25.3　实际问题与一元二次方程 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦“实际问题与一元二次方程”，分几何图形、传播增长、循环销售三课时。通过杨辉矩形面积问题、剪正方形折盒子等情景导入，搭建从具体几何到抽象模型的学习支架，衔接方程应用脉络。 资料以数学眼光挖掘古代问题与生活实例，如病毒传播模型培养抽象能力，商品销售利润计算发展推理意识，用方程表达数量关系强化模型观念。丰富素材助教师分层教学，提升学生解决实际问题能力与数学应用意识。

25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 　　　　　　 教师备课　素材示例 ●情景导入　提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似. 下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．用已学过的知识解决这个问题． 解：设阔(宽)为x步，则长为(x＋12)步．根据题意，得x(x＋12)＝864.解得x1＝24，x2＝－36(舍去)． 【教学与建议】教学：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值，通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想． ●置疑导入　如图，小明把一张边长为20 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子． (1)如果要求长方体的底面面积为256 cm2，那么剪去正方形的边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折成的长方体的体积又会发生什么样的变化？ 长方体的底面积 256 196 144 100 64 36 16 4 正方形的边长 2 3 4 5 6 7 8 9 长方体的体积 512 588 576 500 384 252 128 36 　　【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题的导入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活． 命题角度1　列一元二次方程解决等积变形问题 在列一元二次方程解决等积变形问题时，有三个等量关系：①图形周长改变，面积没变；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积． 【例1】小明用30 cm的铁丝围成一斜边等于13 cm的直角三角形，设该直角三角形一直角边长x cm.根据题意列方程为__x2＋(30－13－x)2＝132__． 命题角度2　列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题 构建方程解决几何问题的关键是找到相等的数量关系． 【例2】用一条长50 cm的绳子围成一个面积为200 cm2的矩形．设矩形的长为x cm，则可列方程为 (B) A．x(25＋x)＝200 B．x(25－x)＝200 C．x(50＋x)＝200 D．x(50－x)＝200 命题角度3　列一元二次方程解决存在性问题 列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先假设结论存在或成立，然后根据题意列出方程．根据方程根的情况，证明假设是否成立． 【例3】如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2 m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33 m. (1)若墙长为18 m，要围成鸡场的面积为150 m2，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成鸡场的面积可能达到200 m2吗？ 解：(1)设鸡场靠墙一边的长为x m．根据题意，得x(33－2x＋2)＝150.解得x1＝10，x2＝.当x＝10时，33－2x＋2＝15＜18，符合题意．当x＝时，33－2x＋2＝20＞18(不合题意，舍去). 答：鸡场的长为15 m，宽为10 m； (2)假设能达到200 m2.设垂直于墙的一边长为y m．根据题意，得y(33－2y＋2)＝200.整理，得2y2－35y＋200＝0.∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，∴此方程无解．∴围成鸡场的面积不可能达到200 m2. 命题角度4　列一元二次方程解决运动型问题 运动型问题一般根据“路程＝速度×时间”求出图形中相应边的长度，再列方程解决问题． 【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝30 cm，AC＝40 cm，点P从点C开始沿CA边以4 cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q从点C开始沿CB边以3 cm/s的速度向点B移动，几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ 解：设x s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP＝4x cm，CQ＝3x cm.根据题意，得×3x×4x＝×30×40×.解得x1＝5，x2＝－5(不符合题意，舍去). 答：5 s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的. 高效课堂　教学设计 1．掌握用面积法建立一元二次方程的数学模型的方法，并运用它解决实际问题． 2．进一步掌握通过探究等量关系，列出一元二次方程解决实际问题的能力． ▲重点 列一元二次方程解决几何图形的面积问题． ▲难点 将不规则图形分割或组合成规则图形，动点问题． ◆活动1　新课导入 1．提出问题： (1)直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式又是什么？ (2)正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式又是什么？ (3)梯形的面积公式是什么？ (4)菱形的面积公式是什么？ (5)平行四边形的面积公式是什么？ (6)圆的面积公式是什么？ 2．如图，(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__24_cm2__，高是__2_cm__，体积是__48_cm3__． (2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__(10－2x)(8－2x)cm2__，高是__x_cm__，体积是__x(10－2x)(8－2x)cm3__． ◆活动2　探究新知 教材P21　思考． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．直接利用面积公式列一元二次方程解决问题时，要熟记各种常见几何图形的面积公式． 2．对于不规则图形的面积或周长问题，一般通过平移、割补等方法转化为规则图形，然后列方程求解，和周长有关的问题中，平移或割补之后注意边是否存在重复或遗漏． ◆活动4　例题与练习 例1　有一根10 m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为6 m2的矩形？请求出这个矩形的长和宽．(用一元二次方程的知识解决) 解：设围成的矩形的长为x m，则宽为(5－x)m. 根据题意，得x(5－x)＝6.解得x1＝2，x2＝3. 此时5－x＝3或5－x＝2. 答：这个矩形的长为3 m，宽为2 m． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2? 解：设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2，则AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.根据题意，得×(6－x)×2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同时出发，2 s或4 s后可使△PCQ的面积为8 cm2. 练习 1．教材P24　习题25.3第6，7，8题． 2．在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是 (　B　) A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0 C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0 ◆活动5　课堂小结 1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系． 2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验． 1．作业布置 (1)教材P28　复习题25第9题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　传播与平均增长(下降)率问题 教师备课　素材示例 ●情景导入　一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ ①第一轮感染了多少台电脑？__x台__ ②第一轮后共有多少台电脑被感染？__(x＋1)台__ ③第二轮感染了多少台电脑？__(x＋1)x台__ ④第二轮后共有多少台电脑被感染？__(1＋x)2台__ ⑤列出方程．__(1＋x)2＝81__ 【教学与建议】教学：通过教师提出问题，引导学生对问题进行深入探讨，最终找出题目中的等量关系．建议：教师可针对此问题一步步引导学生思考并解决． ●复习导入　1.解一元二次方程有哪些方法？怎样选择恰当的方法解方程？ 2．俗话说：“一传十，十传百”．疾病的传染相当迅猛，若每人每轮的传播速度相同，试完善下列表格． 开始生病的人数 1 1 第一轮传染的人数 10 X 第一轮传染后 生病的总人数 __1＋10__ __1＋x__ 第二轮传染的人数 __(1＋10)×10__ __(1＋x)x__ 第二轮传染后 生病的总人数 (1＋10)＋(1＋10)× 10＝__(1＋10)2__ (1＋x)＋(1＋x)x＝ __(1＋x)2__ 第三轮传染的人数 __(1＋10)2×10__ __(1＋x)2x__ 第三轮传染后 生病的总人数 (1＋10)2＋(1＋10)2× 10＝__(1＋10)3__ (1＋x)2＋(1＋x)2x＝ __(1＋x)3__ … … … 　　3.列方程解应用题的步骤有哪些？ 【教学与建议】教学：本节重在建立数学模型，列方程解决问题，所以只需简单复习一下一元二次方程的解法，为本节构造一元二次方程模型的学习奠定基础．建议：类比用一元一次方程(组)解应用题的学习方法来学习本节内容． 命题角度1　传播与裂变问题 常见类型包括细胞分裂、信息传播、疾病传染等． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(1)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 (C) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)若有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，则每轮传染中平均每人传染了__10__个人． 命题角度2　平均增长(下降)率问题 增长率问题常见等量关系：①原产量＋增产量＝现在的产量；②单位时间增产量＝原产量×增长率；③现在产量＝原产量×(1＋增长率)；④现在的产量＝原产量×(1＋x)n.x表示增长率，n表示增长次数． 【例2】(1)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为 (A) A．1 000(1＋x)2＝1 000＋440 B．1 000(1＋x)2＝440 C．440(1＋x)2＝1 000 D．1 000(1＋2x)＝1 000＋440 (2)某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到252元．若第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍．设第一次降价的百分率为x，则可列出关于x的方程为__350(1－x)(1－2x)＝252__． 方程在海湾战争中的应用 1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染．满天烟尘，阳光不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态与经济后果．五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果．这对美国军方计划海湾战争起了一定的作用，所以有人说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(原子弹)，而海湾战争是数学战争．” 高效课堂　教学设计 1．会列出一元二次方程解决传播、平均增长(下降)率问题，学会将实际问题转化为数学问题． 2．经过“问题情境——建立模型——求解——解答与应用”的过程，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ▲重点 列一元二次方程解决传播、平均增长(下降)率等问题． ▲难点 找出传播、平均增长(下降)率等问题中的等量关系． ◆活动1　新课导入 填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有__6__个人患了流感，第二轮过后共有__36__个人患了流感． 我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的吗？ ◆活动2　探究新知 1．教材P21　探究1. 提出问题： (1)本题中有哪些等量关系？如何理解两轮传染？ (2)若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有____人患了流感；第二轮后共有________人患了流感； (3)本题中的等量关系是什么？请列出方程； (4)请将所列出的方程进行化简并求解，为什么负值要舍去？ 学生完成并交流展示． 2．教材P22　思考． 提出问题： (1)上述问题中如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？ (2)通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？ 3．教材P22　探究2. 提出问题： (1)甲种食品成本的年平均下降额与乙种食品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？ (2)若设甲种食品的年平均下降率为x，则一年后甲种食品的成本为多少元？两年后甲种食品的成本为多少元？你能列出相应的方程并求出问题的解吗？ (3)解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦，实际上我们可以用直接开平方法来解．怎么用直接开平方法来解？ 4．教材P22　思考． 5．某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求年平均增长率． 提出问题：它与探究2有什么不同？ 学生完成并交流展示． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动3　知识归纳 1．若原有a个传染源，每轮每个传染x人，传染n轮后的总人数为a(1＋x)n. 2．解决增长率与下降率问题的公式：a(1±x)n＝b，其中a是__变化前的量__，x为__平均增长率或平均下降率__，n为增长(或下降)的次数，b为增长(或下降)后的量． ◆活动4　例题与练习 例1　某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支． 依题意可列方程1＋x＋x2＝91. 解这个方程，得x1＝9，x2＝－10(不合题意，舍去). 答：每个支干长出9个小分支． 例2　某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为多少？经调查，该商品每降价0.2元，每月可多销售10件．若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品多少件？ 解：设降价率为x.由题意，得40(1－x)2＝32.4，解得x1＝1.9(舍去)，x2＝0.1＝10%.即降价率为10%.两次调价后每月可销售商品的数量为500＋10×＝880(件). 练习 1．教材P24　习题25.3第4题． 2．某人患有甲型H3N2流感，经过两轮传染后共有36个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则根据题意可列方程为__(1＋x)2＝36__． ◆活动5　课堂小结 1．“传播问题”的两种模型： ①传染源参与两轮传染；②传染源只参与第一轮传染． 2．总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、答，最后还要检验根是否符合实际意义． 1．作业布置 (1)教材P28　复习题25第10，11题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第3课时　循环、数字与销售问题 教师备课　素材示例 ●情景导入　同学们，咱们学校马上要举办足球“主客场双循环联赛”啦——每两支球队要在主场、客场各踢1场比赛．比如七(1)班和(2)班，既要在(1)班的场地踢，也要去(2)班的场地踢．昨天体育委员说：“要是有5支球队参赛，我算出来总共有20场比赛！”你们觉得他算对了吗？(停顿，等学生计算)对啦，5支球队的话，总场数是5×4＝20场，这个公式“n(n－1)”就是双循环比赛的场次计算方法。 那如果有人说“这次联赛总场数是300场”，这个数合理吗？今天咱们就用一元二次方程来揭秘这个问题的答案． 【教学与建议】教学：以实际问题为背景导入，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学的应用价值．建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望． ●置疑导入　1.主客场双循环和我们平时踢的单场友谊赛有什么不一样？ 2．如果有3支球队进行双循环比赛，每两队踢2场，大家算一算一共要踢多少场？ 3．如果有n支球队，你能不能试着推导一下双循环的总场次公式？ 【教学与建议】教学：引导学生思考循环比赛场次的计算逻辑，讲解双循环场次的建模方法，并结合一元二次方程求解与实际意义验证，让学生掌握“实际问题→数学建模→求解验证”的解题思路．建议：采用提问学生的方式进行，通过“猜想→追问→验证”的互动，引导学生自主发现“球队数需为正整数”的实际约束，强化对解的合理性判断． 命题角度1　循环问题 注意单循环问题和双循环问题的区别与联系． 【例1】(1)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是 (A) A．x(x－1)＝45 B．x(x＋1)＝45 C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45 (2)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1 640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 (D) A．x(x－1)＝1 640 B．x(x＋1)＝1 640 C．2x(x＋1)＝1 640 D．x(x－1)＝1 640 命题角度2　数字问题 常见类型有整数的和差倍分，列一元二次方程来求解． 【例2】有一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位上的数字的平方正好等于这个两位数，求这个两位数． 解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3). 根据题意，得x2＝x＋10(x－3). 解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，x－3＝2.当x＝6时，x－3＝3. 答：这个两位数是25或36. 命题角度3　商品营销问题 销售问题中常见的等量关系：①利润＝售价－进价(成本)；②总利润＝每件商品的利润×总件数；③利润率＝×100%；④售价＝标价×＝进价×(1＋利润率)． 【例3】(1)某商品的进价为每件20元，当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需要降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天的销售利润为750元，每件商品应降价 (D) A．2元 B．2.5元 C．3元 D．5元 (2)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？ 解：设每件童装应降价x元．根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1 200.解得x1＝10，x2＝20. ∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x＝20，∴每件童装应定价为100－20＝80(元). 答：每件童装应定价80元． 欧拉帮忙算鸡蛋 一天，欧拉去买鸡蛋，卖鸡蛋的农妇看到了欧拉，便想要试试这个其貌不扬的学者的能力，当欧拉问到她们的鸡蛋数量的时候，她们说：“我们带着100枚鸡蛋来到集市，我们两人所带的鸡蛋数虽不同，但是卖得的钱数一样．” 第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板．” 第二个农妇回答：“但是如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得6个铜板．” 欧拉想了想说：“你(指着第一个农妇)有40枚鸡蛋，你(指着第二个农妇)有60枚鸡蛋．” 欧拉是这样想的：设第一个农妇带了x个鸡蛋，则第二个农妇带了(100－x)个鸡蛋，她们二人卖鸡蛋的单价分别为与，由于二人卖得的钱数相同，故有方程＝，整理，得x2＋160x－8 000＝0，解得x＝40或x＝－200(舍去). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 故第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋． 实际上，欧拉是利用方程的思想解决了这个实际问题，如果换成是你，是否会被这两个卖鸡蛋的妇人难住？ 高效课堂　教学设计 1．使学生会用列一元二次方程的方法解决有关循环等问题． 2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． ▲重点 列一元二次方程解决循环、数字、销售等问题． ▲难点 探究循环问题中的等量关系． ◆活动1　新课导入 用含x的代数式表示两个连续偶数(或奇数)__2x，2x＋2(或2x－1，2x＋1)__，表示三个连续整数__x－1，x，x＋1__；个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c的三位数是__100c＋10b＋a__；n个球队参加足球比赛，采用双循环制，主办方一共需要安排__n(n－1)__场比赛． ◆活动2　探究新知 教材P23　探究3. 提出问题： (1)双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行几场比赛？ (2)如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数是多少？ ◆活动3　知识归纳 循环问题分两种：对于n支队伍，单循环比赛的总场数为n(n－1)，双循环比赛的总场数为n(n－1). ◆活动4　例题与练习 例1　“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求共有多少支参赛队伍． 解：设共有x支参赛队伍． 依题意，得＝120.整理，得x2－x－240＝0. 解得x1＝16，x2＝－15(不合题意，舍去). 答：共有16支参赛队伍． 例2　两个数的和是14，积是33，求这两个数． 解：设其中一个数为x，则另一个数为14－x. 由题意，得x(14－x)＝33.整理，得x2－14x＋33＝0. 解得x1＝3，x2＝11.即这两个数分别为3，11.　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 练习 1．教材P24　习题25.3第3题． 2．若两个相邻正偶数的积是224，则这两个正偶数的和为 (B) A．16 B．30 C．32 D．34 3．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了2 450张卡片，求班级学生人数． 解：设班级学生人数为x人． 依题意，得x(x－1)＝2 450. 整理，得x2－x－2 450＝0. 解得x1＝50，x2＝－49(不合题意，舍去). 答：班级学生人数为50人． ◆活动5　课堂小结 1．一元二次方程在循环、数字等问题中的运用． 2．区分单循环与双循环的含义． 1．作业布置 (1)教材P27　复习题25第2，8题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $