22.1.1 成比例线段 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“成比例线段”核心内容，从日常生活相似图形情景导入，引导学生观察形状相同大小不同的图形特征，逐步过渡到成比例线段的定义、比例基本性质及黄金分割，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过“情景导入-自学互研-合作探究-总结应用”环节，结合生活实例（如照片放大、埃菲尔铁塔）和问题探究（判断成比例线段、证明合比性质），培养学生数学眼光、思维与语言。帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可借助结构化内容提升教学效率。

华师版 九年级 数学（上） 第22章　图形的相似 22.1 成比例线段 22.1.1 成比例线段 1 情景导入 你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？ 知识模块一　相似图形 自学互研 日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左边的照片放大得来的.尽管它们的大小不同，但其整体，包括其中各个花叶，形状完全相同. 我们把这种具有相同形状的图形称为相似图形. 为了研究相似图形，先研究与其密切相关的成比例线段. 照片 投影 合 探 作 究 范例：下选项中，与图中所给图形相似的是 ( ) D 仿例：在下面的三个矩形中，相似的是 ( ) A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 B 知识模块二　成比例线段 自学互研 试一试 由如图的格点图可知A′B′CD，＝____, ＝____, 2 2 这样，与之间有什么关系？ ＝ 概括 对于给定的四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比， 如 ＝ （或 a∶b = c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 合 探 作 究 例1 判断下列线段a，b，c，d是否是成比例线段： (1)a＝4，b＝8，c＝5，d＝10； (2)a＝2，b＝2，c＝，d＝5. 解：(1)∵ ＝＝，＝＝， (2)∵＝＝，＝＝， ∴＝， ∴线段a，b，c，d是成比例线段． ∴＝， ∴这四条线段是成比例线段． 仿例：已知线段a，b，c，d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是 ( ) A．8 B．6 C．4 D．1 B 知识模块三　比例的基本性质 自学互研 1.比例的基本性质 对于成比例线段，其线段的长度之间有下面的结论: 如果＝，那么ad＝bc. 如果ad＝bc ，那么＝ . 2.根据比例的基本性质＝，你还可以得到哪些其他的结论？ 合比性质：若a∶b＝c∶d，则(a±b)∶b＝(c±d)∶d. 等比性质：若a∶b＝c∶d＝…＝m∶n，则(a＋c＋…＋m)∶(b＋d＋…＋n)＝a∶b. 例2 已知＝ ，求证：(1) ＝; (2) ＝ (a≠b). 证明：∵＝ , 等式两边同时加上1，得 ＋1 ＝＋1, ∴ ＝ . 13 (2) ＝ (a≠b). (2) ∵＝ , ∴ ad = bc， 等式两边都减去 ac，得 ad – ac = bc – ac， ∴ ac – ad = ac – bc， ∴ a ( c – d ) = c ( a – b ). 由a≠b，且＝，知c≠d ，从而a－b ≠0，且c－d ≠0，上式两边都除以(a－b) (c－d)，得 ＝ . 合 探 作 究 范例：若＝ ＝ ，则的值为 ( ) A． B． C． D． D 仿例：若 ＝ ，则的值为 ( ) A．4 B． C． D． D 例3 如图，已知AB=1，试在线段AB上插入点P，使 ，即AP2＝AB·PB. A P B 解 设AP=x，由题意，有x2=1×(1－x). 化简，得x2＋x－1=0. 解此方程，得x = ，舍去负解，所以x =. 即所需点P与端点A的距离为. 知识模块四　黄金分割 自学互研 读一读 将一条线段AB分成两条线段AP和PB (AP>PB)，使 我们称AP为AB和PB的比例中项，点P为线段AB的黄金分割点，将线段AB黄金分割. 由于 ＝ ≈0.618，所以长为1的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约为0.618. AP2 ＝AB·PB， 1．我们都知道埃菲尔铁塔、帕特农神庙、蒙娜丽莎画像，这些建筑和画作为什么看起来协调美观？其中隐藏着什么数学规律？ 2．什么是黄金分割？黄金分割在生活中有哪些应用？ 总结归纳 将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP＞PB)，使AP2＝AB·PB.我们称AP为AB和PB的比例中项，点P 为线段AB的黄金分割点，将线段AB黄金分割． 合 探 作 究 范例：已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP为 ( ) A．＋1 B．－1 C． D．3－ B 仿例：如图，若点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，AB＝4 cm，则AC的长为 ( ) A．(－1)cm B．(2－2)cm C．(＋1)cm D．(2＋2)cm B 课堂小结 比例的基本性质 如果＝，那么ad＝bc. 如果ad＝bc ，那么＝ . 随堂练习 1.判断下列线段a、b、c、d是不是成比例线段: (1)a=2cm，b=4cm， c=3m， d=6m; (2)a=0.8，b =3，c=0.64，d=2.4. 解：(1)因为 ＝，＝ 所以 ＝＝. 所以a、b、c、d是成比例线段. (2)因为 ＝＝，＝＝ 所以 ＝＝. 所以a、b、c、d是成比例线段. 2.已知线段a、b、c满足关系式＝ ，且b=4，那么ac=______. 16 3.已知＝ ，那么 、 各等于多少? 解：因为＝， 所以 ＝ ＋1＝ ＋1 ＝. 因为＝，因为＝ 所以 ＝ －1 ＝－1 ＝ － ， 所以 ＝ ， 所以＝ 3 . 4.(1)根据图示求线段比: 、 、; (2)试找出图中两组成比例的线段; (3)试找出线段CB的黄金分割点E.(CE>EB，精确到0.01cm) A C D B 1cm 2cm 4cm 解：(1)＝，＝＝. (2)成比例的线段有:AC、CD、AD、BC; AC、CD 、CD 、 DB; CD、 AD 、 DB 、 BC. (3)线段CB的黄金分割点E到C点的距离约为 3.71 cm（CE≈3.71 cm）. A C D B 1cm 2cm 4cm $