27.2　反比例函数的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象和性质及综合运用，通过类比一次函数、二次函数图象画法，复习正比例函数图象及画函数图象步骤，搭建旧知到新知的学习支架。 资料以探究式学习为主，通过描点法画图象、分析k值对象限和增减性的影响，结合几何图形与一次函数综合应用，体现几何直观、推理意识与模型意识，帮助学生发展抽象能力和应用意识，为教师提供系统教学资源和多样化例题。

27.2　反比例函数的图象和性质 第1课时　反比例函数的图象和性质 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教师备课　素材示例 ●类比导入　1.一次函数和二次函数的图象分别是什么？ 2．请分别画出y＝2x与y＝x2＋1的图象． 3．类比一次函数和二次函数图象的画法，你能画出反比例函数y＝的图象吗？ 【教学与建议】教学：通过对一次函数和二次函数的图象以及画函数图象的知识的回顾，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：教学强调画函数图象的一般步骤“列表、描点、连线”及注意点“光滑的曲线”． ●复习导入　1.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是__一条直线__，当k>0时，图象在__第一、三__象限；当k<0时，图象在__第二、四__象限． 2．画二次函数、一次函数图象的一般步骤是：__列表__、__描点__、__连线__． 3．反比例函数常见的三种形式是__y＝__，__y＝kx-1__，__xy＝k__，其中k是__常数__且__k≠0__． 【教学与建议】教学：复习一次函数的图象和性质，进而探索反比例函数的图象和性质．建议：先自主学习，再小组讨论归纳． 命题角度1　考查反比例函数图象所在的象限 反比例函数y＝的图象所在象限由k的正负决定，当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限． 【例1】反比例函数y＝的图象位于 (A) A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、二象限 D．第二、四象限 【例2】反比例函数y＝－的图象大致是 (B) 命题角度2　确定待定字母的值或取值范围 反比例函数y＝的图象在第一、三象限时，k>0；反比例函数y＝的图象在第二、四象限时，k<0. 【例3】若反比例函数y＝的图象过点(a，b)，则ab＝__2__． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】已知反比例函数y＝. (1)若函数的图象位于第一、三象限，则k__<4__； (2)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k__>4__． 命题角度3　考查在同一平面直角坐标系中不同函数图象的位置 解决同一平面直角坐标系中两种函数图象共存的问题，根据函数解析式中字母的正负来判断． 【例5】函数y＝kx－k与y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (D) 【例6】函数y＝－的大致图象是 (D) 命题角度4　考查反比例函数图象的增减性 解决反比例函数图象的增减性问题，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 【例7】在反比例函数y＝－图象上有三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1<0<x2<x3，则下列结论中，正确的是 (C) A．y3<y2<y1 B．y1<y3<y2 C．y2<y3<y1 D．y3<y1<y2 【例8】如图是三个反比例函数图象的分支，则k1，k2，k3的大小关系是__k1<k3<k2__． 高效课堂　教学设计 1．进一步熟悉作函数图象的步骤，能够作出反比例函数的图象． 2．通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象和性质． ▲重点 反比例函数的图象及其性质． ▲难点 反比例函数图象与性质的灵活应用． ◆活动1　新课导入 1．正比例函数y＝kx的图象是__一条直线__，当k＞0时，图象在__第一、第三__象限；当k<0时，图象在__第二、第四__象限． 2．请分别画出y＝2x与y＝－2x的图象． 3．如何用描点法画一个函数的图象． ◆活动2　探究新知 1．教材P67　探究． 提出问题： (1)我们知道，正比例函数y＝kx的图象是一条直线，那么反比例函数y＝的图象是什么形状呢？你能用“描点”的方法画出反比例函数y＝和y＝的图象吗？ (2)观察y＝与y＝的图象，图象在向下、向上延伸时，会与x轴、y轴相交吗？为什么？ (3)教材P68　思考． 学生完成并交流展示． 2．教材P69　探究 提出问题： (1)请仿照P67　探究画出函数y＝－与y＝－的图象； (2)观察你所画出的图象，你能发现它们的共同特征以及不同点吗？每个函数的图象分别位于哪几个象限？在每个象限内，y随x的变化情况如何？ (3)反比例函数是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 一般地，反比例函数y＝的图象是双曲线，它具有以下性质： (1)当k>0时，双曲线的两支分别位于__第一、第三__象限，在每一个象限内，y随x的__增大__而__减小__； (2)当k<0时，双曲线的两支分别位于__第二、第四__象限，在每一个象限内，y随x的__增大__而__增大__； (3)反比例函数的图象是轴对称图形，直线__y＝x__和y＝－x是它的对称轴；它也是__中心对称__图形，对称中心是__坐标原点__． ◆活动4　例题与练习 例1　已知反比例函数y＝(m－1)xm2－3的图象在第二、第四象限，求m的值，并指出在每个象限内，y随x的变化情况． 解：∵y＝(m－1)xm2－3是反比例函数，∴m2－3＝－1，且m－1≠0，∴m＝±.又∵图象在第二、第四象限，∴m－1<0，∴m＝－.在每个象限内，y随x的增大而增大． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、第三象限． (1)求m的取值范围； (2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)，求出该反比例函数的解析式； (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)都在该反比例函数的图象上，且x1>x2>0，则y1和y2有怎样的大小关系？ 解：(1)由题意，得1－2m>0，解得m<. (2)∵四边形ABOD为平行四边形，A(0，3)，B(－2，0)，∴AD∥OB，AD＝OB＝2.∴点D的坐标为(2，3).将D(2，3)代入反比例函数y＝，得1－2m＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为y＝. (3)y1<y2. 练习 1．教材P70　练习第1，2题． 2．已知一次函数y＝x－b与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，则b的值为__－1__． 3．已知反比例函数y＝的图象在其所在的象限内，y随x的增大而减小，求k的值． 解：由题意，得由①，得k>3，由②，得k＝±2.综合①②得k＝2. ◆活动5　课堂小结 1．反比例函数的图象． 2．反比例函数的图象和性质． 1．作业布置 (1)教材P72　习题27.2第2，5题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 第2课时　反比例函数图象和性质的综合运用 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教师备课　素材示例 ●复习导入　反比例函数y＝的图象是__双曲线__． (1)当k>0时，图象的两支分别位于__第一、第三__象限，在每一个象限内，y随x的增大而__减小__． (2)当k<0时，图象的两支分别位于__第二、第四__象限，在每一个象限内，y随x的增大而__增大__． 【教学与建议】教学：通过对反比例函数的图象与性质的回顾，为本课更深入探讨反比例函数的性质及综合应用奠定基础．建议：提问为什么要强调“在每一个象限内”讨论函数图象的增减． ●类比导入　填表分析正比例函数和反比例函数的区别． 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y＝kx(k≠0) y＝(k≠0) 图象形状 直线 双曲线 k>0 位置 第一、三象限 第一、三象限 增减性 每个象限内，y随x的增大而增大 每个象限内，y随x的增大而减小 k<0 位置 第二、四象限 第二、四象限 增减性 每个象限内，y随x的增大而减小 每个象限内，y随x的增大而增大 　　【教学与建议】教学：类比导入，为本课时探究综合应用反比例函数的图象和性质奠定基础．建议：分小组讨论后再填表． 命题角度1　反比例函数的图象及性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上任取一点(x1，y1)，则k＝x1y1. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】已知反比例函数y＝经过点(2，－2)和(m，1)，则m的值是 (C) A．2 B．1 C．－4 D．4 【例2】已知点P(3，－2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k＝__－6__；在第四象限内，函数值y随x的增大而__增大__． 命题角度2　考查反比例函数的比例系数k的几何意义 由双曲线y＝上的任意一点向两坐标轴引垂线，所构成的矩形的面积为定值|k|，这一点与一个垂足及原点所确定的三角形的面积为定值|k|. 【例3】如图，点B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则△OAB的面积为 (A) A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】如图，根据图象写出反比例函数的解析式为__y＝－__． 命题角度3　反比例函数与几何图形的综合 反比例函数与几何图形的综合，解题的方法是综合利用函数、方程、几何性质进行解题． 【例5】如图，在反比例函数y＝(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝____． 【例6】如图，点A是反比例函数y＝(x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为__－6__． 　 命题角度4　一次函数与反比例函数的综合应用 反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是抓住函数图象的交点坐标与线段长度的关系，活用待定系数法求解析式，活用面积公式和图形特点，将不等式、函数、方程(组)、几何图形结合起来解决问题． 【例7】如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m为常数，且m≠0)的图象都经过点A(－1，2)，B(2，－1)，结合图象，则不等式kx＋b>的解集是 (C) A．x<－1 B．－1<x<0 C．x<－1或0<x<2 D．－1<x<0或x>2 【例8】如图，已知直线y1＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y2＝的图象相交于A(－2，m)，B(1，n)两点，连接OA，OB.给出下列结论：①k1k2<0；②m＋n＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④由图象知y1>y2时，x的取值范围是x<－2或0<x<1，其中正确结论的序号是__②③④__． 高效课堂　教学设计 1．分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题． 2．体会数学与现实生活的紧密性，体会数形结合的数学思想． 3．培养学生运用代数方法解决实际问题的能力． ▲重点 灵活运用反比例函数性质解决问题． ▲难点 反比例函数的图象和性质的综合应用． ◆活动1　新课导入 1．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－上，则y1，y2的大小关系为__y1>y2____． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y2>y1>y3____． 3．点A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)在双曲线y＝(k>0)上，则a，b，c的大小关系为__c>a>b__． ◆活动2　探究新知 1．教材P70　例1. 提出问题： (1)点A(－2，4)在第几象限？因为反比例函数的图象经过点A(－2，4)，所以这个函数图象的两支分别位于第几象限？在每一个象限内，y随x的增大而怎样变化？ (2)对于第(1)问，还有其他的解答方法吗？要判断函数的性质，我们首先可以求反比例函数的解析式，求反比例函数的解析式一般用什么方法？请同学们试着用待定系数法求出这个函数的解析式，并根据该函数的图象和性质解答第(1)问． (3)我们如何判断点在不在函数的图象上？ 学生完成并交流展示． 2．教材P71　例2. 提出问题： (1)反比例函数图象的分布有哪几种可能？由图可知这个函数的图象的一支位于第几象限？所以另一支必位于第几象限？怎么求常数m的取值范围？ (2)要比较y1和y2的大小，可以根据反比例函数的什么来解答？因为m－5>0，所以这个函数的性质是什么？因此当x1>x2时，y1和y2有怎样的大小关系？ (3)第(2)问除了课本上的解答方法，还有其他方法吗？请同学们试着用图象法或数形结合法比较y1和y2的大小． 学生完成并交流展示． 3．(1)如图①，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，连接PO.若S△PAO＝8，则这个反比例函数的解析式是__y＝－__； (2)如图②，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形PAOB的面积为12，则这个反比例函数的解析式是__y＝－__． (3)由(1)(2)你有什么发现？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 已知反比例函数的图象经过点A(a，b)(其中a≠0，b≠0)，可求出这个反比例函数的解析式．解题步骤如下： (1)设这个反比例函数的解析式为__y＝__； (2)把x＝__a__，y＝__b__代入这个反比例函数的解析式，解出__k＝ab__； (3)所求的反比例函数的解析式为__y＝__； (4)过点A分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积S＝__|k|__． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动4　例题与练习 例1　如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点． (1)根据图象，写出点A，B的坐标； (2)求出两函数的解析式； (3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 解：(1)A(－6，－2)，B(4，3). (2)把B(4，3)代入y＝，得3＝，∴m＝12，∴y＝.把A(－6，－2)，B(4，3)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的解析式为y＝x＋1. (3)由图象可知，当－6<x<0或x>4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 例2　如图，已知反比例函数y＝(k>0)的图象经过点A(1，m)，过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1. (1)求m，k的值； (2)若一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围． 解：(1)由已知，得S△AOB＝×1×m＝1，解得m＝2.把A(1，2)代入y＝，得k＝2. (2)由(1)知反比例函数的解析式是y＝，则＝nx＋2有两个不同的解．方程整理，得nx2＋2x－2＝0，则Δ＝4＋8n>0，解得n>－且n≠0. 练习 1．教材P71　练习第1，2，3题． 2．反比例函数y＝与正比例函数y＝2kx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是下列选项中的 (D) 　　　　　　 3．如图，双曲线y＝与直线y＝－x交于A，B两点，且点A(－2，m)，则点B的坐标是 (A) A．(2，－1) B．(1，－2) C． D． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．如图，已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)O为坐标原点，点A在该反比例函数图象位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值． 解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，则m－7>0，解得m>7. (2)设线段AB交x轴于点C.∵点B与点A关于x轴对称，∴AC＝BC.∵△OAB的面积为6, ∴△OAC的面积为3.∴(m－7)＝3，解得m＝13. ◆活动5　课堂小结 1．反比例函数图象上点的坐标特征． 2．反比例函数与一次函数的交点问题． 3．反比例函数中系数k的几何意义． 1．作业布置 (1)教材P73　习题27.2第4，6题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $