分级练(34)　正弦定理与余弦定理应用举例（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(34)　正弦定理与余弦定理应用举例 分级一　提能强化 1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° D　解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°， 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 2．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　) A. km B． km C． km D．2 km A　解析：如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝， ∴AC＝2×＝ (km). 3.如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　　) A．2 km B． km C．2 km D． km D　解析：在△ABC中，由已知得AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，故AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝32＋42－2×3×4cos 60°＝13，故AB＝. 4．(2025·四川毕节模拟)小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝12 m，②在B处测得旗杆顶端A处的仰角为60°，③在C处测得旗杆顶端A处的仰角为45°，④cos ∠BAC＝，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　) A．10 m B．12 m C．12 m D．12 m D　解析：选①②③⑤，如图所示， 则∠ABO＝60°，∠ACO＝45°， 设OA＝x，则OA＝OC＝x，OB＝. 在△BOC中，利用余弦定理 BC2＝122＝x2＋()2－2x××， 整理得x＝12，即OA＝12 m，故选D. 5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为(　　) A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m B　解析：设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示． 由题意，得CD＝150 m，OD＝100 m，∠CDO＝60°， 在△CDO中，由余弦定理得， CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2， 即1502＋1002－2×150×100×＝r2， 解得r＝50 m． 6．一船向正北航行，看见正西方向相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________n mile. 答案：10　解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，得AB＝5， 于是这艘船的速度是＝10(n mile/h). 7.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km. 答案：3　解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6(km)，　 在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ABS＝180°－75°＝105°， ∴∠ASB＝45°， 由正弦定理知＝， ∴BS＝＝3(km). 8.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2 km.记∠AMN＝θ. (1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来； (2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)? 解：(1)∠AMN＝θ，在△AMN中， 由正弦定理，得＝＝， 所以AN＝sin θ，AM＝sin (120°－θ). (2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos ∠AMP ＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos (θ＋60°) ＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin (2θ＋120°)＋4 ＝－[sin (2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋ ＝－sin (2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)， 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米． 9.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离． 解：(1)依题意，有PA＝PC＝x， PB＝x－1.5×8＝x－12. 在△PAB中，AB＝20， cos ∠PAB＝＝ ＝. 同理，在△PAC中，AC＝50， cos ∠PAC＝＝＝. 因为cos ∠PAB＝cos ∠PAC， 所以＝， 解得x＝31. (2)如图，作PD⊥AC于点D，在△ADP中， 由cos ∠PAD＝，得 sin ∠PAD＝＝， 所以PD＝PA sin∠PAD＝31×＝4(km). 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km. 分级二　知能探究 10．(2025·湖北武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km A处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　) A．14 h B．15 h C．16 h D．17 h B　解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t h后热带风暴中心到达点B位置， 在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°， 根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×， 令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0， 解得≤t≤， 所以该码头将受到热带风暴影响的时间为 －＝15(h). 11．(2025·辽宁抚顺模拟)如图，树顶A离地面4.8 m，树上另一点B离地面2.4 m，在离地面1.6 m的C处看此树，若离此树a m时看A，B的视角最大，则a＝(　　) A．2.2 B．2 C．1.8 D．1.6 D　解析：如图，过C作CD⊥AB于D，设CD＝a，AD＝4.8－1.6＝3.2，BD＝2.4－1.6＝0.8. 则tan ∠ACD＝＝，tan ∠BCD＝＝， ∴tan ∠ACB＝tan (∠ACD－∠BCD)＝＝≤， 当且仅当a＝，即a＝1.6时，等号成立． 12．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　) A．8.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km B　解析：因为AB＝1 000×＝(km)， 所以BC＝·sin 30°＝(km). 所以航线离山顶的高度h＝BC·sin 75°＝×sin 75°＝×sin (45°＋30°)≈11.4(km). 所以山高为18－11.4＝6.6(km). 13．(多选)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12 n mile，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向．下面结论正确的有(　　) A．AD＝24 n mile B．CD＝12 n mile C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120° D．∠CDA＝60° ABD　解析：如图，在△ABD中，∠B＝45°，由＝＝＝24，AD＝24，A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos 30°＝(12)2＋242－2×12×24×＝144，∴CD＝12，B正确；由正弦定理得＝，sin ∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°，因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，D正确，C错误． 14．如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°－α.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为________m；旗杆BA的高为________m．(用含有l和α的式子表示) 答案：l sin α　　解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C＝α， 在Rt△P2BC中，∠P2＝. ∵∠BP1C＝∠P1BP2＋∠P2， ∴∠P1BP2＝， 即△P1BP2为等腰三角形，BP1＝P1P2＝l， ∴BC＝l sin α. 在Rt△ACP1中，＝＝tan (90°－α)， ∴AC＝， 则BA＝AC－BC＝－l sin α＝＝. 15．如图所示，摄影爱好者S在某公园发现A处的正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛到地面的距离为 m. (1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度； (2)立柱的顶端有一长2 m的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 解：(1)如图，过S作SC垂直OB于C，连接SB，SO，则∠CSB＝，∠ASB＝. 又SA＝，故在Rt△SAB中，可得BA＝3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米． 由SC＝3，∠CSO＝，在Rt△SCO中，可得OC＝. 因为BC＝SA＝，故OB＝2，即立柱高为2米． (2)如图，连接SM，SN，设SN＝a，SM＝b. 由(1)知SO＝2，在△SOM和△SON中，cos ∠SOM＝－cos ∠SON， 即＝－， 可得a2＋b2＝26. 在△MSN中，cos ∠MSN＝＝≥＝>，当且仅当a＝b时，等号成立． 又∠MSN∈(0，π)，则0<∠MSN<. 故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面． 分级三　素能创新 16．(多选)地面上有两座相距120 m的塔，高塔的高为H m，矮塔的高为h m，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则下列结论正确的有(　　) A．tan ＝ B．H＝90 C．h＝40 D．H＝80 ABC　解析：设在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝，tan ＝，A正确；根据三角函数的倍角公式有＝.① 因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，由tan β＝，tan (－β)＝，得＝.② 联立①②解得H＝90，h＝40.B，C正确，D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$