第二周 第1天充分条件与必要条件暑假自学配套同步分层练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习，以“充分条件与必要条件”为核心，通过青铜局、黄金局、王者局三级递进设计，实现从基础概念辨析到综合论证的知识巩固，适配自学梯度需求，培养数学推理与表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|充分/必要条件基本概念、简单判断|单选与多选结合，如第1题辨析充分条件，夯实基础概念| |黄金局|与集合、方程结合的综合应用|含集合关系（第13题）、参数范围（第14题），提升知识迁移能力| |王者局|逻辑推理与证明|有限集合card运算（第15题）、充要条件证明（第16题），发展论证思维|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第二周 第1天 充分条件与必要条件 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： 答案　A 解析　根据充分条件的概念逐一判断， 只有ab≠0⇒a≠0. 2.使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 答案　A 解析　只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出. 3.已知a∈N*，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案　A 解析　若a=3，则a与8的最小公倍数是24；若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件. 4.(多选)若“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，则实数a的值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　CD 解析　因为“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，所以a>3. 结合选项实数a的值可以是4，5. 5.(多选)下列命题中为假命题的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件 答案　ABD 解析　对于A，不妨设a=0>b=-1，但此时有a2=0<b2=1，所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题；对于B，不妨设a=-1，b=0，此时有a2=1>b2=0，但a<b，所以“a>b”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题；对于C，由无理数的定义可知“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题；对于D，由x2+2x-3=0可以推出x=-3或x=1，所以“x=1”不是“x2+2x-3=0”的必要条件，故D为假命题. 6.(多选)若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是(　　) A.m>0 B.-2<m<1 C.m>-4 D.1≤m<2 答案　AC 解析　方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则其判别式Δ≤0，即4-4m≤0，解得m≥1，结合选项可知，选项A和选项C正确. 7.设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的一个充分条件是(　　) A.x+y=2 B.x+y>2 C.x2+y2>2 D.xy>1 答案　B 解析　对于选项A，当x=1，y=1时，满足x+y=2，但p不成立；对于选项C，D，当x=-2，y=-3时，满足x2+y2>2，xy>1，但p不成立，也不符合题意. 8.(5分)设A，B是两个非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的　　　　　　　条件(填“充分”“必要”). 答案　必要 解析　由A∩B=A，得A⊆B，但推不出A=B，因此“A∩B=A”不是“A=B”的充分条件； 反过来，由A=B，得A⊆B，能推出A∩B=A，因此“A∩B=A”是“A=B”的必要条件. 9.(5分)已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　. 答案　{a|a≤-9} 解析　∵p是q的必要条件，∴q⇒p， ∴解得a≤-9. 10.(9分)下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a2+b2=0，q：a+b=0；(3分) (2)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.(6分) 解　(1)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0， a+b=0⇏a2+b2=0，∴p是q的充分条件. (2)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0， 而(x-1)(y-2)=0⇏(x-1)2+(y-2)2=0，∴p是q的充分条件. 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)使ab>0成立的充分条件可以是(　　) A.a>0，b>0 B.a+b>0 C.a<0，b<0 D.a>1，b>1 答案　ACD 解析　因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件. 12.(多选)下列各题中，p是q的必要条件的是(　　) A.p：两个三角形全等，q：两个三角形相似 B.p：x>5，q：x>10 C.p：ac=bc，q：a=b D.p：0<x<5，q：|x-1|<1 答案　BCD 解析　A选项，两个三角形相似未必全等，故p不是q的必要条件；B选项，当x>10时，x>5恒成立，即满足p是q的必要条件；C选项，若a=b，则ac=bc成立，即p是q的必要条件；D选项，若|x-1|<1，则0<x<2，满足p是q的必要条件. 13.(5分)已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 答案　{m|m≥-3} 解析　由已知可得A={y|y=(x-1)2+3，x∈R}={y|y≥3}，B={x|x≥-m}.因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以-m≤3，即m≥-3，所以实数m的取值范围是{m|m≥-3}. 14.(10分)设集合A={x||x|≤3}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R. (1)若集合B是空集，求a的取值范围；(4分) (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.(6分) 解　(1)因为集合B是空集，所以2-a>1+2a， 解得a<所以a的取值范围为. (2)A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}. “x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集， 则集合B不是空集，2-a≤1+2a，解得a≥. 又解得a≥5， 故a的取值范围为{a|a≥5}. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)，设P，Q都为有限集合，则下列命题中是真命题的是(　　) A.P∩Q=∅是card(P∪Q)=card(P)+card(Q)的充分条件 B.card(P)≤card(Q)是P⊆Q的必要条件 C.card(P)≤card(Q)是P不是Q的子集的充分条件 D.card(P)=card(Q)是P=Q的必要条件 答案　ABD 解析　对于A，若P∩Q=∅，则集合P与集合Q没有公共元素，所以card(P∪Q)=card(P)+card(Q)，故A正确； 对于B，若P⊆Q，则集合P中的元素都是集合Q中的元素，则card(P)≤card(Q)，故B正确； 对于C，由card(P)≤card(Q)无法得到P不是Q的子集，故C错误； 对于D，当P=Q时，集合P中的元素与集合Q中的元素完全相同，则card(P)=card(Q)，故D正确. 16.(10分) 已知a，b是实数，求证：a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.该条件是否为必要条件？试证明你的结论. 证明　因为a2-b2=1， 所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1. 即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件. a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，证明如下： 若a4-b4-2b2=1， 则a4-(b4+2b2+1)=0，即a4-(b2+1)2=0， 即(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0. 又a2+b2+1≠0，所以a2-b2-1=0， 即a2-b2=1. 因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第二周 第1天 充分条件与必要条件 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： 2.使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 3.已知a∈N*，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 4.(多选)若“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，则实数a的值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5.(多选)下列命题中为假命题的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件 6.(多选)若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是(　　) A.m>0 B.-2<m<1 C.m>-4 D.1≤m<2 7.设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的一个充分条件是(　　) A.x+y=2 B.x+y>2 C.x2+y2>2 D.xy>1 8.(5分)设A，B是两个非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的　　　　　　　条件(填“充分”“必要”). 9.(5分)已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　. 10.(9分)下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a2+b2=0，q：a+b=0；(3分) (2)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.(6分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)使ab>0成立的充分条件可以是(　　) A.a>0，b>0 B.a+b>0 C.a<0，b<0 D.a>1，b>1 12.(多选)下列各题中，p是q的必要条件的是(　　) A.p：两个三角形全等，q：两个三角形相似 B.p：x>5，q：x>10 C.p：ac=bc，q：a=b D.p：0<x<5，q：|x-1|<1 13.(5分)已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 14.(10分)设集合A={x||x|≤3}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R. (1)若集合B是空集，求a的取值范围；(4分) (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)，设P，Q都为有限集合，则下列命题中是真命题的是(　　) A.P∩Q=∅是card(P∪Q)=card(P)+card(Q)的充分条件 B.card(P)≤card(Q)是P⊆Q的必要条件 C.card(P)≤card(Q)是P不是Q的子集的充分条件 D.card(P)=card(Q)是P=Q的必要条件 16.(10分) 已知a，b是实数，求证：a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.该条件是否为必要条件？试证明你的结论. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $