山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第20章空间向量法及应用

第二十章空间向量法及应用 【基础知识】 空间向量法是以平面向量法为基础求解立体几何问题，以向量为工具的求解方法． 1．设 ， 分别为异面直线 ， 的方向向量，则由向量的数量积可知，异面直线 、 的夹角由 给出，且 ． 2．设 ， 是二面角 的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则向量 ， 的夹角 ，就是二面角 的平面角． ．据此，只要求得二面角两个半平面的异侧法向量，即可得到二面角的平面角．值得指出是，要注意调整好向量的方向，使其夹角为二面角的平面角． 3．设 是平面 的斜线， 是 的法向量， 是垂足，则向量 在 上的射影长 ， 与平面 的夹角 为满足 ，即 或 据此，只需求得平面 的一个法向量 及向量 或 与 ，即可求得斜线 与平面 的夹角 ． 4．证明直线 与 平行，只需证得其方向向量 、 满足 ；证明平面 与 平行，只需证得它们的法向量 ， 满足 ；证明三直线 ， ， 共面，只需证明其方向向量 ， ， 满足 ． 5．若向量 在向量 上的射影长为 ，则点 到直线 的距离为 ． 6．设点 平面 ，则 外一点 到平面 的距离，就是向量 在平面 的法向量 上的射影长度，即 到 的距离为 ．据此，只需求得法向量 与向量 ，即可求得点 到 的距离． 7．设 是异面直线 、 的公垂线，则 与 间的距离，就是向量 在公垂线方向向量 上的射影长度，即 ．据此，只需求得向量 与 ，即得两异面直线的距离． 【典型例题与基本方法】 例1如图 ，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面，且 ．问：平面 与平面 能否垂直？试说明之． 解：因为 底面，所以 , ． 设 ，设平面 的法向量 ， 则 ，即 ， 所以 ，所以 ． 又 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ． 设平面 的法向量 ， 则 ， ， 同理得 ， 故平面 与平面 不可能垂直． 例2如图 ，已知异面直线 、 ， 为 、 的公垂线段， 、 分别为 、 上的任意一点， 为 线段上的向量，求证： ． 证明：因为 , 所以 ， 由 ， ，得 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 例3如图 ，已知 为平面 的一条斜线段， 为平面 的法向量．求证： 到平面 的距离为 ． 证明因为 ， ， 所以 到平面 的距离为 例4如图 ，在棱长为 的正方体 中， 、 分别是 、 的中点，求点 到截在 的距离． 解以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， , , 所以 , ． 设面 的法向量为 ， 则有： ， ， 所以 ，所以 ，所以 ． 又 ，所以点 到截面 的距离为 ． 【解题思维策略分析】 1．运用向量的线性运算求解问题 例5如图 ，在长方体 中，点 为 的中点，点 在 上，且 ，点 为 的中点，求证： 、 、 三点共线． 证明：令 ， ， ，则 ， ． 从而 ，故 、 、 三点共线． 例6如图 ， 、 、 、 、 、 分别为正方体 的棱 ， ， ， ， ， 的中点．求证： 、 、 三线共面． 证明令 ， ， ， 则 ， ， ， 从而 ，故 、 、 三线共面． 例7如图 ，已知 是正方形 所在平面外一点，点 、 分别在 、 上，且 ．求证：直线 平面 ． 证明令 ， ， ，则 ． 故由共面向量定理知 、 、 为共平面 向量． 又 平面 ，所以 平面 ． 例8如图 ，已知平行六面体 中的底面 是边长为1的正方形，侧棱 ，并且 与 、 的夹角为 ． （1）求线段 的长； （2）若 为 之中点，求 的长； （3）求异面直线 与 所成角的大小； （4）证明： ． 解（1）因 ，则 ． 故 ． （2）因 ，则 ， 故 ． （3）因 ，则 ，即 ． 设 与 所成的角为 ，则 ， 故 ． （4）由 ，则 ， 故 ． 2．选择适当的回路，再运用内积求解问题 例9如图20-9，在棱长为1的正方体 中，连 交平面 于点 ，求 的长． 解因 ． 则 ． 同理 ，从而 平面 ． 于是 , 所以 ． 例10如图 ，设 、 分别是正方体 的棱 和对角线 的中点，求证： ． 证明 由 即知 ． 3．运用向量的坐标运算求解问题 例11正方体 中，二面角 ，的度数是__________． （2004年全国高中联赛题） 解设正方体为单位正方体，建立如图 的空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 ． 于是， ， ， ， ． 设平面 和平面 的法向量分别为 ， ． 由 ， ， ， ，得 ， ， ， ． 令 ，则 ；令 ，则 ． 于是， ， ，，设 ， 的夹角为 ． 故 ． 所以， ，又易知二面角 的平面角为 ． 因此二面角 为 ． 注求二面角时，应注意法向量 、 的夹角是与其平面角相等还是互补，这可根据图形实际加以判定． 例12正三棱柱 的9条棱长都相等， 是 的中点，二面角 ，则 口__________．（2011