第2章 专题4 有理数的混合运算、大小比较及代数化问题 专题提优练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算、大小比较及代数化问题，构建“方法分类-典例迁移-素养提升”三维训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数混合运算|基础计算+培优拓展|符号游戏推理、除方概念转化|从实际应用（食品质量、灯语）到新概念探究，培养抽象能力| |有理数大小比较|5类方法+例题|数轴法、作差/商比较法、中间量法等|按方法类型系统分类，形成比较策略体系，发展几何直观| |代数化问题|2类关系+多结论题|绝对值性质应用、数轴关系判断|结合绝对值与数轴，综合考查符号意识，提升推理能力|

专题4 有理数的混合运算、大小比较及代数化问题 有理数的混合运算 一、练考点 1. 有理数的混合运算 1. 某食品厂生产的某种袋装食品标准质量为每袋120克，抽检其中20袋，记录如下(“＋”表示超出标准质量，“－”表示不足标准质量)： 则这20袋食品的平均质量为（ ） A. 120.95克 B. 120.1克 C. 122克 D. 139克 2. 正所谓：“人有人言，灯有灯语”.灯语(灯光通信)是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛.利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通.例如：“○”表示亮红灯.”，“●”表示亮绿灯.两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有________个. ①“●○○○”表示字母H； ②若要表示26个英文字母，需要6盏灯； ③某船先后发出“●○○●●”“●●●●●”“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救. 3. 有个填写运算符号的游戏：在“1□3□9□11”中的每个“□”里填入“＋，－，×，÷”中的某一个符号(可重复使用)，然后计算结果. (1) 计算：. (2) 若□11=－8，请推算“☐”里的符号. (3) 在“1□3□9－11”的“□”里填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数. 二、练培优 1. 对于正数，规定，例如：，，，计算：（ ） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 2. 将1，2，3，4，5，…，61这61个连续整数不重不漏地填入61个空格中.要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前60个数的和是第61个数的倍数.若第1个空格填入61，则第2个空格所填入的数为________，第61个空格所填入的数为________. 3. 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后.小芳对类似于(－5)÷(－5)÷(－5)÷(－5)这样几个相同有理数(均不等于0)的除法运算产生了兴趣，决定探究学习.经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫作除方，并把主记作，读作“－5的4次商”. 【概念归纳】一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”. (1) 【概念理解】直接写出结果：________. (2) 关于除方，下列说法正确的是________.(填序号) ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数. (3) 【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例： .仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式：________；________. (4) 计算：. 有理数的大小比较 1. 数轴比较法 1. 数在数轴上对应点的位置如图所示，则的大小关系正确的是________（ ） A. 2. 作差或作商比较法 2. 比较大小： (1) －和； (2) －和. 3. 中间量比较法 3.若比较与的大小. 4. 同分子比较法 4. 比较四个数的大小. 5. 特殊值比较法 5. 比较大小：当时，.(填“＞”“=”或“＜”) 有理数运算的代数化问题(含多结论问题) 1. 利用绝对值的性质判断关系 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 2. 已知，且，那么按照由小到大的顺序排列是（ ） A. 3.若已知，则的值为________. 4. 已知均是不为0的有理数，，且.请用不等号将四个数由小到大排列. 2. 利用数轴判断关系 5. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列各式不正确的是（ ） A. D. 6. 如图，数轴上，两点分别表示有理数，，给出下列结论：①；②③④⑤.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①；②；③；④. 其中正确的结论是________.(填序号) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 有理数的混合运算、大小比较及代数化问题 有理数的混合运算 一、练考点 1. 有理数的混合运算 1. 某食品厂生产的某种袋装食品标准质量为每袋120克，抽检其中20袋，记录如下(“＋”表示超出标准质量，“－”表示不足标准质量)： 则这20袋食品的平均质量为（ ） A. 120.95克 B. 120.1克 C. 122克 D. 139克 答案：A 2. 正所谓：“人有人言，灯有灯语”.灯语(灯光通信)是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛.利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通.例如：“○”表示亮红灯.”，“●”表示亮绿灯.两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有________个. ①“●○○○”表示字母H； ②若要表示26个英文字母，需要6盏灯； ③某船先后发出“●○○●●”“●●●●●”“●○○●●”表示它遇到了危险，在求救. 答案：2 3. 有个填写运算符号的游戏：在“1□3□9□11”中的每个“□”里填入“＋，－，×，÷”中的某一个符号(可重复使用)，然后计算结果. (1) 计算：. (2) 若□11=－8，请推算“☐”里的符号. (3) 在“1□3□9－11”的“□”里填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数. 答案：(1) . (2) 因为，所以，所以311=－8.因为3－11=－8，所以“”里的符号是“－”. (3) 这个最小数是－37. 解析：因为在“139－11”的里填入符号后，使计算所得数最小，所以139的结果最小即可，所以的最小值是，所以139－11的最小值是，所以这个最小数是－37. 二、练培优 1. 对于正数，规定，例如：，，，计算：（ ） A. 199 B. 200 C. 201 D. 202 答案：C 2. 将1，2，3，4，5，…，61这61个连续整数不重不漏地填入61个空格中.要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前60个数的和是第61个数的倍数.若第1个空格填入61，则第2个空格所填入的数为________，第61个空格所填入的数为________. 答案：1 31 3. 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后.小芳对类似于(－5)÷(－5)÷(－5)÷(－5)这样几个相同有理数(均不等于0)的除法运算产生了兴趣，决定探究学习.经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫作除方，并把主记作，读作“－5的4次商”. 【概念归纳】一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”. (1) 【概念理解】直接写出结果：________. (2) 关于除方，下列说法正确的是________.(填序号) ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数. (3) 【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例： .仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式：________；________. (4) 计算：. 答案：(1) (2) ①④ (3) (4) 有理数的大小比较 1. 数轴比较法 1. 数在数轴上对应点的位置如图所示，则的大小关系正确的是________（ ） A. 答案：C 注意： 利用数轴比较数的大小时，一般先在数轴上找到表示这些数的点，然后根据“右边的数总比左边的数大”来进行比较，这种方法是比较数的大小最常见的方法，尤其在比较多个有理数的大小时优势明显. 2. 作差或作商比较法 2. 比较大小： (1) －和； (2) －和. 答案：(1) 因为，所以. (2) 因为，所以，所以 注意： 作差法：比较与的大小，可先计算的值，然后根据的差与0的大小关系来比较它们的大小.若，则；若，则；若，则. 作商法：比较与的大小，可先计算的值，然后根据的商与1的大小关系来比较它们的大小.若，且都是正数，可以得出；若，且都是负数，可以得出；若，可以得出；若，且都是正数，可以得出；若，且都是负数，可以得出. 3. 中间量比较法 3.若比较与的大小. 答案：因为，所以，所以. 注意： 比较两个分数大小，有时可以通过找中间量的方法分别比较两个数与中间量的大小，继而得到两个数的大小关系. 4. 同分子比较法 4. 比较四个数的大小. 答案：，因为，所以 注意： 比较分母较复杂的分数大小时可以将分数的分子化为相同的数，之后利用分母的大小比较分数的大小. 5. 特殊值比较法 5. 比较大小：当时，.(填“＞”“=”或“＜”) 答案： 解析：将代入得，所以当时，. 有理数运算的代数化问题(含多结论问题) 1. 利用绝对值的性质判断关系 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 答案：C 2. 已知，且，那么按照由小到大的顺序排列是（ ） A. 答案：D 3.若已知，则的值为________. 答案：1或3 4. 已知均是不为0的有理数，，且.请用不等号将四个数由小到大排列. 答案：因为，所以.当时，，所以.因为，所以，得0，舍去；当时，.所以，又因为，所以，所以，即，所以. 2. 利用数轴判断关系 5. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列各式不正确的是（ ） A. D. 答案：C 6. 如图，数轴上，两点分别表示有理数，，给出下列结论：①；②③④⑤.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C 7. 有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①；②；③；④. 其中正确的结论是________.(填序号) 答案：①②③ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $