2026-2027学年人教A版高中数学高一上学期必修一1.4.1　充分条件与必要条件新授课课件

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”，涵盖命题真假、推出关系、条件关系及与集合的联系，通过“思考”问题导入，如区分“若p则q”与“p⇒q”，衔接命题真假判断旧知，搭建逻辑推理学习支架。 其亮点是融合数学抽象与逻辑推理，采用“一题多变”“即学即练”，如典例1变式从不同角度判断充分条件，结合定义法与集合关系法。助力学生提升推理能力，教师可借助结构化资源高效教学。

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 【学习目标】 1.理解充分条件、必要条件的概念,能进行充分条件、必要条件的判断.(数学抽象、逻辑推理) 2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.(数学抽象) 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(逻辑推理) 充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 _____ ______ 条件关系 p是q的_________ q是p的_________ p不是q的_________ q不是p的_________ 定理关系 (1)数学中的每一条_____定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (2)数学中的每一条_____定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 p⇒q p q 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 判定 性质 [思考] 1.命题“若p,则q”即“p⇒q”吗? 提示:不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”. 2.若p是q的充分条件,这样的条件p是唯一的吗?请举例说明. 提示:不唯一.如“对角线相等的平行四边形”“有一个角是直角的平行四边形”“有三个角是直角的四边形”都是“四边形是矩形”的充分条件. [点睛] 若p⇒q,则p是q的充分条件,即要使q成立,有p成立就足够了,就是“有之即可,无之也行”;而q是p的必要条件,即q是p成立的必不可少的条件,缺其不可,就是“有之未必即可,无之则必不行.” [点睛] 充分条件、必要条件与集合的关系 设A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件;q是p的必要条件 B⊆A q是p的充分条件;p是q的必要条件 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若“p⇒q”,则p的充分条件是q.( ) 提示:若“p⇒q”,则p是q的充分条件. (2)若q是p的必要条件,则q是唯一的.( ) 提示:给定条件p,由p可以推出的结论q不是唯一的. (3)“若q,则p”是真命题,则p是q的必要条件.( ) (4)“若p,则q”为假命题,则p不是q的充分条件,但q可以是p的必要条件.( ) 提示:“若p,则q”为假命题,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. × × √ × 类型1 充分条件的判断(逻辑推理) 【典例1】(一题多变) [母题]下列“若p,则q”形式的命题中,判断命题中的p是否是q的充分条件. (1)若内错角相等,则两直线平行; (2)若x<1,则x<2; (3)若x2=y2,则x=y; (4)若m>1,则方程x2-x-m=0有实根. 【解析】(1)若内错角相等,则两直线平行是真命题,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)若x<1,则x<2是真命题,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)若x2=y2,则x=y或x=-y,因此p q,所以p不是q的充分条件. (4)因为m>1,所以Δ=12+4m>0,方程x2-x-m=0有实根,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. [变式1]母题(1)若改为“若同位角相等,则两直线平行”,p是否是q的充分条件? 【解析】若同位角相等,则两直线平行是真命题,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. [变式2]母题(1)若改为“若同旁内角互补,则两直线平行”,p是否是q的充分条件? 【解析】若同旁内角互补,则两直线平行是真命题,所以p⇒q, 所以p是q的充分条件. 【解题有招】 充分条件的两种判断方法 (1)定义法   (2)集合关系法 已知条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊆B,则甲是乙的充分条件. 【即学即练】 下列“若p,则q”形式的命题中,判断命题中的p是否是q的充分条件. (1)若a∈Q,则a∈R; (2)若x>1,则x2>1; (3)若四边形的对角线相等,则四边形是矩形; (4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3. 【解析】(1)由于Q⊆R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)由x>1可以推出x2>1,因此p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)因为等腰梯形的对角线相等,所以四边形的对角线相等 四边形是矩形, 所以p不是q的充分条件. (4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,所以p q,所以p不是q的充分条件. 类型2 必要条件的判断(逻辑推理) 【典例2】(一题多变) [母题]下列“若p,则q”形式的命题中,判断命题中的q是否是p的必要条件. (1)若四边形是矩形,则这个四边形的对角线相等; (2)若a是1的平方根,则a=1; (3)若三角形是等边三角形,则三角形是等腰三角形. 【解析】(1)矩形的对角线一定相等,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. (2)1的平方根是±1,所以p q,所以q不是p的必要条件. (3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. [变式1]母题(1)若改为“若四边形是矩形,则这个四边形的对边相等”,q是否是p的必要条件? 【解析】矩形的对边一定相等,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. [变式2]母题(1)若改为“若四边形是矩形,则这个四边形的对边平行”,q是否是p的必要条件? 【解析】矩形的对边一定平行,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. [变式3]母题(1)若改为“若四边形是矩形,则这个四边形的四个角都是直角”,q是否是p的必要条件? 【解析】矩形的四个角都是直角,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 【解题有招】 必要条件的两种判断方法 (1)定义法   (2)集合关系法 已知条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件. 【即学即练】 下列“若p,则q”形式的命题中,q不是p的必要条件的有　　　　　.(填序号)  (1)若两个三角形面积相等,则两个三角形全等; (2)若x为有理数,则为有理数; (3)若x=y,则x2=y2. 【解析】(1)因为命题“若两个三角形面积相等,则两个三角形全等”是假命题,所以q不是p的必要条件; (2)当x=0时,x是有理数,但无意义,所以不是有理数,所以q不是p的必要条件; (3)因为x=y,等号左右两边平方后,等式依然成立,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 答案:(1)(2) 类型3 充分、必要条件的探求(逻辑推理) 【典例3】(易错·对对碰) (1)(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是(　　) A.2<x≤3　 B.0≤x<1 C.0<x≤2　 D.1<x<2 【解析】选CD.从集合观点看,求0<x<3成立的一个充分条件, 就是从A,B,C,D中选出集合{x|0<x<3}的子集.所以{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3}, {x|1<x<2}⊆{x|0<x<3}符合题意. √ √ (2)(多选)使0<x<3成立的一个必要条件是(　　) A.0<x≤3 B.1≤x<3 C.0<x≤2 D.-1<x<3 【解析】选AD.从集合观点看,求0<x<3成立的一个必要条件,就是找集合{x|0<x<3}是选项A,B,C,D中哪个集合的子集. 由题可知{x|0<x<3}⊆{x|0<x≤3},{x|0<x<3}⊆{x|-1<x<3},所以A,D符合题意. √ √ 【解题有招】 充分、必要条件探求的注意点 因为若p是q的充分(必要)条件,这样的p是不唯一的,故解决充分(必要)条件的探求问题时一定要细心. 提醒:从集合关系看充分必要性,归纳为“小充分,大必要”即是小集合对应条件是大集合对应条件的充分条件;大集合对应条件是小集合对应条件的必要条件. 【即学即练】 已知条件p:x<0或x>2,则使得条件p成立的一个充分条件是(　　) A.x<1或x>2 B.x<-1或x>4 C.x<0或x>1 D.0<x<2 【解析】选B.使得条件p成立的一个充分条件应为{x|x<0或x>2}的非空子集,只有x<-1或x>4满足要求. √ $