4.7 正弦定理和余弦定理专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖正弦定理与余弦定理的单一应用到综合问题，强化推理能力与应用意识，适配一轮复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一定理直接应用（边长、角度计算）|单选题1-3直接套用余弦定理，填空题10-11强化公式记忆，夯实运算基础| |能力提升|多定理综合（面积、解的个数）|单选题4-7结合面积公式与角关系，多选题8-9辨析三角形解的情况，培养推理能力| |综合应用|多问递进与高考真题|解答题13-14（含天津卷真题）融合定理应用与周长、三角函数综合，提升应用意识|

第7节　正弦定理和余弦定理 一、单选题 1.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　) A. B.3 C. D.7 2.(2026·合肥模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，c＝7，则cos(A＋B)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 3.(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　) A. B. C.＋1 D. 4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin C＝sin A，B＝，△ABC的面积为，则b等于(　　) A.2 B. C.4 D.2 5.(2026·海南调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－，则＝(　　) A. B. C. D. 6.(2026·厦门联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋bcos A，则B＝(　　) A. B. C. D. 7.(2026·郴州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　) A.2 B.4 C.8 D.4 二、多选题 8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有两个解的是(　　) A.c＝54，b＝39，C＝120° B.b＝11，a＝20，B＝30° C.a＝2，b＝6，A＝30° D.b＝26，c＝15，C＝30° 9.(2026·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A.若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形 B.若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC为钝角三角形 C.若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B D.若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形 三、填空题 10.(2026·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c2＝ab，则＝　　　　.  11.(2026·绍兴模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝　　　　.  12.(2026·太原调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－2bc＋c2＋，且sin A－cos A＝0，则△ABC的面积为　　　　.  四、解答题 13.(2026·汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0. (1)求A; (2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 14.(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝. (1)求A的值; (2)求c的值; (3)求sin(A＋2B)的值. 第7节　正弦定理和余弦定理 一、单选题 1.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，C＝，则c＝(　　) A. B.3 C. D.7 答案　A 解析　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2cos＝3， 所以c＝. 2.(2026·合肥模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝，c＝7，则cos(A＋B)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　依题意，cos(A＋B)＝－cos C＝－＝－. 3.(2026·邯郸模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为(　　) A. B. C.＋1 D. 答案　D 解析　在△ABC中，C＝30°，由正弦定理得，解得c＝， sin A＝sin(45°＋60°)＝××， 所以△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×2××. 4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin C＝sin A，B＝，△ABC的面积为，则b等于(　　) A.2 B. C.4 D.2 答案　D 解析　因为3sin C＝sin A， 所以3c＝a，即a＝c， 又因为B＝且△ABC的面积为， 可得S△ABC＝acsin B＝×c2×， 解得c＝2，则a＝2， 则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝12＋4－2×2×2×＝4，所以b＝2. 5.(2026·海南调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B＝4sin2A，cos C＝－，则＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为9sin2B＝4sin2A，所以. 根据正弦定理可得，所以b＝. 因为cos C＝－， 所以根据余弦定理cos C＝， 可得＝－， 化简可得c2＝，所以， 因为a，c为△ABC的边，a>0，c>0， 所以. 6.(2026·厦门联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋bcos A，则B＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由4S＝cos B＋bcos A，得4×absin C＝cos B＋bcos A， 得b＝＋b·， 又a＝1，故b＝＝c， 所以sin B＝sin C＝，故sin B＝， 由c>b，得C>B，故B不可能是钝角， 因为B∈(0，π)，所以B＝.故选A. 7.(2026·郴州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　) A.2 B.4 C.8 D.4 答案　A 解析　根据三角形面积公式得S△ABC＝a·AD＝bcsin∠BAC. 将∠BAC＝，a＝4，AD＝×4×bcsin，2bc×，bc＝8. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC， 即42＝b2＋c2－2bccos，即16＝b2＋c2－bc， 即16＝(b＋c)2－3bc，把bc＝8代入上式可得 16＝(b＋c)2－3×8， 即(b＋c)2＝16＋24＝40. 因为b，c为三角形的边， 所以b＋c＝＝2.故选A. 二、多选题 8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有两个解的是(　　) A.c＝54，b＝39，C＝120° B.b＝11，a＝20，B＝30° C.a＝2，b＝6，A＝30° D.b＝26，c＝15，C＝30° 答案　BD 解析　对于A，sin B＝<1， 又b<c，只有一解，不合题意; 对于B，sin A＝<1， 又b<a，即asin B<b<a，则有两解，符合题意; 对于C，sin B＝>1，则B不存在，无解，不合题意; 对于D，sin B＝<1， 又c<b，即bsin C<c<b，则有两解，符合题意. 9.(2026·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(　　) A.若acos A＝bcos B，则△ABC为直角三角形 B.若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC为钝角三角形 C.若△ABC是锐角三角形，则sin A>cos B D.若cos 2A＋cos 2B－cos 2C<1，则△ABC为锐角三角形 答案　BC 解析　对于A，由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°， 即A＝B或A＋B＝90°， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误; 对于B，由于a＝7，b＝3，c＝5， 可得a>c>b，∴A是△ABC的最大内角， ∴cos A＝＝－<0， 又∵A∈(0，π)，所以A＝， 进而△ABC为钝角三角形，故B正确; 对于C，∵△ABC是锐角三角形， ∴0°<A<90°，0°<B<90°，180°>A＋B>90°， 即90°>A>90°－B>0°， ∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，故C正确; 对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1， 即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos C>0，即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误. 三、填空题 10.(2026·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，c2＝ab，则＝　　　　.  答案　或2 解析　由余弦定理有c2＝ab＝a2＋b2－ab， 所以＋1＝0， 解得或2. 11.(2026·绍兴模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝　　　　.  答案　 解析　由题意及正弦定理得b2＋c2－a2＝bc， 所以由余弦定理的推论得cos A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. 12.(2026·太原调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－2bc＋c2＋，且sin A－cos A＝0，则△ABC的面积为　　　　.  答案　 解析　∵sin A－cos A＝0，可得tan A＝， 又A∈(0，π)，∴A＝， 又∵a2＝b2－2bc＋c2＋， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴2bc－＝2bccos A， ∵A＝，解得bc＝1，S△ABC＝bcsin A＝. 四、解答题 13.(2026·汉中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0. (1)求A; (2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 解　(1)∵asin B－bcos A＝0， ∴sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又B∈(0，π)，∴sin B≠0， ∴sin A－cos A＝0，即tan A＝， 又A∈(0，π)，∴A＝. (2)∵A＝，△ABC的面积为， ∴bcsin A＝，即bc＝4. 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即13＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 又bc＝4，∴b＋c＝5， ∴△ABC的周长为5＋. 14.(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝. (1)求A的值; (2)求c的值; (3)求sin(A＋2B)的值. 解　(1)因为asin B＝bcos A， 所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A， 因为B∈(0，π)，所以sin B>0， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝. 又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为c－2b＝1，a＝，cos A＝， 所以由a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×， 化简得b2＋b－2＝0， 又b>0，故b＝1. 由c＝2b＋1，得c＝3. (3)由正弦定理，得， 解得sin B＝. 因为b＝1<3＝c， 所以B为锐角，cos B＝， sin 2B＝2sin Bcos B＝， cos 2B＝2cos2B－1＝， 所以sin(A＋2B)＝sin＝sin cos 2B＋cos sin 2B＝××. 学科网（北京）股份有限公司 $