精品解析：江苏徐州市2025-2026学年第二学期期末抽测高一年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期末抽测 高一年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校高一、高二和高三年级分别有学生400名、350名和250名，若用随机数表法从这1000人中抽取一个容量为的样本，每人被抽到的可能性都为0.12，则（ ） A. 48 B. 50 C. 120 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】使用随机数表抽样的定义求解. 【详解】由题意知，解得. 2. 同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，先计算抛掷两颗骰子的总基本事件数，再统计点数之和小于的基本事件数，二者的比值即为所求概率. 【详解】根据题意得，同时抛掷两颗骰子，每颗骰子向上的点数有种可能，因此总基本事件数为， 满足“向上点数之和小于”的点数之和为或，对应的基本事件为，共个； 所以同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率. 3. 数据1，3，2，2，5，6，9，8的70%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，计算70%分位数对应的位置，根据位置规则确定分位数. 【详解】将原数据从小到大排列：1，2，2，3，5，6，8，9， 由，故该组数据的70%分位数是. 4. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】通过复数除法运算化简复数，根据复平面内对应点的坐标特征判断所在象限. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别是2和5，母线长为5，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用圆台的体积公式求解. 【详解】设圆台的高为，则， 圆台的体积为：. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知且， 所以，则， 所以. 7. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的平行与垂直的判定、性质定理对各选项逐一判断即可.通过举反例可判断ACD，由线面平行的性质可判断B. 【详解】对A选项：如图所示：，但，故A错误； 对B选项：由线面平行的性质定理：若一条直线平行于一个平面，且该直线含于与该平面相交的另一个平面内，则该直线与两平面的交线平行.已知∥，，，满足定理条件，故，B正确； 对C选项：如图所示：满足 ，但，故C错误； 对D选项：如图所示：满足，但不平行，故D错误. 8. 若，，，的平均数为3，方差为4，则，，，，，，，的方差为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得， 所以数据，，，，，，，的平均数为 ， 所以该组数据方差为 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算出事件的概率，根据它们概率之间的关系，判断各选项的准确性. 【详解】设盒子里两个红球为，，两个白球为，， 从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误； 因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由韦达定理求解；B.由韦达定理求解； C. 转化为表达求解；D转化为表达求解. 【详解】已知 是方程 的两根，由韦达定理 选项 A， ，A 错误； 选项 B，，B 正确； 选项 C， ，C 正确； 选项 D， ， 所以，D正确. 11. 在正四棱柱中，底面为正方形，，设平面平面，则（ ） A. 平面 B. 与夹角的余弦值为 C. 存在，使得平面 D. 存在，截该四棱柱所得截面面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法判断A的正误，构建异面直线所成的角，根据解直角三角形可求出余弦值后判断B，可证平面平面，故可判断C的正误，求出截面为六边形时面积的最大值后可得判断D的正误. 【详解】连接. 对于A，若平面，因为平面，故， 而平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故，但四边形不是正方形， 故不成立，故A错误； 对于A，因为，故或其补角为异面与所成的角， 在直角三角形中，， 故异面与所成的角的余弦值为，故B正确； 对于C，由长方体的性质可得，而平面， 平面，故平面，同理平面， 而平面，故平面平面， 故平面，故C正确. 对于D，平面与长方体的截面要么为三角形，要么为六边形， 如果截面为三角形，则截面面积的最大值为. 如果截面为六边形， 在三角形中，，故， 故. 设平面与中点，依次连接起来, 则共面，且，，. 故. 由对称性，设，则，且， 故，且，所以， 故，同理，，, 因为，故四边形为平行四边形， 故，且， 故 ， 故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数三角形式乘法法则化简复数，再计算其共轭复数的模 【详解】 . 13. 在中，D为的中点，，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】先通过正弦定理得到与的数量关系，再结合中线的向量性质及余弦定理计算BC的长度. 【详解】在中，由正弦定理， 结合已知，可得， 设，则， 因为为中点，故， 两边平方得： ，  代入，，， 得：  ，化简得，即， 在中由余弦定理：  ， 代入、、， 得：  ，将代入得， . 14. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，且．设，分别为四棱锥的外接球与内切球的球心，则________． 【答案】 ##1.5 【解析】 【分析】由题设可知该四棱锥中是外接球直径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解. 【详解】已知底面，底面，所以 因为底面是正方形，则. 因为平面，，所以平面，，则. 同理得到， 因为底面是边长为4的正方形，平面， 所以四棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球， 所以四棱锥所有顶点都在以棱为直径的球面上，因此是外接球直径，是的中点. 四棱锥体积. 底面面积，两个侧面面积和， 两个侧面面积和，总表面积. 因为,为内切球的半径，所以 . 由四棱锥对称性，在平面内，且到底面的距离等于半径； 设在平面的投影为，则在上， 到侧面与侧面的距离都等于， 则到与的距离都等于，可得. 在直角三角形中，，，​. 是中点，因此，到底面的高度为； 到的距离等于，到底面距离为； 由勾股定理. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，满足． （1）若，求和； （2）若，求． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的模长公式、复数的除法运算即可求解； （2）由复数模的计算，复数相等的条件求解即可. 【小问1详解】 由，则：  ， 代入的表达式得：  ， 则 . 【小问2详解】 设 （）， 则为实数， 若， 由，得， 根据复数相等的条件： 虚部相等得； 实部满足， 代入得：  ，即 ， 解得，故. 16. 某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 【答案】（1）， （2）众数为，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由第二、三､四组的频率之和为0.8，所有组频率之和为1，列方程求的值； （2）由频率分布直方图中众数､平均数的定义公式计算； （3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题. 【小问1详解】 因为第二、三､四组的频率之和为0.8， 所以，解得， 所以第一和第五组的频率之和为，即， 所以. 【小问2详解】 频率分布直方图中，最高矩形的中值点为，即众数为， 平均数为. 【小问3详解】 第四､第五两组志愿者分别有人，人， 采用分层抽样的方法从中抽取5人， 则第四组抽3人，记为，第五组抽2人，记为， 则从这5人中选出2人， 有共10种结果， 两人来自不同组有共6种结果， 所以两人来自不同组的概率为. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，M，N分别为，的中点，． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的大小． 【答案】（1）在中，因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理以及线面平行的判定定理求解即可. （2）根据线面垂直的性质以及判定定理，结合线面角的概念得到直线与平面所成的角，求解即可. （3）根据线面垂直的性质，结合二面角概念得到二面角，再利用三角形相似求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，. 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面. 所以就是直线与平面所成角. 因为， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以直线与平面所成角为. 【小问3详解】 在中，过点作于点， 由(2)知，平面，又平面，所以， 又因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以就是二面角的平面角. 因为，所以. 则. ，， ，所以， 因为， 所以在中，， 所以. 故二面角的大小为. 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． （1）若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； （2）若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（ⅱ）若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）枚举出所有情况，并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得. 【小问1详解】 （ⅰ）由于恰好比赛四场结束，若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场， 则第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第二场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 第三场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，最终甲获胜； 故甲最终获胜的概率为； （ⅱ）由于恰好比赛四场结束，若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场， 若第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 则第二场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第三场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，最终丙获胜； 若第一场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 则第二场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，最终丙获胜； 故丙最终获胜的概率为； 【小问2详解】 若第一场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 则有情况一：第二场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第三场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况二： 第二场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第三场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 若第一场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 则有情况三：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为 最终丙获胜，概率为； 情况四：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况五：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第五场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况六：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况七：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中乙胜甲负，概率为， 第四场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况八：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 故最终丙获胜的概率为. 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，存在，满足． （1）证明：为钝角三角形； （2）设为的最大内角，内的点满足， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）设的最大角是，则均为锐角，由，得均为锐角，所以 ，所以， 又，所以 移项得 ，得， 所以为钝角三角形； （2）（（ⅰ） 由 (1) 得，在中，， 故为等腰三角形，， 方法1：点在内部，得 ， ， ， 中，，， 故， ， ， 将含项移至左侧，提取： ， 得， 即 ，等式得证. 方法2：由正弦定理 ，等式得证. （ⅱ）1 【解析】 【分析】（1）设的最大角是，求得，得出是钝角三角形；（2）（ⅰ）利用总面积等于三个小三角形面积之和，由正弦定理寻找关系求证； （ⅱ）由正弦定理寻找关系求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （ⅰ）略；（ⅱ）：在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有，所以， 即， 所以 ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末抽测 高一年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校高一、高二和高三年级分别有学生400名、350名和250名，若用随机数表法从这1000人中抽取一个容量为的样本，每人被抽到的可能性都为0.12，则（ ） A. 48 B. 50 C. 120 D. 140 2. 同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 数据1，3，2，2，5，6，9，8的70%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知圆台的上、下底面半径分别是2和5，母线长为5，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 若，，，的平均数为3，方差为4，则，，，，，，，的方差为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 10. 已知，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正四棱柱中，底面为正方形，，设平面平面，则（ ） A. 平面 B. 与夹角的余弦值为 C. 存在，使得平面 D. 存在，截该四棱柱所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则________． 13. 在中，D为的中点，，，，则________． 14. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，且．设，分别为四棱锥的外接球与内切球的球心，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，满足． （1）若，求和； （2）若，求． 16. 某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8． （1）求a，b的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，M，N分别为，的中点，． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的大小． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． （1）若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； （2）若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 19. 已知的内角，，所对的边分别为，，，存在，满足． （1）证明：为钝角三角形； （2）设为的最大内角，内的点满足， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $