第二章第10节 对数函数训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦对数函数概念、性质及应用，通过定义法、单调性分析、分类讨论等方法体系，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2、填空10|定义域求解、反函数定义|从对数函数定义生成定义域、反函数概念，结合不等式求解| |性质应用|单选3-6、填空11-12、多选8-9|单调性比较大小、复合函数"同增异减"、最值转化|以单调性为核心，关联图象识别、值域与最值，形成性质应用网络| |综合拓展|单选7、解答13-14|奇偶性定义判断、恒成立问题转化|整合函数性质与不等式，通过分类讨论（a>1/0<a<1）提升综合解题能力|

第10节　对数函数 一、单选题 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(－∞，2] B.(1，＋∞) C.(1，2] D.[2，＋∞) 2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A.log2x B. C.lox D.2x－2 3.已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 4.函数y＝lo(|x|－1)的图象可以是(　　) 5.函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.(0，1) C. D. 6.当0<x<时，<logax(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.(2026·沧州模拟)已知a>0，且f(x)＝ln为奇函数，则(　　) A.f>f>0 B.f>f>0 C.f>0>f D.f>0>f 二、多选题 8.(2026·合肥调研)若函数f(x)＝lg＋lg(2x2)，则(　　) A.f(x)为减函数 B.f(x)＝1⇔x＝5 C.f(x)的值域为R D.f(x)<2⇔x<50 9.已知函数y＝logax与y＝logb(－x)的图象关于坐标原点对称，则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是(　　) 三、填空题 10.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝　　　　.  11.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为　　　　.  12.已知函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，则m的取值范围是　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1). (1)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由; (2)求使f(x)－g(x)>0成立的x的集合. 14.已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1). (1)当a＝时，求函数f(x)的定义域; (2)当a＝2时，若不等式f(x)－log2(1＋2x)>m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围. 第10节　对数函数 一、单选题 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(－∞，2] B.(1，＋∞) C.(1，2] D.[2，＋∞) 答案　C 解析　依题意lo(x－1)≥0， ∴0<x－1≤1，解得1<x≤2. 2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A.log2x B. C.lox D.2x－2 答案　A 解析　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝loga2＝1，所以a＝2， 所以f(x)＝log2x.故选A. 3.已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 答案　A 解析　a＝log43<log44＝1，b＝log53<log55＝1，c＝log45>log44＝1， ＝log34<log35＝，又a>0，b>0， 所以b<a，故0<b<a<1，所以b<a<c. 4.函数y＝lo(|x|－1)的图象可以是(　　) 答案　D 解析　令f(x)＝lo(|x|－1)，由|x|－1>0，得|x|>1，得x>1或x<－1， 所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故可以排除AB选项， 令x＝4，得f(4)＝lo(|4|－1)＝lo3<0，故C错误，D正确. 5.函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.(0，1) C. D. 答案　D 解析　设u＝3－ax，因为a>0，且a≠1， 所以函数u＝3－ax为减函数， 所以函数y＝logau为增函数，所以a>1， 且对任意的x∈(1，2)，3－ax>0恒成立， 即a<恒成立，则a≤， 所以1<a≤. 6.当0<x<时，<logax(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得当0<x<时，y＝的图象位于y＝logax图象的下方， 因为y＝上单调递增， 所以 即 所以≤a<1. 7.(2026·沧州模拟)已知a>0，且f(x)＝ln为奇函数，则(　　) A.f>f>0 B.f>f>0 C.f>0>f D.f>0>f 答案　A 解析　因为f(x)的定义域为，f(x)为奇函数，所以a＝3， 则f(x)＝ln＝ln， 由于y＝1－3x为减函数且值恒为正数， 则为单调递增函数， 因此f(x)为增函数. 因为a＝3>0，所以0<2a<3a， 所以0<<， 故f>f>f(0)＝0. 二、多选题 8.(2026·合肥调研)若函数f(x)＝lg＋lg(2x2)，则(　　) A.f(x)为减函数 B.f(x)＝1⇔x＝5 C.f(x)的值域为R D.f(x)<2⇔x<50 答案　BC 解析　因为f(x)＝lg＋lg(2x2) ＝lg＝lg(2x)＝lg 2＋lg x，x>0， 所以f(x)为增函数，f(x)的值域为R，故A错误，选项C正确; f(x)＝1⇔lg(2x)＝1⇔2x＝10⇔x＝5，故B正确; f(x)<2⇔lg(2x)<2⇔0<2x<100⇔0<x<50，故D错误. 9.已知函数y＝logax与y＝logb(－x)的图象关于坐标原点对称，则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是(　　) 答案　AC 解析　在函数y＝logax的图象上任取点(x，y)， 则点(－x，－y)在y＝logb(－x)的图象上， 即于是logbx＝－logax＝lox对任意x>0成立，则b＝， 当0<a<1时，函数y＝ax是R上的减函数，b>1， 则y＝logbx是(0，＋∞)上的增函数， C符合，D不符合; 当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数， 0<b<1， 则y＝logbx是(0，＋∞)上的减函数，A符合，B不符合. 三、填空题 10.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝　　　　.  答案　4 解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2， 所以f(x)的定义域为{x|x>4，或x<－2}. 又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减， 而y＝lg μ在定义域上单调递增， 所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4. 11.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为　　　　.  答案　－ 解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝≥－， 当log2x＝－，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为－. 12.已知函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]，则m的取值范围是　　　　.  答案　[1，32] 解析　因为f(1)＝0， f(32)＝f＝5， 作出函数f(x)的大致图象，如图所示， 而函数f(x)＝|log2x|在上的值域为[0，5]， 所以结合函数f(x) 的图象，可得m的取值范围是[1，32]. 四、解答题 13.已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1). (1)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由; (2)求使f(x)－g(x)>0成立的x的集合. 解　(1)依题意，h(x)＝f(x)－g(x) ＝loga(x＋1)－loga(1－x)， 由得－1<x<1， 即函数h(x)的定义域为{x|－1<x<1}，关于原点对称， h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－h(x)，则函数h(x)是奇函数， 所以函数f(x)－g(x)是奇函数. (2)由f(x)－g(x)>0， 得loga(x＋1)>loga(1－x)， 当0<a<1时，解得－1<x<0; 当a>1时，解得0<x<1， 所以0<a<1时，使f(x)－g(x)>0成立的x的集合为{x|－1<x<0}; a>1时，使f(x)－g(x)>0成立的x的集合为{x|0<x<1}. 14.已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1). (1)当a＝时，求函数f(x)的定义域; (2)当a＝2时，若不等式f(x)－log2(1＋2x)>m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围. 解　(1)当a＝时， 此时f(x)＝lo，而不等式－1>0等价于2x<1， 得x<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0). (2)当a＝2时，此时f(x)＝log2(2x－1)， 设g(x)＝f(x)－log2(1＋2x)＝log2， 不等式log2(2x－1)－log2(1＋2x)>m对任意x∈[1，3]成立. 所以m<g(x)min， 设t＝＝1－，x∈[1，3]， 故2x＋1∈[3，9]，t＝1－∈， 故g(x)min＝log2， 所以m<g(x)min＝log2＝－log23， 故实数m的取值范围是(－∞，－log23). 学科网（北京）股份有限公司 $