2026-2027学年人教A版高中数学高一上学期必修一1.4.2　充要条件新授课课件

该高中数学课件围绕“充要条件”展开，通过复习充分、必要条件导入，构建从命题真假、推出关系到集合包含关系的知识脉络，为学生提供逻辑推理的学习支架。 其特色是融合数学抽象与逻辑推理，用表格对比集合关系与条件关系，通过典例分析条件判断、充要条件证明及参数求解，辅以“明辨是非”辨析和“即学即练”巩固。采用定义法、集合法等教学方法，帮助学生提升逻辑思维，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

1.4.2　 充要条件 【学习目标】 1.理解充要条件的概念,能进行充要条件的判断.(数学抽象、逻辑推理) 2.会探求或证明某些问题成立的充要条件.(逻辑推理) 3.能够根据充分、必要条件求参数.(逻辑推理) 一、充要条件 命题真假 “若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题 推出关系 既有p⇒q,又有q⇒p,记作_____ 条件关系 p既是q的充分条件,也是q的必要条件 名称 p是q的_________条件,简称为_____条件 p⇔q 充分必要 充要 二、集合与充分、必要、充要条件的关系 集合之间 的关系 p,q 关系 命题的真假 充要条件关系 P⊆Q p⇒q 若p则q为真命题 p是q的充分条件 q是p的必要条件 Q⊆P p⇐q 若q则p为真命题 p是q的必要条件 q是p的充分条件 P=Q p⇔q 若p则q为真命题 若q则p为真命题 p是q的充要条件 集合之间 的关系 p,q 关系 命题的真假 充要条件关系 P⫋Q p⇒q p q 若p则q为真命题 若q则p为假命题 p是q的充分不必要条件 Q⫋P p q p⇐q 若p则q为假命题 若q则p为真命题 p是q的必要不充分条件 P不包含于Q,Q不包含于P p q p q 若p则q为假命题 若q则p为假命题 p是q的既不充分也不必要条件 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.( ) (2)如果命题“若p,则q”是真命题,其逆命题是假命题,那么p是q的充要条件. ( ) 提示:p⇒q,而q p,所以p是q的充分不必要条件. (3)若“A是B的充分不必要条件”,则“B是A的必要不充分条件”.( ) 提示:二者都是“A⇒B且B A”. (4)由“p:x∈A”是“q:x∈B”的充要条件,可以得出A=B.( ) 提示:若x∈A⇒x∈B,则A⊆B,反之B⊆A,故A=B. √ × √ √ 类型1 四类条件的判断(逻辑推理) 【典例1】判断下列各组命题中,p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p:x2>0,q:x>0; (2)p:a是自然数;q:a是正数; (3)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA; (4)p:两个角不都是直角,q:两个角不相等. 【解析】(1)p:x2>0,则x>0或x<0,故p q;q:x>0,则q⇒p,故p是q的必要不充 分条件. (2)0是自然数,但0不是正数,则p q;又是正数,但不是自然数,则q p. 故p是q的既不充分也不必要条件. (3)因为A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA,所以p是q的充要条件. (4)p:两个角不都是直角,这两个角可以相等,q:两个角不相等,则这两个角 一定不都是直角,故p是q的必要不充分条件. 【解题有招】 判断四类条件的三种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:利用集合的包含关系判断. (3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性. 【即学即练】 (多选)设A,B为两个集合,则下列四个充要条件的判断中错误的是(　　) A.A不包含于B⇔对任意x∈A,都有x∉B B.A不包含于B⇔A∩B=⌀ C.A不包含于B⇔B不包含于A D.A不包含于B⇔存在x0∈A,使得x0∉B √ √ √ 【解析】选ABC.对于A,取A={1,2},B={2,3},满足A不包含于B,但存在2∈A,且2∈B,A错误; 对于B,取A={1,2},B={2,3},满足A不包含于B,但A∩B={2},B错误; 对于C,取A={1,2},B={1},满足A不包含于B,但B包含于A,C错误; 对于D,A不包含于B⇔存在x0∈A,使得x0∉B,D正确. 类型2 充要条件的探求与证明(逻辑推理) 【典例2】已知a,b是正实数,求证:a2-b2-2b=1成立的充要条件是a-b=1. 【证明】a2-b2-2b=1⇔a2-(b+1)2=0, ⇔(a+b+1)(a-b-1)=0, 因为a,b是正实数, 所以a-b-1=0⇔a-b=1, 得证. 【解题有招】 1.探求充要条件的两种方法 (1)等价法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中探求的过程也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的. (2)非等价法:先寻找必要条件,再找充分条件,从必要性和充分性两方面说明. 2.充要条件的证明策略 要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真. 提醒:证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 【即学即练】 1.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　.  【解析】函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则-=1,即m=-2;反之,若m=-2,则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称. 答案:m=-2 2.已知a,b是实数,判断:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的什么条件,并证明你的结论. 【解析】a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的充要条件,证明如下: 充分性:因为a2-b2=1,所以(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0,即a4-b4-2b2=1; 必要性:因为a4-b4-2b2=1, 所以a4=b4+2b2+1=⇒(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0,由于a2+b2+1>0,所以a2-b2=1.故a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的充要条件. 类型3 根据充分、必要条件求参数(逻辑推理) 【典例3】(易错·对对碰) 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). (1)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). (1)因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10},故有或解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. (2)因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 所以A⫋B.所以或 解得m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 【解题有招】 应用充分、必要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 【即学即练】 1.设集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0};若x∈B是x∈A的充要条件,则实数m的值为　　　　　.  【解析】集合A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},B={x|x2+(m+1)x+m=0} ={x|(x+1)(x+m)=0}, 因为x∈B是x∈A的充要条件,所以A=B, 所以-m=-2,所以m=2. 答案:2 2.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　.  【解析】由题意,p:-1<x<3,q:-1<x<m+1, 因为q是p的必要不充分条件,则m+1>3,解得m>2. 答案:{m|m>2} 教材深一度 锐角、钝角三角形的充要条件 (链接教材习题1.4T6) 【典例4】设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.求证: (1)△ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2; (2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2. 【证明】a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c, (1)△ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2,证明如下: 必要性:在△ABC中,∠C是锐角,作AD⊥BC,D为垂足,如图①. 显然AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2 =AC2-CD2+CB2+CD2-2CB·CD =AC2+CB2-2CB·CD<AC2+CB2,即c2<a2+b2. 充分性:在△ABC中,a2+b2>c2,所以∠C不是直角. 假设∠C为钝角,如图②.作AD⊥BC,交BC延长线于点D. 则AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD =AC2+BC2+2BC·CD>AC2+BC2. 即c2>b2+a2,与“a2+b2>c2”矛盾. 故∠C为锐角,即△ABC为锐角三角形. (2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2.证明如下: 必要性:在△ABC中,∠C为钝角,如图②,显然: AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(CD+CB)2=AC2-CD2+CD2+CB2+2CD·CB =AC2+CB2+2CD·CB>AC2+CB2.即a2+b2<c2. 充分性:在△ABC中,a2+b2<c2, 所以∠C不是直角,假设∠C为锐角,如图①, 则AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2 =AC2-CD2+CB2+CD2-2CD·CB =AC2+CB2-2CD·CB<AC2+CB2.即a2+b2>c2,这与“a2+b2<c2”矛盾,从而∠C必为钝角,即△ABC为钝角三角形. $