山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第19章空间射影图的性质及应用

第十九章空间射影图的性质及应用 【基础知识】 空间中一点在某直线或在某平面上的射影，就是从该点向直线或平面所作垂线段的垂足． 空间一条直线在一平面内的射影可能是一条直线，也可能为一点，因而空间两异面直线之间的距离，可以转化成两异面直线在某一平面的射影或是两条平行直线，或是一点与一条直线而求． 空间图形有如下一系列有趣的性质： 性质1从空间一点向一个平面所引的斜线段中，斜线段相等其射影相等，斜线段较长的其射影也较长．反之亦真． 性质2长度为 的线段与其射影线段的长 有如下关系： ．其中 为长度为 的线段所在直线与射影线段所在直线的夹角． 性质3长度为 的线段在与其共面的两相互垂直的直线上的射影长 ， 有如下关系式： ． 注此式即为三角形中的勾股定理． 性质4长度为 的线段，与它在三条两两互相垂直的直线上的射影长 ， ， 有如下关系式： 注长方体对角线长的公式是其特例． 性质5长度为 的线段 的两端点 ， 分别属于一个角度为 的二面角的两个半平面 与 ， 与平面 所成的角为 ，与平面 所成的角为 ，点 ， 到这个二面角的棱的距离分别为 ， ，则 ． 证明如图 ，设 垂直于二面角的棱，作 于 ，则 为 在平面 上的射影，知 又 为 在 上的射影，知 ，于是 ， 故有 ． 同理可得 ．故 ． 注若 与二面角的棱垂直时，上式即为三角形中的正弦定理． 性质6设 EMBED Equation.DSMT4 在平面 的一侧，顶点 在平面 上，边 ， 与平面 所成的角分别为 ， （ ， ），在平面 上的射影分别为 ， ， ，平面 与平面 所成的二面角为 ，则 ． 证明不妨设 ， ， ，过 引 ，交 于 ，则有 而 ， ． ，从而 ． 又 ， ，由此印可证． 性质7已知 的两边与平面 相交于 ， 两点，点 在平面 内的射影为 ，且 ， ， 不共线．设直线 和 与平面 所成的角分别为 ， ，那么当且仅当 时，有 ． 证明如图 ，在 中， ． 同理， ． 在 中， ． 从而，在 中， ． 又 ， ， ， ，从而 因此，有 ． 注（1）性质7中条件“ ， ， 不共线”可放宽为“ 与 ， 都不重合”． （2）若已知 的两边与平面 相交于 ， 两点，点 在平面 内的射影为 ，且 ， ， 不共线．令 ， ，平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则当且仅当 时，有 EMBED Equation.DSMT4 ．（此结论的证明可见《数学通报》2001年4期P22页） 性质8在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积 与这个二面角度数 的余弦之乘积，等于这个多边形在此二面角的另一个半平面上射影多边形的面积 ．即 ． 性质9设顶点 在平面 内，两边 ， 分别与 在同侧所成角为 ， ，且 的两边 ， 在平面 上的射线分别为 ， ， ，平面 与平面 所成的二面角为 ，则 ． 证明由性质8，有 ． 于是， ． 由性质8并注意性质5，即得如下两个推论： 推论1 ． 推论2 ． 性质10面积为 的平面多边形与它在三个两两互相垂直的平面上的射影面积 ， ， 有关系式： ． 【典型例题与基本方法】 例1如图 ，在 中， 、 、 将其周长三等分，且 、 在 边上，求证： ． （1988年全国高中联赛题） 证明不妨设周长为1，设 、 分别为 、 在 上的射影．则 ． , , ． ， , , , ． 例2如图 ，在正方体 中， 是 的中点， 在 上，且 ．求平面 与底面 所成的二面角． （1985年全国高中联赛题） 解作 于 ，设 ， ，则 ， ．易知 为 在平面 上的射影角，即 ．由性质9的推论2，有 ，故平面 与底面所成二面角为 ． 例3设 为圆柱的轴截面， 为底面圆周上一点， ， ， ．求平面 与圆柱底面 所成的二面角． 解如图 ，设 ， ， ．由 ， ，所以 ， ．又因 ，故 ， ，则 ， ． 于是 ，由此得 ． 显然， ，以此代入性质9中结论，得 ，从而 ． 故平面 与底面成 的二面角． 【解题思维策略分析】 1．射影——空间通往平面的桥梁 一些空间元素间的距离，或者线、面之间所成的角，常常可以通过射影的方式，把要求的数据通过它们在某一平面的影象而获得． 例4设正方体 的棱长为1， 是面对角线 上一动点， 是底面 上一动点，试求 的最小值．（1998年“希望杯”竞赛题） 解由题设，知 最小时，点 必定是点 在底面上的射影，如图19-6（a）， 与 是在二面角 的两个面内，为此将 绕 旋转 ，使 与对角面 在同一个平面内，如图19-6（b）． 由 ，故当 ， ， 共线且与 垂直时， 最小，可求得 ．故所求最小值为 ． 例5在四棱锥 中，底面 是凸四边形， ，且 与 的交点 恰是顶点 在底面上的射影，证明： 点在四棱锥各侧面上的射影在同一圆周上． 证明如图19-7（a），设 ， ，