安徽省2025-2026学年高一数学下学期期末自建模拟卷03

**基本信息** 聚焦人教A版必修二全册，以进博会数据调查、立体几何折叠等真实情境为载体，分层考查复数、统计、空间几何等核心知识，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数条件判断、立体几何线面推理、数据百分位数|基础题（如第2题百分位数）与能力题（如第6题正方体动点最值）梯度分明| |填空题|3题/15分|向量投影、方差计算、异面直线成角|第13题融合两组数据方差计算，考查数据处理能力| |解答题|5题/77分|复数运算、向量与解三角形综合、立体几何折叠问题|18题结合进博会热点考查统计独立性判断，19题通过折叠问题考查空间想象与逻辑推理，体现数学思维与表达|

安徽省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 3．已知表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A． B．，且 C．，，， D．，， 4．在中，角、、所对的边分别为、、，已知点D在边上，，， ，，则（     ） A． B． C．4 D．6 5．设圆锥的表面积为，体积为，球的表面积为，体积为.已知圆锥的轴截面是等边三角形，且其体积之比，则圆锥与球的表面积之比（     ） A． B． C． D． 6．已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 7．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 8．在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（    ）    A．这组数据的中位数等于平均数 B．这组数据的第60百分位数是55.5 C．污水净化量逐年递增 D．去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 13．现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 14．已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． (1)若，求、的值； (2)若，，，且与的夹角为，求的值； (3)若，，，且与的夹角为，求的取值范围． 17．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 18．第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 19．矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 2．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 3．已知表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ） A． B．，且 C．，，， D．，， 【答案】D 【分析】应用线线垂直判断A，应用线面平行判断B，结合面面平行判定定理判断C，应用面面平行性质定理判断D. 【详解】选项A中，，此时可能平行也可能相交或异面，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确. 4．在中，角、、所对的边分别为、、，已知点D在边上，，， ，，则（     ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据张角列式即可求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， ∵，∴， 由张角定理得， 即， 即，即， 解得，∴，故B正确. 5．设圆锥的表面积为，体积为，球的表面积为，体积为.已知圆锥的轴截面是等边三角形，且其体积之比，则圆锥与球的表面积之比（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆锥的轴截面是等边三角形可得圆锥的高，利用体积和表面积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥底面半径为，球的半径为， 由圆锥的轴截面是等边三角形可得圆锥的高为， 则 ， 所以圆锥与球的表面积之比 ． 6．已知正方体中，棱长为2，点为线段上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，利用余弦定理计算即可得到答案. 【详解】因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面， 此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得， 开方得：，即的最小值为. 7．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 8．在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【详解】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是某企业年至年的污水净化量（单位：吨）的折线图，则（    ）    A．这组数据的中位数等于平均数 B．这组数据的第60百分位数是55.5 C．污水净化量逐年递增 D．去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】AD 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差、标准差公式和折线图，逐项判断即可. 【详解】将这组数据按照从小到大排列为：52，52，53，54，55，56，56. A项，这组数据的中位数为54，平均数为，中位数等于平均数，故A正确； B项，，则这组数据的第60百分位数为55，故B错误； C项，根据折线图可知，第5年（2022年）的污水净化量小于第4年（2021年）的污水净化量，故C错误； D项，2018年的污水净化量数据是这组数据的最小值，去掉此数据后，新数据分布更集中，即数据的标准差会变小，故D正确. 10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 【答案】 【详解】因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以， 所以. 13．现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 【答案】6 【分析】计算混合数据的平均数，计算混合数据的方差. 【详解】设甲组数据为，乙组数据为， 甲组平均数，乙组平均数， 混合后的平均数：， 甲组方差， 乙组方差， ， . 14．已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的概念构造异面直线所成的角，再利用余弦定理求角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，则，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)实部为 ，虚部为 (3) 【分析】（1）先根据虚数单位的幂次规律化简 ，再根据共轭复数的定义求出 ； （2）先求出 ，再根据复数实部和虚部的定义确定其实部和虚部； （3）先求出 的表达式，再根据复数在复平面内的坐标表示以及第四象限内点的坐标特征列出不等式组，求解 的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 所以 . 所以 . （2）由（1）知 ，则 ， 所以 的实部为 ，虚部为 . （3）已知 ，则， 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ， 因为该点位于第四象限，则， 所以不等式组的解集为 ，即 的取值范围是 . 16．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． (1)若，求、的值； (2)若，，，且与的夹角为，求的值； (3)若，，，且与的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量加减法法则及中点性质求解； （2）利用向量线性运算表示，结合数量积定义及运算律求解； （3）建立平面直角坐标系，利用坐标运算及二次函数性质求取值范围. 【详解】（1）若，则， 整理得，即， 又， 所以； （2）若，则， 整理得，即， 所以 ， 因为，，且夹角为， 所以， 代入得； （3）因为与的夹角为， 以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，， 所以， 由，得， 所以， 则，， 所以 ， 因为为线段上一点，所以， 当时，取得最小值， 当或时，取得最大值， 所以的取值范围为. 17．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论； （2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得，再利用三角形面积公式得到面积表达式，再求出的范围即可得到最值. 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 18．第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不独立，理由见详解 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，结合题意，可得答案； （2）根据古典概型以及组合数，结合概率计算公式，可得答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组的频率和为，组距为， 因此：，解得， “青年人”年龄落在，对应的频率为： ， 总人数为，因此“青年人”的人数为. （2）中年人（）总人数：， 老年人（）总人数：， 分层抽样抽取人，抽样比为， 因此抽取得到：青年人人，中年人人，老年人人，总选法：， 事件为“人均为中年人”，，因此， 事件为“2人中至少1人为男性”，对立事件为“2人均为女性”， ，因此， 为“人均为中年人，且至少人为男性”， ，因此， ， 显然，因此事件与事件不独立. 19．矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面. (2)； (3)存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）由 平面得，二面角的平面角即为，在直角三角形中利用边长比求得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【详解】（1）略； （2）平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $