2025—2026学年高二下学期数学暑假作业-计数原理（2）

计数原理（2） 2025—2026学年高二数学暑假作业-计数原理（2） 学科网（北京）股份有限公司 1.在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有( ) A.9种 B.36种 C.38种 D.45种 2.( ) A.84 B.112 C.168 D.224 3.若的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的为( ) A.展开式共8项 B.展开式中常数项为70 C.展开式中二项式系数最大的项为第5项 D.展开式中所有项的系数之和为-1 4.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”.对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”.从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有( ) A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 5.某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有( ) A.72种 B.150种 C.243种 D.360种 6.2026年泡泡玛特旗下的IP “星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”.把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有( )种不同的装法. A.180 B.150 C.100 D.90 7.（多选）在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是( ) A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况 B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况 C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况 D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况 8.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种.（用数字填写答案） 9.的展开式中常数项为____. 10.在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； (2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种.故选：B. 2.答案：B 解析：.故选：B. 3.答案：C 解析：首先，二项展开式中第k项的二项式系数为，由题意得，根据组合数性质，可得. 选项A：的展开式共有项，A错误； 选项B：展开式的通项为，其中， 令，解得，不是整数，故展开式无常数项，B错误； 选项C：当n为偶数时，二项式系数最大的项为中间项，即第项，C正确； 选项D：令，可得所有项的系数之和为，D错误.故选：C. 4.答案：B 解析：由题意得乙获得二等奖，甲获得三等奖，则需从其余4人中选1人获得一等奖，选1人获得二等奖，剩余2人获得三等奖，所以6人的获奖情况可能有（种）.故选：B. 5.答案：B 解析：分组为3，1，1：先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门.方案数种.分组为2，2，1：两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数.将两类相加：种.故选：B. 6.答案：B 解析：把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： ①按1，1，3分组：先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组，可得不同的分组数为； ②按2，2，1分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的3个中选2个为一组，最后1个为一组，可得不同的分组数为，最后分配到3个不同的盒内，共有种不同的装法.故选：B. 7.答案：ACD 解析：对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确. 对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，B错误. 对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确. 对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有种不同的获奖情况，D正确.故选：ACD 8.答案： 解析：方法一：没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.故答案为：16. 方法二：若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种.故答案为：16. 9.答案：29 解析：展开式的通项公式为，令，解得，则；令，解得，则，所以的展开式中常数项为. 10.答案：(1)120 (2)96 解析：(1)由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法； 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法； 综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. (2)由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况： ①4次抽到的均为正品，共有种抽法； ②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有种抽法. 所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种. $计数原理（2） 2025—2026学年高二数学暑假作业-计数原理（2） 1.在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有( ) A.9种 B.36种 C.38种 D.45种 2.( ) A.84 B.112 C.168 D.224 3.若的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的为( ) A.展开式共8项 B.展开式中常数项为70 C.展开式中二项式系数最大的项为第5项 D.展开式中所有项的系数之和为-1 4.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”.对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”.从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有( ) A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 5.某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有( ) A.72种 B.150种 C.243种 D.360种 6.2026年泡泡玛特旗下的IP “星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”.把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有( )种不同的装法. A.180 B.150 C.100 D.90 7.（多选）在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是( ) A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况 B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况 C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况 D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况 8.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种.（用数字填写答案） 9.的展开式中常数项为____. 10.在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. (1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； (2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 学科网（北京）股份有限公司 $