精品解析：浙江台州市2025-2026学年高二下学期6月期末质量评估数学试题

台州市2025学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学 2026.06 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据为：1，2，2，3，3，3，4，6，8，9，则该组数据的第70百分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 6. 已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 如图，在中，，，，分别交，于，两点，交于点，记的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，为虚数单位，则（ ） A. 当时，为纯虚数 B. C. 的最大值为 D. 若复数满足，则一定为实数 10. 某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件．甲生产线的产量占全部产量的，乙生产线的产量占全部产量的，甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为．现从该工厂生产的零件中随机抽取一件，设事件表示“抽到的零件为次品”，设事件表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机变量，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（ ） A. 当时，为钝角 B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 翻折过程中，不存在某个位置，使得 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某校高二年级有50人参加市高中数学联赛，其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的人数为__________． 13. 已知函数，则关于的方程的解集为__________． 14. 用4种不同的颜色给如图8个方格涂色，要求有公共边的方格不同色，则不同的涂色方法一共有__________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在一个口袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中随机摸出2个球，设随机变量为摸到红球的个数． （1）求恰好摸到2个红球的概率； （2）求的分布列及数学期望． 16. 已知函数，． （1）当时，求证：函数是奇函数； （2）当时，求的最小值． 17. 为了研究某地区高三学生的学习与生活，随机抽取了该地区部分高三学生，并对其一周内的睡眠时长进行统计分析，得知该地区高三学生一周内的日均睡眠时长（单位：小时）服从正态分布． （1）若从该地区随机抽取1名高三学生，求其日均睡眠时长不低于小时的概率（精确到）； （2）若从该地区随机抽取名高三学生，假定一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立，记事件“至少有1人日均睡眠时长不低于小时”，且，求的最小值． 参考数据：①若随机变量服从正态分布，则，；②，． 18. 如图，在三棱锥中，，，，，． （1）求的值； （2）求证：平面平面； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数，其中，． （1）若，求不等式的解集； （2）若对任意，恒成立，求的最大值； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2025学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学 2026.06 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据为：1，2，2，3，3，3，4，6，8，9，则该组数据的第70百分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】求百分位数需数据从小到大排列，且求出为第整数位时要取这一位与后一位的平均数. 【详解】由题意可知这组数据有10个，且已经从小到大排列，求该组数据的第70百分位数， ，这组数据的第七位和第八位分别是4，6，其平均数为， 所以该组数据的第70百分位数是5. 2. 在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】已知向量，，若，则，解得，故A正确. 3. 若变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 变量与正相关，∴ 线性回归方程中的系数为正值. 选项B的回归系数为，选项D的回归系数为，均为负值，对应负相关，不符合题意，故排除B、D. 又∵ 线性回归直线恒过样本中心点，由题知，， 将代入选项A的方程，得，不满足过样本中心点的要求，故排除A. 将代入选项C的方程，得，符合所有条件. 故本题选C. 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先计算集合，再根据充分和必要条件的定义判断即可； 【详解】因为解得，所以， 若，则一定有，所以“”是“”的充分条件； 若，则不一定有，所以“”是“”的不必要条件； 因此 “”是“”的充分不必要条件； 5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，结论为（ ） A. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】B 【解析】 【分析】使用独立性检验的判断方法求解. 【详解】，说明变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过. 6. 已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设截面圆半径为，由截面面积，解得， 设正方体棱长为，由正方体棱长关系可得， 即是等边三角形，由正弦定理可得其外接圆半径， 故，解得， 设正方体外接球半径为，则其直径等于正方体对角线，即 ，解得， 球的体积为． 7. 在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】二项式定理结合组合数的性质进行求解. 【详解】因为二项式的展开式中项的系数为，所以的展开式中含项的系数为 . 所以, 展开式中前2025项均含56因子能被8整除，余7，所以除以8余数是7. 8. 如图，在中，，，，分别交，于，两点，交于点，记的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别用和表示，，得到，同理可得，，然后利用面积的公式即可求解. 【详解】 如图所示，连接，已知，，， 所以， 由于交于，所以设，， 又因为，所以， 所以有，解得， 因此， 又由于交于，所以设，， 又因为，所以， 所以有，解得， 因此， 则， 所以有，，所以， 同理可得，， 记的面积为，的面积为， 所以，，，，， 因此，即，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，为虚数单位，则（ ） A. 当时，为纯虚数 B. C. 的最大值为 D. 若复数满足，则一定为实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】使用复数的定义，模长公式，复数的四则运算分析选项，设，结合条件分析出，分和两种情况分析选项. 【详解】当时，，此时不是纯虚数，选项错误； ，选项正确； ， ， 当时， 的最大值为，选项正确； ，， 则， 由，得，设，， 则， 当时，，因为，，所以，此时是实数， 当时，，，此时是实数， 选项正确. 10. 某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件．甲生产线的产量占全部产量的，乙生产线的产量占全部产量的，甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为．现从该工厂生产的零件中随机抽取一件，设事件表示“抽到的零件为次品”，设事件表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意得，，，. 对选项A：由全概率公式可得， ∴ ，故A正确. 对选项B：， 由条件概率公式得，故B正确. 对选项C：∵ 随机变量服从两点分布，其中， ∴ ，故C错误. 对选项D：∵ 两点分布的方差，其中， ∴ . 又∵ 方差满足性质， ∴ ，故D正确. 11. 已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则（ ） A. 当时，为钝角 B. 当时， C. 当时，的最小值为 D. 翻折过程中，不存在某个位置，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】以直线 为公共边，把 ， 分别分解为沿 方向的分量和垂直于 的分量，可得到 ，， 之间的关系，再逐项判断． 【详解】 设沿 方向的单位向量为 ．在两个半平面内，分别取垂直于 的单位向量 ，其中 指向 所在一侧， 指向 所在一侧，则 . 只需考虑方向，令 ． 因为 ，且 ， 在直线 上位于 的两侧，则， 所以 ，． 又因为 ，，所以 ． 对于 A，当 时，因，则，所以 为钝角，A 正确． 对于 B，当 时，．因为 ，所以 ， 从而 ．又余弦函数在上单调递减，则 ，即 ，故B 正确． 对于 C，当 时，设 ，则 ， ， 所以 ． 因，则 ．当 ，即 ， 时取等，即 的最小值为 ，故C 正确． 对于 D，若存在 ，则有 ，．把 代入关系式，需满足 ． 令 ，则 ，． 由零点存在定理，存在 ，使 ，即存在位置满足 ，故 D 错误． 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某校高二年级有50人参加市高中数学联赛，其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的人数为__________． 【答案】16 【解析】 【详解】由，可得. 成绩在区间的频率为， 所以成绩在区间的人数为. 13. 已知函数，则关于的方程的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数性质，化简方程两边，换元利用单调性求解即可； 【详解】函数的定义域为，且， 函数是偶函数； 因为，结合可化为 ，整理得，令，方程变为， 设，易知在上单调递增，且， 所以仅有唯一解，即，解得， 验证：都在定义域内，满足原方程，所以方程的解为. 14. 用4种不同的颜色给如图8个方格涂色，要求有公共边的方格不同色，则不同的涂色方法一共有__________种．（用数字作答） 【答案】4116 【解析】 【分析】先确定第一列不同的涂色方法数，再根据规则确定后一列涂色方法数，以此类推，通过分步乘法计数原理即可得答案. 【详解】第一列的2 个方格上下相邻，颜色必须不同. 用 4 种颜色涂色：第一格种选法，第二格不能与第一格相同，有种选法， 所以第一列有 种不同的涂色方法. 设前一列上下颜色为a,b（a、b不同），后一列上下颜色为c,d，则c 有种选法，d 有种选法，共 种； 但其中 c、d 颜色必须不同，所以有效选法为.  从第1列到第4列，共有3次过渡，每次都有7种选择. 所以不同的涂色方法一共有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在一个口袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中随机摸出2个球，设随机变量为摸到红球的个数． （1）求恰好摸到2个红球的概率； （2）求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望为 【解析】 【分析】（1）“恰好摸到两个红球”即；由题可知随机变量服从超几何分布，所以通过组合公式以及概率公式求解即可. （2）由题可知随机变量服从超几何分布，的所有可能值为0,1,2，由分别求出随机变量取的每一个值的概率，进而列出随机变量的分布列，再由离散型分布列的期望公式可得随机变量的数学期望. 【小问1详解】 解：由题意知，服从超几何分布， 因此，恰好摸到2个红球的概率为． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， 因为服从超几何分布，所以，， 由（1）知， 得的分布列为： 故． 16. 已知函数，． （1）当时，求证：函数是奇函数； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）当时，，定义域为， 因为，即， 所以函数是奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明. （2）利用基本不等式求和的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由函数解析式可得 ， ， 得，由，得， 根据基本不等式，， 当且仅当，即时，取到最小值． 17. 为了研究某地区高三学生的学习与生活，随机抽取了该地区部分高三学生，并对其一周内的睡眠时长进行统计分析，得知该地区高三学生一周内的日均睡眠时长（单位：小时）服从正态分布． （1）若从该地区随机抽取1名高三学生，求其日均睡眠时长不低于小时的概率（精确到）； （2）若从该地区随机抽取名高三学生，假定一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立，记事件“至少有1人日均睡眠时长不低于小时”，且，求的最小值． 参考数据：①若随机变量服从正态分布，则，；②，． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）首先明确正态分布的参数，，判断，因为正态分布具有对称性，所以可结合给出的计算； （2）先求单个学生日均睡眠时长低于6.5小时的概率，因为各学生睡眠时长相互独立，所以名学生都低于6.5小时的概率为，又因为，对不等式变形后通过取对数求解的最小值. 【小问1详解】 因为日均睡眠时长服从正态分布，所以，故其日均睡眠时长不低于小时的概率为． 【小问2详解】 由已知，一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立， 因此，， 因为，所以，即，得， 又因为， 所以的最小值为3． 18. 如图，在三棱锥中，，，，，． （1）求的值； （2）求证：平面平面； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）2 （2）设，连接， 由（1）知，，因此， 又因为，所以点为的中点， 在和中，，，， 因此，，得， 因为点为的中点，所以， 由已知，平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：利用平面向量的基本定理将、分别用、线性表示，再根据结合利用向量的数量积即可求解；方法二：设，取中点，连接，利用三角形中位线结合等腰三角形知识即可求解. （2）设，连接，利用平面几何知识证得，结合线面垂直的判定得到平面，进而证得平面平面． （3）设点在平面内的射影为，先证得为直线与平面所成角，设，通过计算相继得到，，，，，再由余弦定理求得，进而求得，，即得答案. 【小问1详解】 方法一：因为，所以 因为，， 所以， ， 又，所以， 即，得，故． 法二：设，取中点，连接， 则是的中位线，得， 因为是的中点，所以也是的中点， 由已知，得为等腰三角形，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，平面，平面，得平面平面， 设点在平面内的射影为，则点在直线上，且平面， 连接，，则为直线与平面所成角， 不妨设，则， 在中，，得， 在中，，得， 在中，，， ，， 在中，由余弦定理得， 所以，因此， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为 19. 已知函数，其中，． （1）若，求不等式的解集； （2）若对任意，恒成立，求的最大值； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）换元后解二次不等式，再反解三角不等式，结合余弦函数周期性写出解集； （2）将 “对任意x恒成立” 转化为二次函数闭区间最大值约束，通过分类讨论二次项系数符号，结合端点最值性质，将问题转化为 “存在a满足不等式组”，进而求解b的范围； （3）先等价转化绝对值不等式，再通过反证法结合韦达定理证明时必然存在矛盾点，验证时的参数范围，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 由，即，解得， 由余弦函数图象知，，， 故不等式的解集为，． 【小问2详解】 由二倍角公式得，设，， 则问题等价于：对任意，存在实数，使得不等式恒成立， 记，， ①当时，因为函数的图象开口向上， 所以的最大值为， 得且，即， 因此，要存在实数，则，得， 当时，，此时函数恒成立； ②当时： 若，则，取即可满足 恒成立，故； 若，开口向下，最大值为，令最大值，结合化简得， ，故，解得，故； 综上，的最大值为1． 【小问3详解】 由（2）知，设，， 则问题等价于：对任意，不等式恒成立， 记，， 因为， 所以关于的方程在上有两个不同的解，，且， 则异号，且至少一个根在区间内且不为0， ①当时，存在，，使得，此时 ，与矛盾，故； ②当时，问题等价于：对任意，不等式恒成立， 当时，取到最大值2，得， 因此，当，时，对任意，不等式恒成立； 综上，，，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $