命题大赛 2026届福建省高考数学自编模拟卷

2026年高考数学模拟试题 命题：兰鹏林洪华龙 审核：陈伟煌 注意事项： 1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上的无 效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中只有一项符合题意 1.已知集合UH1,2,3,4,5},集合A={1,2,4则C,A= () A.{3,5} B.{1,2,5} C.{5}D.{2,3,5} 2.已知复数z1+31 是虚数单位)，则复数z的共轭复数z () 2-i A7. 55 55 C.-1+Zj 55 3.设x∈R,则“|x-1K”是“x2-3x<0"的 () A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4函数)=2sn(or一爱X0>0的最小那个正周期是2，将图像上的个点左移兮个单位 2 得到函数g(X)的图像，则函数gx)图像的对称轴可以是 () Ax=3 B.x=1 C.x=2 3 D.x=π 5.已知圆C的半径是r(r≥V3),弦AB=2√5，则CA.AB= ( A.3 25 C.-6 D.无法计算 6.在三角形ABC中，角BAC的角平分线AD交BC于点D,AD=V6,BD=1,CD=2 则三角形ABC的面积是 B.32 36 A.7 D.35 4 2 第1页共5页 7.已知某班级男生、女生各占一半，男生中有60僖欢篮球，女生中有20僖欢篮球， 现从盖板随机抽取一人，已知抽到的人喜欢篮球，则此人是女生的概率为 () 1 1 1 A 5 B I D 4 8 8原创.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2 过AB作截面分别交PD,PC于M,N两点，则截面面积的最小值是 () 486 B.3 c.95 D.5f0 5 4 5 8 二、选择题：本题共三个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 () A若一组数据1,2,3,4,5的方差是s2,则数据11,12,13,14,15的方差是s2 B.两个随机变量线性相关，若相关系数「越接近1，则线性相关成度越弱 C已知随机变量5~N(4,o2),若P(5≤u+0.5)=0.6,则P(5≤4-0.5)=0.4 D在回归分析中，若决定系数R越接近1，则残差的平方和越大 10[原创.已知直线ax+2by=2ab(a>0,b>0)过函数f(x)=logm(2-x)+1图像的定点， (0且m≠1)，则下列结论正确的是 () 49+4也的最小值是2， B.2+4≥8 b a Ca+b的最小值是3+4v2 D.若b>1则1+2 25 a-1b-1 1[原创.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足 () (1)f1+x)=f1-x),(2)当x∈[0,1]时，f(x)=√x,则下列正确的有 A.f(x)是周期为4的函数 B.f(x)在的单调递增区间是[4k-1,4k+1],k∈Z C.函数y=f)在x=15处的切线方程是4x-4y-17=0D.方程f)lgx有5个实数根 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(2x+4)”展开式的二项式系数之和是64，常数项是160， 则展开式的第三项是 第2页共5页 E原创已知双曲线。，，Q>0,b>O,过右焦点P作一条浙近线的垂线，垂足是A 延长FA交另一条渐近线于点B,若|AF=2|FB,则双曲线的离心率e= 14原创.已知f(x)=xlnx-ax2+x有两个不同的正极值点x,x,且x<x2,若1c+2lnx2>m 恒成立，则实数m的最大值是 三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) 己知数列{an}满足a,=2,an=2am-+3×2"(n≥2) (①)求数列{an的通项公式a, (2)求数列{an}的前n项和S。 16.(15分) 某高中食堂推出营养套餐A、套餐B,为优化配餐，随机抽取100名学生进行套餐意向调查， 男生50人，女生50人，男生中有30人偏向套餐A,其余偏向套餐B;女生中有20人偏向套 餐A,其余偏向套餐B (1)从偏好套餐A的学生中按分层抽样抽取5人，在从5人中选3人，记X为选出男生的人数， 求X的分布列与期望 (2)若从所有学生中随机抽取3人，用频率估计概率，设Y是3人中偏好套餐A的人数，求 Y的分布列与方差 第3页共5页 17[原创].(15分) 已知四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AB//平面PCD, (1)求证四边形ABCD是平行四边形 (2)若PA=V6,AB=AD=PB=PD=2,∠BAD=60° (i)求证AC⊥平面PBD (i)E是AD上一点，当PE与平面PBC所成的角最大时，求二面角E-PCB的正弦值 18[原创].(17分) 已知瓶G兰+景=0>办0的左右售点分划是5，离心率是点且质过1乌 直线/与椭圆交于A,B两点，（AB非椭圆的顶点)，以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M (1)求椭圆的标准方程 (2)求证直线过定点，并求定点的坐标 (3)点Q满足0A+0B=00 (i)求Q点的轨迹方程C (i)若直线与C交于两点4，B,与C,交于两点CD,求4B的取值范围 CD 第4页共5页 19[原创].(17分) 己知函数f(x)=x-mx+1,在点x=2处的切线方程与y=9x平行 (1)求实数m的值 (2) (i)求证函数f(x)有3个零点 (的若函数/(w的三个零点x,,满足于x<为<x求证1+1=4sin X X3 18 第5页共5页Sheet1 2026福建省高考数学模拟试题双向细目表 题号 题型 分值 知识模块 具体考点 能力层级 难度预估 1 单选 5 集合与逻辑 集合补集运算 运算求解 易 2 单选 5 复数 1）复数四则运算； 2）共轭复数 运算求解 易 3 单选 5 1）常用逻辑用语 2)不等式 解不等式；充分/必要条件判定. 运算求解，逻辑推理 易 4 单选 5 三角函数 周期、平移、对称轴,图像性质 运算求解 中 5 单选 5 平面向量/圆 向量数量积、弦长、半径,几何应用 运算求解、数形结合 中 6 单选 5 解三角形 余弦定理、角平分线得性质、三角形的面积 运算求解、数形结合 7 单选 5 概率统计, 条件概率（贝叶斯） 运算求解 中 8 单选 5 立体几何 四棱锥、截面面积最值，函数与导数 逻辑推理 ，数学抽象 运算求解 难 9 多选 6 统计与概率 方差、相关系数、正态分布、 决定系数 数据分析，运算求解 易 10 多选 6 不等式 / 函数 对数定点、均值不等式、指数最值 逻辑推理，数学抽象 运算求解 中偏难 11 多选 6 函数性质 奇函数、周期、对称性、 单调区间，在点的切线方程 逻辑推理，数学抽象 运算求解 难 12 填空 5 排列组合 / 二项式 二项式系数和、常数项、通项 运算求解 易 13 填空 5 解析几何（双曲线） 渐近线、垂线、离心率，点线距离 两点间距离/二倍角正切 运算求解，数形结合 ， 中 14 填空 5 导数 / 不等式 极值点、对数均值、恒成立求最值 逻辑推理，数学抽象 运算求解 难 15 解答 13 数列 递推通项、等差 / 等比求和、错位相减求和 逻辑推理，运算求解 中 16 解答 15 概率统计 分层抽样、分布列、期望、方差、 二项分布，超几何分布 运算求解，数据分析 中 17 解答 15 立体几何 线面平行、平行四边形、线面垂直、 线面角，二面角（空间向量），最值 逻辑推理，运算求解 直观想象 中偏难 18 解答 17 解析几何（椭圆） 椭圆方程、定点问题、 消参数求轨迹，两点间的距离 逻辑推理，运算求解 难 19 解答 17 三角函数+函数与导数 切线斜率、零点存在定理，求零点的和与积 三角恒等变换，两角和差的正弦 运算求解，逻辑推理 难 $2026福建省高考模拟试题参考答案 一、 选择题： 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 答案 A B A D BD AC 二、 填空题： 12.60x2 13.6 14.-3 三、答案详解： 1.已知集合U{1,2,3,4,5},集合A{1,2,4则CuA= A.{3,5} B.{1,2,5} C.{5} D.{2,3,5} 正确答案A 2.已知复数z=1+31 （是虚数单位），则复数z的共轭复数z= 2-i A171 B.17 55 C17 D.1+7 55 5'5 55 正确答案B 解析：x1+302+0--1+7i1,7, 202+沙55+52= 55 第1页共21页 10 11 ABD ABC () () 3.设xeR,则|x-1k”是”x2-3x<0"的 () A充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 正确答案：A 解析：不等式x-1K1的解集(0,2) 不等式x2-3x<0的解集是(0,3) (0,2)c(0,3) 'x-1k”是”x2-3x<0"的充分不必要条件 4.函数f(w)=2sin(ox-o>0)的最小那个正周期是2，将f(y)图像上的个点左移！个单位 6 得到函数g()的图像，则函数g)图像的对称轴可以是 () Ax=号 C.x=3 1 B.x=1 D.x=π 正确答案：C 解析：f)=2sin(or-(o>0)的最小那个正周期是2.0=元 6 g-=2smx+3名1-2sn+g 由x+名-kr+受keZ得x=k+兮当k=0时得x- 第2页共21页 5.已知圆C的半径是r(r≥V3),弦AB=2V3,则CA·AB=() A.3 2W5 C.-6 D.无法计算 正确答案：C CA·AB=-AC·AB=-|AB‖4C|cos.∠BAC 4C|cos∠BAC=V3 CA.AB=-6 6.在三角形ABC中，角BAC的角平分线AD交BC于点D, AD=√6，BD=L,CD=2则三角形ABC的面积是() A.7 B.32 C.3v6 D.35 4 2 4 解析：cos∠ADC=AD+DC2-AC'10-AC 2AD.DC 4v6 COS LADB=AD+DC-AB7-AB 2AD.DC 26 .∠ADB+∠ADC=π 26+46=024-AC2-2AB=0 7-AB2,10-AC2 :AD是∠A的角平分线，AC=2AB 解得AB=2,AC=4 D cos∠BAC=4C2+AB2-BC211」 2AC·BC 6sin∠BAc=3V5 16 Sm4BACm∠aC=3 第3页共21页 7.已知某班级男生、女生各占一半，男生中有60僖欢篮球，女生中有20嘻欢篮球， 现从该班随机抽取一人，已知抽到的人喜欢篮球，则此人是女生的概率为 () A B c 8 正确答案：B 解析：记A="抽到男生”，则A="抽到女生”，B"该生喜欢篮球” P0=P团=5PB0-PB团=写 B=ABU AB,AB,AB互斥 .P(B)=P(AB)+P(AB)=P((B A)P(A)+P(B A)P(A)=0.4 P(AIB)=P(AB)_0.11 P(B)0.44 8.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2 过AB作截面分别交PD,PC于M,N两点，则截面面积的最小值是 48v5 3W2 B 9W5 D.5i0 5 4 C.5 8 正确答案D 解析：，AB/CD,ABt平面PCD,CDC平面PCD. ∴.AB//平面PCD, ABC平面ABMN,平面PCD∩平面ABMN=MN .AB//MN ,PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD .CD⊥PA .CD⊥AD CD∩AD=A,PD,ADC平面PAD .CD⊥平面PAD CD//MN ∴.MN⊥平面PAD AMc平面PAD, ∴.MN⊥AM 第4页共21页 .5wAB+MN)AM 设PM=1PD=2V2(0<1<1),.MN=2元 在△PAM中 AM2=PA+PM2-2PA·PM cos∠APM =4+822-8入 ∴.AM=2W222-2+1 1 .S4Bw=5(2+2)2N22-22+1=2(元+1)W22-22+1=2V(222-2+10元+1) 2 令f()=(2元2-21+10（元+1）2=224+2元3-入2+1(0<元<1) f'(2)=823+622-22=22(42-10(2+10 当元>时，f()>0,f()单调递增 4 当0<<时，f)<0,f)单调递减 5×25 5×255V10 8×16 ·.SABw≥2 8×16 8 9.下列说法正确的是 () A若一组数据1,2,3,4,5的方差是s2,则数据11,12,13,14,15的方差是s2 B两个随机变量线性相关，若相关系数r越接近1，则线性相关成度越弱. C已知随机变量5~N(4,o2),若P(5≤4+0.5)=0.6，则P(5≤4-0.5)=0.4. D.在回归分析中，若决定系数R越接近1，则残差的平方和越大 正确答案A.C 答案A:记X的取值是1,2,3,4,5，，则Y=X+10 ∴.CY)=C为，∴.A正确 答案B:两个随机变量相关系数越接近1，则相关性越强，.B错误 答案CP(5≤u+0,5)=P(5≤m)+Pu≤5≤u+0,5)=0.5+P(u≤5≤u+0,5)=0.6 P(u≤5≤u+0,5)=0.1,∴.P(-0,5≤5≤4)=0.1 P(5≤4-0.5)=P(5≤4)-P-0,5≤5≤4)=0.4，∴.C正确 答案D:决定系数R越接近L,说明拟合效果越好，残差的平方和就越小，.D错误 因此：正确答案A,C 第5页共21页 10.已知直线ax+2by=2ab(a>0,b>0)过函数f(x)=logm(2-x)+1图像的定点，(（m0且m≠1) 则下列结论正确的是 () 4“+4b的最小值是2， B.2+4≥8 b a Ca+的最小值是3+4v2 2 D.若b>1则1+2 5 a-1b-1 正确答案：A.B.D 解析：：f(x)=logm(2-x)+1图像恒过定点(1,1) a+2h=2ab,2+62a>1b>岁 答案A a 4b 。4b>0,.+。226元 b a =4,当a=2b时等号成立，即b-1,a=2时等号成立 +b的最小值时4,4正确 b a 答案B .a+2b≥2W2ab,(当a=2b时等号成立)∴.2W2ab≤2ab,解得2ab≥4 2°+4=2°+22b≥2V2*2b=2√22b≥8，当b=1,a=2时等号成立，.B正确 答案C 2(a+b)=2+Xa+b)=3+2+≥3+22b.-3+22 a b a b Va b 当a=26,即6=2+1。 2一a=1+Y之时等号成立 2 22C错误 ab≥3+2V2 答案D .a+2b=2ab,.2ab-2b-a=0,∴.2b(a-1)-(a-1)=1,.(a-1)2b-1)=1 =2b-1+2=2b-1+2=20-0+2 +1 a-1 a-1b-1 b-1 b-1 b>l6-026-+2+le226-061-=5 当2=26-1，即b2时等号成立，D正确 b-1 第6页共21页 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足 () (①)f1+x)=f1-x),(2)当x∈[0,1时，f(x)=√x,则下列正确的有 A.f(x)是周期为4的函数 B.f(x)在的单调递增区间是[4k-1,4k+1],k∈Z C.函数y=x在x=5处的切线方程是4r-4y-17=0D.方程f)lgx有5个实数根 正确答案ABC 答案A .f(1+x)=f(1-x) ∴.函数f(x)关于直线x=1对称 :f(x)是奇函数 ∴.f(-x)=-f(x) ∴.f(1+x)f(1-x) 将x换成1+x得 f(2+x)=f(-x)=-f(x) 将x换成2+x得f(4+x)=-f(2+x) ∴.f(x)=f(4+x) ∴.函数f(x)的周期是4，A正确 对于答案B: √x(0≤x≤1) 由已知得f(x)= -√-x(-1≤x≤0) ∴f(x)在[-1,1]单调递增 :f(x)的周期是4 ∴.f(x)的单调递增区间是[4k-1,4k+1]k∈Z,B正确 对于答案C 当-1≤x≤0时，f')=2 f'(x+4)=f'(x) 月=4-导=f-=学=4守==2 函数在x-5处的切线方程是：y+片x-即4-)-7=0，C正确 4 答案D 由函数f()的图像知方程有6个实数根 第7页共21页 y=f(x) 12.已知(2x+4)”展开式的二项式系数之和是64，常数项是160， 则展开式的第三项是 解析：由已知得2”=64，.n=6 .(2x+9)”展开式的通项公式式T41=2a-*Ckx6-2 .当k=3时是常数项 .2a3C63=160,.a=1 .T241=2C62x2=60x2 13.已知双曲线y a b =1(a>0,b>0),过右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足是A 延长FA交另一条渐近线于点B,若|AF=2FBL,则双曲线的离心率= 直线L:bx-y=0,F(c,0) ∴.点F到直线的距离d=一 bc =b 2+b2 A=bOFe..04=a,AB ∴tan∠0FA=g,tan∠AOB=b 6】 a .∠AOB=2∠OFA 2tan∠OFA2abb .∴.tan2∠OFA= 1-tan2∠0FAb2-a2a b2 6=502,离心率小：答-6 14.已知f(x)=xlnx-ax2+x有两个不同的正极值点x,x2 且x,<x2,若|nx+2lnx2>m恒成立，则实数m的最大值是 第8页共21页 解析：f(x)=xnx-ar2+x(x>0) f'(x)=Inx-2ax+2 x,x是函数f(x)的极值点 ∴.x,x,是方程lnx-2ax+2=0的两个实数根 .'Inx 2ax -2,In x,2ax,-2, Inx -In x2 =2a(x-x2) 2a=血x-l血五，令1=五(0<1<1，x=压， X1-X2 X2 Int Int .∴.2a= x2(t-1) .2,=-0 Inx +2Inx2 2ax +4ax,-6=2atx,+4ax,-6 =2ax,u+2)-6=+2)1nt-6 (t-1) 令f0=《+2lnt-60<1<D (t-1) nt++20-)-+2nt-lnt+1-2+1 f'(t)= (t-1)2 (t-1)2 2 令g(t)=-lnt+t-二+1(0<t<1) g0=21-2-扩+0 ∴g(t)在(0,1)单调递增，∴gt)<g(①)=0 .当0<t<1时，f(t)<0 f0=+2n-6在0,1)单调递减 (t-1) .lnt≤t-l,当t=l时等号成立 2nt-6> (t-1)=t+2-6 …t-1 t-1 当→时nr-6→42-6=-3 ∴.f(t)的值域是(-3，+oo) .'miax =-3 15.己知数列{an}满足a1=2,an=2am-1+3×2”(n≥2) (I)求数列{an的通项公式a (2)求数列{an的前n项和S 第9页共21页 解(1)由an=2am-1+3×2”(n≥2)得 0n-0m=3…2分 2”2n-1 a1=2 数列}是以1为首项，3为公差的等差数列…4分 0=1+(n-10x3=3n-2…5分 2n .an=(3n-2)2”.…6分 .Sn=a1+a2+a3+…+an .Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)×2”…(1)…7分 将(1)×2得 2S= 1×22+4×23+…+(3n-5)×2”+(3n-2)×2m1…(2)…9分 由（①）-(2)得 -Sn=2+3(22+23+…+2)-(3n-2)×2m+1.…11分 =2+3×22(2-1-1）-(3n-2)×2*1 =-10-(3n-5)×2m+1.…12分 .Sn=(3n-5)×2m+1+10…13分 16.某高中食堂推出营养套餐A、套餐B,为优化配餐，随机抽取100名学生进行套餐意向调 查，男生50人，女生50人，男生中有30人偏向套餐A,其余偏向套餐B;女生中有20人偏 向套餐A,其余偏向套餐B (1)从偏好套餐A的学生中按分层抽样抽取5人，在从5人中选3人，记X为选出男生的人数， 求X的分布列与期望 (2)若从所有学生中随机抽取3人，用频率估计概率，设Y是3人中偏好套餐A的人数，求 Y的分布列与方差 第10页共21页 解：(1)偏向套餐A的学生共50人，按分层抽样抽取5人 “抽样比K=5=1 …1分 5010 .从偏向套餐的男生应抽取30k=3人…2分 从偏向套餐的女生应抽取20k=2人…3分 X的所有取值是1,2,3 C310PX=2)=C2G16 PX=)=C1C23 PX=3)=C3-C01 …5分 C3310 C,310 所以X的分布列是 X 1 2 3 p 3/10 3/5 1/10 …6分 .数学期望EX=1× 3 6 19 +2× +3× …7分 10 10 105 (2)用频率估计概率…8分 从所有学生任意抽取一人，抽到偏好套餐A的同学的概率P= 2…9分 .Y服从二项分布 即Y~B3,210分 Y的所有取值是01,2,3 Pr==c0r-AY=)=G分- P=2)=C2x-0=)-C3x= …3分 8 所以Y的分布列是 0 1 2 3 p 1/8 3/8 3/8 1/8 …14分 第11页共21页 方差DY=3x1-=3 1、3 4…15分 17.已知四棱锥P-ABCD中，AD/BC,AB//平面PCD, (1)求证四边形ABCD是平行四边形 (2)若PA=PC=V6,AB=AD=PB=PD=2,∠BAD=60° E是AD上一点，当PE与平面PBC所成的角最大时， 求二面角E-PCB的正切值 解法1 证明(1) .AB//平面PCD ABC平面ABCD 平面ABCD∩平面PCD=CD .AB/CD…1分 又因为AD//BC…2分 .四边形ABCD是平行四边形…3分 第12页共21页 P ! C B 解(2) AD //BC AD丈平面PBC BCC平面PBC .AD//平面PBC ∴，AD上任意一点到平面PBC的距离相等，不妨设为d 设PE与平面PBC所成角是0…4分 d ∴.sin0= …5分 PE y=sinx在(0，元)单调递增 ∴.0最大÷sin0最大 .PE最小，.PE⊥AD…6分 在APAD中得PE= ,ED=I 2 ∴.当E是AD的四等分点（近D时，PE与平面PBC所成角最大 过E作EHL BC交BC于H连接PE,PH…8分 第13页共21页 …7分 .·PE⊥ADAD/BC ∴PE⊥BC,.BC⊥EH PE∩EH=E,PEc平面PEH,EHc平面PEH ∴.BC⊥平面PEH BCC平面PBC .平面PBC⊥平面PEH.9分 平面PBC∩平面PEH=PH 过E作EO⊥PH交PH于O…10分 EOC平面PEH ∴.EO⊥平面PBC 过O作CF⊥PC交PC于点F,连接EF .·PCc平面PBC,∴.EO⊥PC OF∩EO=O,EO,OFc平面EOF ∴.PC⊥平面EOF EFC平面EOF .EF⊥PC .∠EFO是二面角E-PC-B的平面角…12分 在APEH中PE=PH= ,EH=5, 过P作PG⊥EH .PG=3...PG.EH PH.EO 6 EO=- ，…13分 15 P02=PE2-E02,P0 315 10 .△PFO~△PHC 315 PO OF 10 3:0F=95 O PCCH’V6 20W6 2 ∴.tan∠EFO= E0620w68√6 …14分 OFV15915 9 二面角E-PC-的正切值是8、6 …15分 第14页共21页 G 解法2： (1)同解法1 (2) 连接BD,AC,BD∩AC=O,连接PO,0是AC,BD的中点 'AB=AD=2,∠BAD=60° PB=PD=AB=BD=2 ∴△PBD是正三角形 .P0=5 在△POA中，POOA√3，PA=√6 .PO2+042=PA2 .PO⊥OA 在APOD中，PC√3，OD=1,PD=2 PO2+OD2=PD2, PO⊥OD OAC平面ABCD,ODC平面ABCD OA∩OD=O .PO⊥平面ABCD 以OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图所示)… A(V3,0,0),B(0,1,0),C(-V3,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,V3) CP=(3,0,3),CB=(5,1,0) 设平面PBC的一个法向量u=(x,y,z) N3x+V5z=0取x=1得 “V3x+y=0 u=么，-V3,-1）…6分 设AE=元AD,:PE=PA+AE=(N3,0,-5)+(-3元，-元，0)=(5 设直线PE与平面PBC所成的角是 第15页共21页 P C B C A …5分 √5，-，-5) PE.u 2V3 sina= .7分 1 PEllul5V422-62+6 3 ∴.当2=二时，422-62+6取得最小值 当元=3时，sin取得最大值…9分 .∈[0.90]，.a取得最大值…10分 正-50 4，-41 设平面EPC的一个法向量v=(x,y,z) 3x+3z=0 5v3.3 x=V3,得 4 x-4y=0 y=(W3,5,-√3)…12分 设二面角E-PC-B的平面角是0<0<90) C0s0=|4y 3W5 |u5×3,…13分 sin=v1-cos20=- 82 …14分 5×V31 .tano=sine8v2 8/6 …15分 cose 33 9 8配知椭圆C+Ka>b>0的左石焦点分别是F,离心率是2 y2 且箱圆过(1号 直线与椭圆交于A,B两点，（AB非椭圆的顶点)，以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M 第16页共21页 (1)求椭圆的标准方程 (2)求证直线过定点，并求定点的坐标 (3)点0满足0A+0B=00. (i)求Q点的轨迹方程C. (i)若直线与C交于两点4，B,与C,交于两点CD,求1B的取值范围 CD 解：0肉心率e=名号a=c除 a2=b2+c2,∴.b=c “椭圆的方程是 =1…2分 1 椭圆过点(1) 2b2b2 =1, .b2=1,a2=2…3分 椭圆的方程是号+少=14份 2 (2)由)知，右顶点MV2,0) 设直线l:x=my+n,A(x,片)，B(x2,y2) 联立+2y-2=0整理得：《m2+2y2+2my+m2-2=0 x=my+n △=(2mn)2-4(m2+2)n2-2)=8(m2-n2+2)>0 y+为=-2mn n2-2 m2+24%=m+2 …5分 .右顶点M在以AB为直径的圆上 ∴.MA⊥MB,.∴MA·MB=0 即(x-√2)(2-√2)+yy2=0…6分 (my,+n-2)((my2+n-v2)+yy=0 整理得：（(m+1)y⅓2+m(n-V2)y+2)+(n-√2)2=0…7分 第17页共21页 .(m+1)(n2-2)-2m2n(n-√2)+(n-V2)2(m2+2)=0 整理得：3n-4V2n+2=0 解得n=V2或=2 …8分 3 .直线不过左右顶点 :ns② 3 直线过定点点( 3,0小9分 (3)i) 联立 x=my+- 3得9(m2+2)+6V2my-16=0 x2+2y2-2=0 2√2m 30m2+2)+5= 22m2,2√24V2 ∴y+y2= 3(m2+2)33(m2+2) 00=0A+0B=(x+x,y+y2) 设Qx,y),∴.x 4V2 2v2m 3m2+2)y= 3(m2+2) 上--2v2m 4V2…ms-2y …11分 9x-V 3x42+2r2,整理得 4V2 X= 3 2 -+9y2=1(x≠0) ∴.Q的轨迹方程是 3 +9y2=1(x≠0)… (m14AB=y0+m△_2V20+m2X9m2+16 9(m2+2) 3(m2+2) 第18页共21页 EI. 0… x=my+ ② 联立 3 得y=t2 …13分 9x-2y+18y20 3Vm2+2 设直线的倾斜角是a(a≠90°，且a≠0 ∴.tana=-,sina= √m2+1 CD2 lyl_ V2Vm2+1 …14分 sina 3Vm2+2 :. 22V0+m2)9m2+163Nm2+2 9m2+16 CD 3(m2+2) 2W2Vm2+1 m2+2 9(m2+2)-2 2 …15分 m2+2 m2+2 22<AB1 <3 CD 当m=0时，直线l:x= ,符合愿意…16分 3 :4B的取值范围是[22,3》…17分 CDI [原创试题]已知函数f()=x-x+1,在点x=2处的切线方程与y=9x平行 (1)求实数m的值 (2) ()求证函数f(x)有3个零点，并求出这三个零点 (如函数/x)的3个零点满足x<6<x,求证1+1=4sin' X X3 18 解：（1)函数f(x)的定义域是R f(x)=3x2-mx…1分 :f(x)=x3-mx+1,在点x=2处的切线方程与y=9x平行 f(2)=12-m=9…2分 .m=3…3分 (2) (i)由(1)得f(x)=x3-3x+1(x∈R)f'(x)=3x2-3 第19页共21页 当x>1或x<-1时，f'(x)>0 当-1<x<1时，f'(x)<0 ∴f(x)的单调递增区间是(-∞，-1)，（1，+o) 单调递减区间是(-1,1)…4分 ∴.f(x)的极大值是f(-1)=3>0,f(x)的极小值是f(I)=-1<0 f(-2)=-1<0,f(2)=3>0 f(x)在(-2，-1)递增，且f(-2)f(-1)<0,…5分 函数f(x)在（-2，-1)有唯一零点…6分 :f(x)在(-1,1)递减，且f(-1)·f(I)<0, 函数f(x)在（-1,1)有唯一零点…7分 :f(x)在(1,2)递增，且f(2)·f(1)<0, ∴.函数f(x)在（1,2)有唯一零点 函数f(x)有3个零点，…8分 (i)由(i)得-2<x<x2<x3<2 -1<左<点<5<19分 222 段：=Sin(-T<a<x=2sna…10吩 2 2 8sin3a-6sina=-1 1 (4sin3a-3sina)=-。…11分 2 .(3sina-3sina+sina)=-3sin a cos2 a+sin a sin2a 1 =-2sin a cos2 a-sina(cos2a-sin2a)=- 2 1 .'.-sin 2a cosa-cos 2a sina =-sin 3a = 2 1 .sin30=二…12分 2 <a<-3<3a< 3π 2 2 2 2 3a=-7见，或3=或3a-57a=-7g或u=或a- 5π …13分 6 6 6 18 18 18 第20页共21页 7π ∴x=-2sin 1g,x2=2sin。,x3=2si0○2 18 函数f的零点是-2si7江，2sin,2sin5g…14分 18 181 18 x1<X2<x3 18,-2sin5z =-2sin Ia 18 5π +11 1 2sin 7z-2sin 2sin(2+及)-sin(交-】 18 18 618618.…15分 x1x2sin￥ n 2sin 7 18 4sin 7π 5π 2π。4π .sin- 4cos -cOS 18 18 18 18 18 2sinπ 2sinπ. 2π 2sinπ. 2π sln …Sln 18 1818 1818=4sin2 …16分 2π。4π 2π 2π4π π 18 4cos- -coS- 4sin cos 18 18 18 18 coS coS 18 18 1.1 +。=4sin2元. …17分 x X3 18 第21页共21页