时A和B间恰好无相对滑动，B与C的碰撞损失了的机械能，碰后C向右运动时速度变为0（该过程B与C不再相碰）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。 (1)求A、B间的动摩擦因数； (2)求弹簧的劲度系数k； (3)若在B的右侧面粘上一质量不计的胶泥，使B与C的碰撞为完全非弹性碰撞，从碰撞到B和C速度最大时所用时间为，求从碰撞到B和C速度减为0时系统的摩擦生热Q（用m、d、、g表示）。 2．（12分）（2025年江苏盐城三模）某兴趣小组研究弹簧振子，设计了如图所示的装置，一个轻弹簧竖直放置，一端固定于地面，另一端与质量为m的物体B固连在一起，整个装置被一个口径略大且足够长的光滑圆套约束（图中未画出），现将质量也为m的物体A由B的正上方某一高度处自由释放，A和B发生碰撞后两者一起以相同的速度向下运动（但不粘连），AB在以后的振动过程中恰好不会分离，弹簧的劲度系数为k，整个振动过程弹簧处于弹性限度内，忽略A、B的体积，不计空气阻力，m、k、g为已知量，求： (1)AB一起振动过程中最大加速度的大小； (2)小组中的甲同学通过研究弹簧弹力做功，得出了弹簧的弹性势能表达式（x为弹簧形变量），求A释放前距B的高度； (3)已知AB一起振动的周期为T，以A与B碰撞为计时起点，求AB振动到最高点的时刻。 3. （2025年5月北京朝阳二模）单摆装置如图所示，摆球始终在竖直面内运动，摆球可视质点。不计空气阻力，请完成下列问题： （1）若摆长为L，简谐运动周期为T，求重力加速度的大小g； （2）若摆长为L，摆起最大角度为，求摆球通过最低点时速度的大小； （3）若摆球质量为m，摆动周期为T，重力加速度大小为g，通过最低点时的速度大小为v，摆球从左侧最高点第一次摆到最低点的过程中，求细线对摆球拉力的冲量大小I。 4. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）如图所示，小滑块1、2质量分别为和，滑块1在半径为的四分之一光滑圆弧最高点A处，滑块2置于粗糙水平轨道端点处，间距为L。C点正下方处固定一劲度系数为的轻弹簧，弹簧右端固定一质量为的滑块，置于光滑水平面上。静止释放滑块1，1与2发生弹性碰撞后恰好静止于点。滑块2被碰后做平抛运动的同时给滑块一个向右的初速度，滑块2与运动中的在平衡位置相碰后竖直向上运动至与等高的点。已知所有的碰撞时间极短，质量为的弹簧振子振动周期为，重力加速度为，求： （1）滑块1与水平面BC间的动摩擦因数； （2）点与滑块高度差； （3）滑块2与第二次碰撞后弹簧振子的振幅A。 5. （深圳宝安区2024-2025学年第一学期调研测试卷）(16分)如图甲所示，一游戏装置由左端带有弹簧振子的光滑水平轨道、水平传送带以及足够长的光滑斜面三部分组成。弹簧振子由轻弹簧和质量M=0.4kg的振子A组成，弹簧振子的平衡位置О到传送带的左端Р的距离L1=3.0m，传送带长L2=4.5m，且沿逆时针方向以速率匀速转动，的大小可调，右端通过可以忽略不计的光滑圆弧与斜面相连，斜面与水平面的所成的夹角θ=30°。现将质量m=0.1kg的滑块B静置于О点，振子A压缩弹簧后，在t=0时刻由静止开始释放，运动到О点与滑块B发生正碰，碰撞时间极短，碰后滑块B向右滑动，穿过传送带并滑上斜面，速度减为零后沿原路返回到О点。已知振子A开始运动一段时间的v-t图像如图乙所示，滑块B与传送带之间的动摩擦因数大小μ=0.4，振子A和滑块B均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，≈0.38。 (1)求碰撞后瞬间滑块B的速度大小以及弹簧振子的周期T； (2)若=8m/s，求滑块B向右穿过传送带的过程中产生的热量Q； (3)调节传送带的速度，发现滑块B回到О位置时，恰好与振子A迎面正碰，求整个过程中，振子A做了几次全振动。 6（2025年北京海淀期中）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一 颗卫星P 的运动视为一个振幅为A、周期为 T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m 的卫星P 绕坐标原点O 做匀速圆周运动。已知引力常量为G,不考虑各卫星之间的相互作用。 (1)若认为木星位于坐标原点O, 根据伽利略的观察和推测结果： ①写出卫星P 做圆周运动的向心力大小F的表达式。 ②求木星的质量Mo ③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。请据此证明：卫星P 绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投影是简谐运动。 (2)若将木星与卫星P 视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M' 。请分析比较(1)②中得出的质量M 与M'的大小关系。 7．（12分）（2024年4月北京东城区模拟）平抛运动、简谐运动、匀速圆周运动是三种典型的质点运动模型，初速度和受力情况的不同决定了质点做何种运动。 （1）平抛运动是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。一质点以初速度在竖直面内做平抛运动，以抛出点为原点，以的方向为x轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向建立坐标系。 a．某时刻质点速度与水平方向的夹角为，质点相对于抛出点的位移与水平方向的夹角为，请证明与满足：； b．请写出质点的轨迹方程。 （2）简谐运动的质点所受回复力F与位移x成正比，且方向总和位移相反，即，其中k为常数。 如图所示，竖直平面内有一光滑的抛物线轨道，其轨迹方程与（1）问中求得的结果相同。现有一质量为m的小珠子套在轨道上，且可在轨道上自由滑动。若将小珠子从轨道上距轨道中心O点很近的地方由静止释放，小珠子将围绕O点做往复运动。请证明小珠子在轨道中心O点附近的往复运动是简谐运动（当很小时，）。 （3）做匀速圆周运动的质点，其合力总指向圆心，大小等于质量乘以向心加速度。若第（2）问的抛物线轨道绕y轴转动，请讨论并说明当以不同角速度匀速转动时，小珠子能否相对轨道静止？若能，请说明相对静止的位置。 8. （2024河北五市联考）如图，一光滑斜面固定在水平地面上，斜面倾角为，其底端固定一轻质弹簧，将质量为m的物块从斜面顶端由静止释放，弹簧的劲度系数为k，弹簧的最大压缩量为。已知，弹簧弹性势能为，其中x是形变量，弹簧振子简谐运动的周期，求： （1）物块速度最大时的弹簧压缩量； （2） 物块下滑的最大位移； （3） 物块的最大动能； （4）物块从与弹簧接触到速度第一次为零的时间。 9．（9分）（2024江苏南京师范大学附中质检）如图所示，质量为M、倾角为θ的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为x0的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球。待小球静止后，将小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球便在斜面上做往复运动，且斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。 （1）求小球处于平衡位置时弹簧的长度； （2）选小球的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示小球相对于平衡位置的位移，证明小球做简谐运动； （3）现压缩弹簧使其长度为时由静止开始释放，求振动过程中弹簧的最大伸长量；及斜面体与水平地面间的最大静摩擦力。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考物理压轴题解读与针对性训练 14 碰撞+简谐运动 【高考题解读】 2026年1月高考浙江卷第17题．（12分） 如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNOP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑(h<< r)，途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点。 （1）求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； （2）从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； （3）求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； （4）若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从NQ之间滑离，求BQ间距L的范围。 【高考考查点】 物理考点 ：弹性碰撞，简谐运动，动量守恒定律，机械能守恒定律，运动的合成与分解 数学：不等式、分类讨论 【答案】（1），，方向竖直向上 （2） （3）， （4）见解析 【解析】（1）对a物块下滑过程中根据机械能守恒定律有 可得； 在B点根据牛顿第二定律有 可得，方向竖直向上； （2）如图 由于h<<r，滑块a所受回复力F，则 可知滑块受到的回复力F与x成正比，方向与x相反，因此滑块a从释放到第一次到达最低点的运动是简谐运动。 （3）滑块b在圆弧形斜面上垂直槽轴线方向的运动性质与a相同，平行槽轴线方向做匀速度直线运动。设滑块b的速度沿槽轴线和垂直槽轴线分速度为vbx、vby，如图 当vbx=0时，滑块b第一次滑到最高点，由题意可知滑块b到达的最高点高度与滑块a的开始下滑的高度相等。此时速度为vby，经历的时间t1为； 又因与滑块a最高点相同，由题意可知 即 因为滑块a、b在最高点发生碰撞，设碰后滑块b的速度为v'by。由动量守恒和机械能守恒有， 联立解得， （4）碰后滑块a在平行于槽轴线方向的速度始终为va，从MN边界射出的最基本的几种临界情况如图1、2、3、4所示。考虑周期性，则L有多种情况 由题给数据可得，， 滑块a每一次在圆弧型斜面上滑或下滑的时间为 滑块a每一次滑过水平面的时间为 又由于滑块a从任一点出发回到该点同高度位置时的时间相等，设时间为T，则T=4t1+2t2=(2π+1) s 滑块a由碰后到从MN之间飞出的时间t满足，L=0.4t 所以由图1、2可知或，…… 由图3、4可知 即或者，…… 综上分析可知t应满足 则滑块a能从MN之间飞出时L的范围为 ，（n=0，1，2，3，4……） 【针对性训练】 1．（2026湖南部分高中联考）如图，足够长的木板B和小物块C静置于光滑水平面上，相距为d，处于原长的轻弹簧两端分别与C和固定的墙壁相连，小物块A置于B的最左端。已知A、B、C的质量分别为m、2m、6m，重力加速度大小为g，A受到水平向右的外力作用下运动，此时A和B间恰好无相对滑动，B与C的碰撞损失了的机械能，碰后C向右运动时速度变为0（该过程B与C不再相碰）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处于弹性限度内。 (1)求A、B间的动摩擦因数； (2)求弹簧的劲度系数k； (3)若在B的右侧面粘上一质量不计的胶泥，使B与C的碰撞为完全非弹性碰撞，从碰撞到B和C速度最大时所用时间为，求从碰撞到B和C速度减为0时系统的摩擦生热Q（用m、d、、g表示）。 答案．(1) (2) (3) 【解析】（1）因A和B间恰好无相对滑动，设A和B整体的加速度为a，则 对B有 解得 （2）A和B整体向右运动d的速度为，B和C碰后瞬间速度分别为和，有 对碰后C向右运动速度变为O的过程，有 由以上各式可解得：，，（另解，舍去） （3）设B与C碰撞后的速度为v，则 B和C整体在摩擦力和弹簧弹力作用下做简谐运动，设从碰撞到B和C速度减为0弹簧的压缩量为，对B和C整体有 解得 在B和C整体向右做简谐运动的平衡位置，速度最大，该位置弹簧的压缩量为，有 解得 故该简谐运动的振幅为 以向右为正方向，简谐运动的方程为 将t=0入上式可得 可知 解得 故从碰撞到B和C速度为0时所用时间为 此过程小物块A的加速度为 此过程小物块A的位移为 所求摩擦生热 由以上各式得 2．（12分）（2025年江苏盐城三模）某兴趣小组研究弹簧振子，设计了如图所示的装置，一个轻弹簧竖直放置，一端固定于地面，另一端与质量为m的物体B固连在一起，整个装置被一个口径略大且足够长的光滑圆套约束（图中未画出），现将质量也为m的物体A由B的正上方某一高度处自由释放，A和B发生碰撞后两者一起以相同的速度向下运动（但不粘连），AB在以后的振动过程中恰好不会分离，弹簧的劲度系数为k，整个振动过程弹簧处于弹性限度内，忽略A、B的体积，不计空气阻力，m、k、g为已知量，求： (1)AB一起振动过程中最大加速度的大小； (2)小组中的甲同学通过研究弹簧弹力做功，得出了弹簧的弹性势能表达式（x为弹簧形变量），求A释放前距B的高度； (3)已知AB一起振动的周期为T，以A与B碰撞为计时起点，求AB振动到最高点的时刻。 答案．(1)g (2) (3) 【解析】（1）AB在以后的振动过程中恰好不会分离，所以振动最高点为弹簧原长位置，此时加速度最大．有2mg=2ma 解得 a=g （2）B静止时有 物体A自由下落的过程，由机械能守恒得 物体A、B碰撞过程有 碰后AB在以后振动过程中到达最高点时弹簧刚好处于原长状态，相对于原来向上运动得距离 对物体A、B和弹簧组成的系统，由能量守恒得 联立解得 （3）在振动过程中，设平衡位置弹簧的压缩量为x，有2mg=kx 振幅 以第一次向下经过平衡位置为0时刻，取向下为正方向，则振动方程为 AB碰撞时 解得 3. （2025年5月北京朝阳二模）单摆装置如图所示，摆球始终在竖直面内运动，摆球可视质点。不计空气阻力，请完成下列问题： （1）若摆长为L，简谐运动周期为T，求重力加速度的大小g； （2）若摆长为L，摆起最大角度为，求摆球通过最低点时速度的大小； （3）若摆球质量为m，摆动周期为T，重力加速度大小为g，通过最低点时的速度大小为v，摆球从左侧最高点第一次摆到最低点的过程中，求细线对摆球拉力的冲量大小I。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由单摆做简谐运动的周期公式 可得 （2）由动能定理 可得 （3）此过程中重力、拉力对小球产生冲量，其中重力的冲量大小为 根据动量定理可知合力的冲量大小为 由平行四边形定则可得拉力的冲量大小为 4. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）如图所示，小滑块1、2质量分别为和，滑块1在半径为的四分之一光滑圆弧最高点A处，滑块2置于粗糙水平轨道端点处，间距为L。C点正下方处固定一劲度系数为的轻弹簧，弹簧右端固定一质量为的滑块，置于光滑水平面上。静止释放滑块1，1与2发生弹性碰撞后恰好静止于点。滑块2被碰后做平抛运动的同时给滑块一个向右的初速度，滑块2与运动中的在平衡位置相碰后竖直向上运动至与等高的点。已知所有的碰撞时间极短，质量为的弹簧振子振动周期为，重力加速度为，求： （1）滑块1与水平面BC间的动摩擦因数； （2）点与滑块高度差； （3）滑块2与第二次碰撞后弹簧振子的振幅A。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 （1）设滑块1与2碰前速度为，由动能定理 碰后两者速度分别为和，由于弹性碰撞，则动量守恒和机械能守恒 解得 ， 碰后滑块1恰滑动后能静止在B点，滑块1只能从C点向左匀减速运动至B，由动能定理得 联立以上各式得 ， （2）滑块2与振子M在平衡位置相碰，由于，滑块2只能与向左运动的M相碰才能碰后竖直向上运动，则碰前运动时间t满足 所求高度为 解得 （3）滑块2与M碰撞过程水平方向动量守恒，第1次碰撞后M的速度设为，则 代入得 设第一次碰撞过程中滑块2与M接触时间为，则在时间内滑块2与M间为滑动摩擦力，因为滑块2离开M瞬间是相对运动的。滑块2从竖直上抛后落下与M发生第二次碰撞前运动时间为2t，滑块运动(2n+1)T时间正好在平衡位置向左运动时与滑块2相撞。假设第二次碰撞过程中滑块2离开M前能共速，则 解得 由于第一次碰撞摩擦力对滑块的冲量大小 第二次碰撞摩擦力对滑块的冲量大小 由于 第二次滑动摩擦力作用的时间 则假设成立。滑块2离开M后，振子M的速度为。设所求振幅A为 解得 5. （深圳宝安区2024-2025学年第一学期调研测试卷）(16分)如图甲所示，一游戏装置由左端带有弹簧振子的光滑水平轨道、水平传送带以及足够长的光滑斜面三部分组成。弹簧振子由轻弹簧和质量M=0.4kg的振子A组成，弹簧振子的平衡位置О到传送带的左端Р的距离L1=3.0m，传送带长L2=4.5m，且沿逆时针方向以速率匀速转动，的大小可调，右端通过可以忽略不计的光滑圆弧与斜面相连，斜面与水平面的所成的夹角θ=30°。现将质量m=0.1kg的滑块B静置于О点，振子A压缩弹簧后，在t=0时刻由静止开始释放，运动到О点与滑块B发生正碰，碰撞时间极短，碰后滑块B向右滑动，穿过传送带并滑上斜面，速度减为零后沿原路返回到О点。已知振子A开始运动一段时间的v-t图像如图乙所示，滑块B与传送带之间的动摩擦因数大小μ=0.4，振子A和滑块B均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，≈0.38。 (1)求碰撞后瞬间滑块B的速度大小以及弹簧振子的周期T； (2)若=8m/s，求滑块B向右穿过传送带的过程中产生的热量Q； (3)调节传送带的速度，发现滑块B回到О位置时，恰好与振子A迎面正碰，求整个过程中，振子A做了几次全振动。 解析 .(1)由图乙可知，弹簧振子的周期：T=0.4s……………………(1分) 振子A与滑块B发生正碰，动量守恒：……………………………(2分) 由图乙，解得：=10m/s………………………(1分) (2)向右穿过传送带，由动能定理：………(1分) 解得：=8m/s 动量定理：……………………(1分) 解得：=0.5，=4.5s(不符合题意，舍去) (备注1：运用牛二和运动学、动能定理和运动学等均可以给分) 传送带运动的位移：=4m………………………………………………………(1分) (备注2：公式就可以给分) 根据功能关系，产生的热量：………………………………………(1分) 得：Q=3.4J…………………………(1分) (3)滑块B从O点运动到P点，所花时间： =0.3s…………………………(1分) (备注3：公式就可以给分) 滑上斜面又滑下，机械能守恒，速度大小不变，方向反向，由动量定理，可知： …………………………………(1分) (备注4：运用牛二和运动学可以给分) 解得：=3.2s ①当v≥10m/s时，滑块B返回传送带，在传送带上一直加速，根据运动对称性，向左穿过所花的时间： =0.5s……………………………………………(1分) 返回到O点，运动时间最短：=4.8s………………………(1分) (备注5：计算出结果才可以给分) ②当滑块B在传送带上一直减速，动能定理： 解得：m/s…………………………………(1分) (备注5：由于m/s是分类讨论的临界速度，因此计算出结果才可以给分) 当v≤m/s，滑块B在传送带上一直减速，返回O点时间最长。 返回过程中，在传送带运动的时间，根据动量定理： (备注6：重复过程，公式不给分) 由P点返回O点，所花时间： (备注7：重复过程，公式不给分) 运动总时间：…………(1分) (备注8：计算出结果才可以给分、没有近似也给分) 返回O点，恰好与振子A迎面正碰，即 ，其中n=1、2、3、4 (备注9：这个不等式不单独给分) 解得：n=12或者n=13……………………………………(1分) (备注10：两个结果均写出才得分) 6（2025年北京海淀期中）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一 颗卫星P 的运动视为一个振幅为A、周期为 T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m 的卫星P 绕坐标原点O 做匀速圆周运动。已知引力常量为G,不考虑各卫星之间的相互作用。 (1)若认为木星位于坐标原点O, 根据伽利略的观察和推测结果： ①写出卫星P 做圆周运动的向心力大小F的表达式。 ②求木星的质量Mo ③物体做简谐运动时，回复力应该满足F=-kx。请据此证明：卫星P 绕木星做匀速圆周运动在x 轴上的投影是简谐运动。 (2)若将木星与卫星P 视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M' 。请分析比较(1)②中得出的质量M 与M'的大小关系。 解析．（10 分） （1）①简谐运动是匀速圆周运动的投影，二者周期相同，简谐运动的振幅等于圆周运动 的半径。依据牛顿第二定律有 ②木星与卫星间万有引力提供了卫星绕其做圆周运动的向心力，设卫星的质量为 m， 依据牛顿第二定律有 解得木星质量 ③设卫星 P 做匀速圆周运动运动如图中所示位置时，与 x 轴的夹角为 θ。 则向心力向 x 轴的投影 位移在 x 轴方向上的投影为 x=Acosθ 满足 Fx=－kx，其比例系数 ，这说明星 P 绕木星做匀速圆周运动 向 x 轴的投影是简谐运动。 （2）若木星与卫星为双星模型，设木星质量为 M'，木星与卫星的距离为 L，卫星绕连线 某点做圆周运动的半径等于观测到的简谐运动的振幅 A。 对卫星列牛顿第二定律，有 得木星质量 因为 A<L，所以 M<M'，即（2）问计算出的木星质量 M 偏小。 7．（12分）（2024年4月北京东城区模拟）平抛运动、简谐运动、匀速圆周运动是三种典型的质点运动模型，初速度和受力情况的不同决定了质点做何种运动。 （1）平抛运动是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。一质点以初速度在竖直面内做平抛运动，以抛出点为原点，以的方向为x轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向建立坐标系。 a．某时刻质点速度与水平方向的夹角为，质点相对于抛出点的位移与水平方向的夹角为，请证明与满足：； b．请写出质点的轨迹方程。 （2）简谐运动的质点所受回复力F与位移x成正比，且方向总和位移相反，即，其中k为常数。 如图所示，竖直平面内有一光滑的抛物线轨道，其轨迹方程与（1）问中求得的结果相同。现有一质量为m的小珠子套在轨道上，且可在轨道上自由滑动。若将小珠子从轨道上距轨道中心O点很近的地方由静止释放，小珠子将围绕O点做往复运动。请证明小珠子在轨道中心O点附近的往复运动是简谐运动（当很小时，）。 （3）做匀速圆周运动的质点，其合力总指向圆心，大小等于质量乘以向心加速度。若第（2）问的抛物线轨道绕y轴转动，请讨论并说明当以不同角速度匀速转动时，小珠子能否相对轨道静止？若能，请说明相对静止的位置。 解析．（12分） （1）a．由平抛运动的位移规律得： 由平抛运动的速度规律得： 于是得到： b．由平抛运动的位移规律得 （2）设小珠子在某时刻的位置坐标为，此时速度方向（切线方向）与水平方向的夹角为，则质点所受指向平衡位置的力（因距O点很近，所以很小） 根据前面抛物线的规律可知：， 代入得到：，即物体做简谐运动。 （3）假设小珠子相对轨道静止处的位置坐标为， 根据牛顿定律： 由，得 由于轨道方程为，即 于是可得，由此式可知，当时此式恒成立，与y无关。 结论：①若，小珠子可以相对轨道静止在任意位置处； ②若，小珠子不能相对轨道静止，一定会滑向O点，只能在O处相对静止； ③若，小珠子不能相对轨道静止，一定会被向外甩出轨道，只能在O处相对静止。 8. （2024河北五市联考）如图，一光滑斜面固定在水平地面上，斜面倾角为，其底端固定一轻质弹簧，将质量为m的物块从斜面顶端由静止释放，弹簧的劲度系数为k，弹簧的最大压缩量为。已知，弹簧弹性势能为，其中x是形变量，弹簧振子简谐运动的周期，求： （1）物块速度最大时的弹簧压缩量； （2） 物块下滑的最大位移； （3） 物块的最大动能； （4）物块从与弹簧接触到速度第一次为零的时间。 【解析】 （1）根据题意可知，物块速度最大时，物块所受合力为0，则有 解得 （2）根据题意可知，物块运动到最低点时，重力势能全部转化为弹性势能，则有 解得 （3）物块速度最大时，物块的动能最大，由能量守恒定律有 解得 （4）物块开始压缩弹簧后，到分离前做简谐振动，物块合力为0的位置为平衡位置，则物块做简谐运动的振幅为 则物块开始压缩弹簧时，偏离平衡位置的距离为 从物块开始压缩弹簧到平衡位置所用时间为 则从开始接触到最短经历的时间为 9．（9分）（2024江苏南京师范大学附中质检）如图所示，质量为M、倾角为θ的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为x0的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球。待小球静止后，将小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球便在斜面上做往复运动，且斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。 （1）求小球处于平衡位置时弹簧的长度； （2）选小球的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示小球相对于平衡位置的位移，证明小球做简谐运动； （3）现压缩弹簧使其长度为时由静止开始释放，求振动过程中弹簧的最大伸长量；及斜面体与水平地面间的最大静摩擦力。 解析 (1)设小球在斜面上平衡时，弹簧的伸长量为△x，有 解得 此时弹簧的长度为 (2)当小球的位移为x时，弹簧伸长量为x+△x，小球所受合力为 由Fx，F与x方向时刻相反，所以满足让m做简谐运动的条件F=﹣kx，所以小球做简谐运动。 (3)小球做简谐运动的振幅为 由对称性可知，弹簧的最大伸长量为 设小球位移x为正，则斜面体受力情况如图所示 由于斜面体平衡，所以有，水平方向 又 当时，静摩擦力f取得最大值。得 1 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