第二章 函数 第9节 指数函数 练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法系统构建指数函数解题体系，通过概念理解-性质应用-综合拓展逻辑链提升数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（图象判断/比较大小）|单调性比较法/图象变换法|从指数函数定义到图象性质的生成| |性质应用|6题（单调性/奇偶性/零点）|复合函数"同增异减"/换元法|性质推导到方程不等式的应用| |综合拓展|5题（含2025新高考Ⅰ卷真题）|参数分类讨论/函数建模|知识迁移解决复杂情境问题|

第9节　指数函数 一、单选题 1.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 2.若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<a<c 3.(2026·西安调研)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 4.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案　B 5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝，则对任意实数x，下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数，且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数，且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数，且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数，且在R上单调递减 6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞，0]满足x2－3x＋a<0(a∈R)，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－1，＋∞) 7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 二、多选题 8.已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，下列等式可以成立的是(　　) A.a＝b＝0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 9.(2026·江西适应性联考)设函数f(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上是单调函数 C.f(x)的最小值为1 D.当x>0时，f(x)>0 三、填空题 10.不等式<的解集为　　　　.  11.已知函数f(x)＝|2x－1－2|＋m有两个零点，则m的取值范围是　　　　.  12.已知0≤x≤2，则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.  四、解答题 13.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值; (2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围. 14.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值. 第9节　指数函数 一、单选题 1.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 答案　B 解析　作出函数y＝的图象，如图所示，将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝的图象. 2.若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<a<c 答案　C 解析　指数函数y＝为减函数， 所以>，即b>c. 幂函数y＝在区间(0，＋∞)上为增函数， 所以<， 即a<c.因此a<c<b. 3.(2026·西安调研)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　函数f(x)＝的定义域为R， 令u＝x2－3x＋1，y＝3u. 因为y＝3u在R上单调递增， u＝x2－3x＋1的单调递增区间为， 所以f(x)的单调递增区间为. 4.已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　B 解析　y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0，1)， 因为a>1， 所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到， 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示. 故函数f(x)的图象不经过第二象限. 5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝，则对任意实数x，下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数，且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数，且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数，且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数，且在R上单调递减 答案　B 解析　f(x)的定义域为R， f(x)＝， 则f(－x)＝＝－＝－f(x)， 故f(x)是奇函数. 由于f(x)＝， 函数y＝ex＋1单调递增， 故f(x)在R上单调递增. 故选B. 6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞，0]满足x2－3x＋a<0(a∈R)，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－1，＋∞) 答案　A 解析　因为存在x∈(－∞，0]，满足x2－3x＋a<0(a∈R)， 即存在x∈(－∞，0]，满足a<－x2＋3x，亦即 a<(－x2＋3x)max. 令f(x)＝－x2＋3x，x∈(－∞，0]， 因为y＝－x2与y＝3x在(－∞，0]上均单调递增， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递增， 所以f(x)max＝f(0)＝1， 所以a<1，即a的取值范围是(－∞，1).故选A. 7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 答案　B 解析　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m， 所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5， 令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝， 此时x>y>z，A有可能; 令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能; 令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243， z＝53＝125， 此时y>z>x，D有可能.故选B. 二、多选题 8.已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，下列等式可以成立的是(　　) A.a＝b＝0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 答案　ABD 解析　如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0. 9.(2026·江西适应性联考)设函数f(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上是单调函数 C.f(x)的最小值为1 D.当x>0时，f(x)>0 答案　ABD 解析　f(－x)＝e－x－ex＋2x＝－(ex－e－x－2x)＝－f(x)，x∈R， 所以f(x)是奇函数，A正确; 对f(x)求导得f'(x)＝ex＋e－x－2， 因为ex＋e－x≥2，当且仅当x＝0时等号成立， 所以f'(x)≥0，则f(x)在R上是单调函数，B正确; 由B的分析知f(x)是增函数，故f(x)没有最小值，C错误; 因为f(x)是增函数，且f(0)＝0， 所以当x>0时，f(x)>0，D正确. 三、填空题 10.不等式<的解集为　　　　.  答案　(－3，2) 解析　函数y＝2x在R上单调递增， 则 <，得<2－3(x－1)，得x2－2x－3<－3(x－1)， 即x2＋x－6<0， 解得－3<x<2， 所以原不等式的解集为(－3，2). 11.已知函数f(x)＝|2x－1－2|＋m有两个零点，则m的取值范围是　　　　.  答案　(－2，0) 解析　令f(x)＝|2x－1－2|＋m＝0， 得|2x－1－2|＝－m， 因为f(x)有两个零点，所以函数y＝|2x－1－2|的图象与直线y＝－m有两个交点， 画出函数y＝|2x－1－2|的图象，如图所示， 由图可知0<－m<2，即－2<m<0. 12.已知0≤x≤2，则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.  答案　 解析　设2x＝t，0≤x≤2，则1≤t≤4， y＝－3×2x＋5＝t2－3t＋5 ＝(t－3)2＋， 故当t＝1，即x＝0时，函数有最大值. 四、解答题 13.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a>0，且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值; (2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围. 解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， ∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，∴k＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)， ∵f(1)<0，即a－<0， 又a>0，且a≠1，∴0<a<1， 而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减， 故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为 f(m2－2)>f(－m)， ∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0， 解得－2<m<1， ∴实数m的取值范围是(－2，1). 14.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值. 解　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1，1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去); 当0<a<1时，因为x∈[－1，1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增， 则ymax＝－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去). 综上，a＝3或a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $