湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一下学期期末数学模拟卷

**基本信息** 雅礼中学高一下期末数学模拟卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过基础题巩固概念，创新题（如伴随函数定义）与真实情境（社区出行统计）考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合关系、概率独立互斥、立体几何二面角|基础概念辨析，如第5题结合n值判断事件关系，体现推理意识| |填空题|3题/15分|方程根分布、方差计算、向量模最值|多知识点综合，如第13题结合平均数方差考查数据观念| |解答题|5题/77分|组合体表面积体积、统计与概率、新定义伴随函数|分层设计，如19题新定义探究，考查创新意识；16题社区出行统计，体现应用意识|

长沙市雅礼中学2026年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 4．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件和事件独立 C．当时，事件和事件独立 D．当时，事件和事件互斥 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（   ） A．4 B．6 C． D． 7．若，，则 （    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（为虚数单位），，为复数，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的最小值为 C．若在内无零点，则的取值范围为 D．若在内单调递减，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 13．已知个数的平均数为，方差为;现从原个数中剔除这个数，且剔除的这个数的平均数为，方差为，则剩余的个数的方差为___________. 14．已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．某组合体由下方的正四棱柱与上方的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2. (1)求正四棱锥的侧棱长； (2)求该组合体的表面积； (3)求该组合体的体积. 16．某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）： 使用次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 频率 0.1 a 0.3 b c    (1)求条形图中的频数m，n； (2)从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率； (3)若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差． 17．在中，． (1)求； (2)设的角平分线交于点，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）求的最小值． 18．如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市雅礼中学2026年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列举法表示集合 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 2．已知，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量模的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【详解】因为，，且， 所以，解得； 于是得，，所以， 则. 3．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 4．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二面角、面面角的向量求法 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 5．抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件和事件独立 C．当时，事件和事件独立 D．当时，事件和事件互斥 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】分别计算、时事件、、的概率，结合事件独立、互斥的定义逐一判断选项。 【详解】选项A，，，错误. 选项B，，所以，两者不独立，错误. 选项C，，，，相互独立，正确. 选项D，因为，所以不互斥，错误. 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，的面积为，则（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【详解】由，解得， 由余弦定理得，即，则得， 所以， 故. 7．若，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先将条件进行切化弦得到与的关系，再结合两角和的正弦公式求出二者的值，最后代入两角差的正弦公式计算结果. 【详解】由，根据同角三角函数的商数关系可得， 化简整理得①. 因为，由两角和的正弦公式得②. 将①代入②，得，解得， 再将代入①得. 所以. 因此. 8．如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 【答案】C 【知识点】线面平行的性质、由平面的基本性质作截面图形 【详解】如图所示， 取的中点，且点靠近点，且点靠近点， 连接， 由P为正方形的中心知，过点P， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，且， 又∥∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，且，所以∥，且， 所以四边形为平行四边形，且平面过、、三点， 所以过点A、P、Q的截面为平面， 因为正方体棱长为4，所以，， 则截面四边形的周长为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（为虚数单位），，为复数，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的运算性质依次判断各选项即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，则，所以， 又因为，所以，故C正确； 对于D，设，，则，， 所以，， 又因为，所以，得， 所以，表示的对应向量垂直.可取，，则，故D错误. 10．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（     ） A．至少有一枪命中目标的概率为 B．恰好有一枪命中目标的概率为 C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】AD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD. 【详解】对于A：三枪全不中的概率， 故至少有一枪命中目标的概率为，A正确； 对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误； 对于C、D： 设枪连续命中的概率为，枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为， 则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪， 若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪， 即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪， 连续命中两枪的概率为， 若丙在第2枪： 连续命中两枪的概率为， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的最小值为 C．若在内无零点，则的取值范围为 D．若在内单调递减，则的取值范围为 【答案】ABD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由的范围求出的范围，进而判断函数单调性进而判断A；根据条件计算参数的最小值和范围判断B，C；根据已知的单调性求得参数的范围判断D. 【详解】对于A选项，函数，当时，，符合题意，故A正确； 对于B选项，由于，，所以， 即或，所以或， 又，所以的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得整理得， 无零点等价于 当时，，当时，，故的取值范围并非只有，故C错误； 对于D选项，由于在内单调递减， 由于函数在内单调递减，则满足 解得，当时，． 当时，，解得，而，解得，二者无交集； 当时，，与题设矛盾，故D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____. 【答案】 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【详解】令，的图象如图所示， 由题知与有四个不同的交点，由图知， 所以的取值范围为. 13．已知个数的平均数为，方差为;现从原个数中剔除这个数，且剔除的这个数的平均数为，方差为，则剩余的个数的方差为___________. 【答案】 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差 【分析】结合分层抽样中平均数和方差的公式，即可求解. 【详解】设个数的平均数为，方差为， 剔除的个数的平均数为，方差为， 剩下的个数的平均数为，方差为， 则，， 由，可知，解得， 由，可知，解得. 14．已知不共线的向量，，，满足，，，则的最小值为______． 【答案】/2.5 【知识点】数量积的运算律 【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B在直线上，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B在直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．某组合体由下方的正四棱柱与上方的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2. (1)求正四棱锥的侧棱长； (2)求该组合体的表面积； (3)求该组合体的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正棱锥及其有关计算、求组合体的体积、棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【详解】（1）解：如图，组合体由正四棱柱和正四棱锥构成， 的中心为，则平面， ，， 则正四棱锥的侧棱长为； （2）解：中， ， 边上的高，， 该组合体的表面积； （3）， ， 则该组合体的体积． 16．某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）： 使用次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 频率 0.1 a 0.3 b c    (1)求条形图中的频数m，n； (2)从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率； (3)若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】估计总体的方差、标准差、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据频率分布表解决实际问题 【分析】（1）根据频率计算频数即可； （2）先利用分层抽样求得使用自行车1次的居民有人，使用2次的居民人，然后利用古典概型概率公式求解即可； （3）根据分层方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意，总人数为50，0次频数：； 2次频数：；3次频数：；4次及以上频数：3； 所以1次频数：； （2）用分层抽样法抽取的5人中，使用自行车1次的居民有人，记为，， 使用2次的居民有人，记为，，． 记“2人使用次数不同”为事件， 样本点表示“抽取的两人为，”， 则样本空间： ，共10种， 其中，共6种， 所以，； （3）记30名男性样本为，平均数为，方差为； 记20名女性样本为，平均数为，方差为； 所有样本的总平均数为，方差为，样本容量为50． （次）， 则 . 17．在中，． (1)求； (2)设的角平分线交于点，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理得，根据余弦定理求得，求出； （2）（ⅰ）根据的面积相等，得；再根据基本不等式，求得，最后根据面积公式求出面积的最小值； （ⅱ）由余弦定理得，结合，得，从而求得的最小值. 【详解】（1），由正弦定理得. 由余弦定理得； ，. （2）由（1）得.令，.   是的角平分线，. （ⅰ），， . ，得. ，，（当且仅当时等号成立）； ，得. ，即面积的最小值为. （ⅱ）在中，由余弦定理得. 由（ⅰ）得，； ； ，当时，取得最小值，即； ，即的最小值为. 18．如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由平面， 则平面，因平面，则， 又，平面， 则平面， 由平面，则， 又，为的中点，则， 由平面， 则平面； ② (2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）①由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；②先应用等体积法求到平面的距离，再根据线面角的定义求其正弦值； （2）构建空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）①略； ②由平面，平面，则，且， 同理可得，则，故， 由， 设到平面的距离为，由可得， ，而， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）由上分析，平面，且,则可建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，,因为的中点，则， 又因，则， 所以， 若是平面的一个法向量， 所以，故可取， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 则， 设,因，则，且, 令，因在上单调递增，故， 则，故，则, 也即,则，即， 因，故得 即二面角的正弦值的取值范围为. 19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】三角函数与解三角形综合、函数新定义、向量新定义、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）先对进行化简，然后按照伴随向量的定义写出，最后求出. （2）先求出，再根据求出，然后根据正弦定理和求出的值，最后根据余弦定理求出的值. （3）先证必要性，利用设出，然后根据写出的伴随函数，求出其最大值即可；再证充分性，设出，写出的伴随函数，由题意可得，进而可得. 【详解】（1）由题意得 ， . （2）∵函数为向量的伴随函数， ， ，或. 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， ，即. 由余弦定理，得， 得，即． （3）证明：先证必要性．由题可知， ， 设，， ， ， . 再证充分性．由， 设，，则， ， 因为，，， 又因为，，得到， 根据，得. 综上，向量的充要条件是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $