山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第18章几何变换的性质及应用

第十八章 几何变换的性质及应用 习题A 1．若 与 重合，则结论显然成立．今设 与 不重合，将半圆以直径为轴，对称变换成整圆，设 ， 为 ， 关于 的对称点，则 ， ， 共线， ， ， 也共线． ．故 ， ， ， 共圆． 2．等腰 的外心 在顶角平分线上，而顶角平分线又是 的对称轴，以 为轴作 的对称 ，则 ． 由 ，有 ．连 ， ，设 是等腰 的对称轴，则 垂直平分 （ 为垂足）．于是 ，从而 与 关于 为轴对称，所以 ．又已证 ，所以 ，故 ， ， ， 四点共圆． 3．设直线 与 的交点为 ，过 作直线 ，分别作出 ， 关于 的对称点 ， ，则 ， 在 上．连 交 于 ，则 点为所求．设 ， 与圆的交点为 ， ．由对称性，知 ．又 ，所以， ， ，从而 ． 4．将 绕 点逆时针旋转 处，使 重合于 ．因 ，故 ， ， ， 共圆．设 ， 交于 点．由 ∽ ∽ ，知 ， ，于是 ，故 ． 5．易知 ．分别过 ， 引 ， 垂直于 交 于 ， ，交 于 ， ．显然，它们也垂直于 ．由 ∽ ， ； ∽ ， ； ∽ ， ．于是 ，即 ．又 ∽ ，有 （相似三角形对应高的比等于相似比），于是 ，故 ，即 ，故 ．因此 ． 注：此题中，若 为直线 与 的交点，可类似证明，得到 ． 6．设这两个等圆的对称中心为 ．从 引出的两条射线分别交圆周于 ， 及 ， ，如图所示．又 ， 及 分别是 ， 及 关于 点的对称点，由对称性知 ，从而 ，即 ，所以 ， ， ， 四点共圆． 对于右图情形，有 ，从而 ．而 ，因此， ，故 ， ， ， 四点共圆． 7．由 ，有 ， ，从而 ∽ ，即有 ．又 ， ，因此 和 关于 点为中心位似，所以点 ， ， 在一直线上．结论证毕． 注：题中条件 可省略；当 为平行四边形时结论亦成立． 8．以 为位似中心， 为位似比作位似变换，则 ， ．四边形 的外接圆变为 的外接圆，并且点 变为点 在 的外接圆上．由 ∶ ∶ ， ，知 ．由相交弦定理及 ，有 ，即 ，即 ，亦即 ． 9．由 知 是平行四边形．因此，等边三角形的边 ， 互相平分于点 ，从而 ， 及 ， ． 今以 点为中心，先作按顺时针方向旋转 的变换，再作位似比为 的位似变换，于是 点变为 点， 点变为 点，从而线段 变为线段 ．因此 且 ． 10．设 在旋转过程中的任一位置如图 ．考虑这样两个位似旋转变换： 和 ．在前一个变换下，点 变到 ， 的中点 变到 ．在第二个变换下，点 变到点 ，点 变到 ．因此 是两个变换的复合的不变点．由于 ．在这个复合变换下点 变到 ，所以 ．又 ，由此即证得命题成立． 11．由于要证明的两角在两个三角形中，且题设中有线段的比内分不在一条直线上两线段，条件较分散，须作辅助线将条件集中．不妨连 ，则 ．假设 ，则 ．（*）故 ． 因为在位似变换下，直线变成与它平行的直线，则 ，从而 ， ．又 ，由此两式相除，得 ．又 ，则 ，从而 ．故 ． 12．设直线 交 于 ，交 于 ，作位似变换： ； ， ； ，则 ， ， ． 由 ，故 ． 习题B 1．连 ， ， ， ， ， ， ，易知 为平行四边形，即 ．同理，有 ， ．于是，分别将 ， 平移使之与 重合．设 ， ，则 共线， 共线， 共线，由此即知 ．即证． 2．将 绕 点旋转 角到 的位置，使 ，则 ， ，于是 ．由 ∽ ，有 ，即 ．又因为 ， ，从而 （其中 于 ， 于 ， 于 ， 于 ）． 3．（1）由 ，知 ． 将 、 旋转 到 ，则由 及已知 知 ．又 （因 ），知 ∽ ，从而 ， ，则 ，于是又有 ∽ ，即有 ，而 ，则 ，故 ． （2） 的外接圆在 点的切线与 夹角等于 （弦切角与圆周角）， 的外接圆在 点的切线与 夹角等于 ，且两切线在 不同侧，故它们的夹角等于 ，即两切线互相垂直． 4．若证踢类似结论：对于以 力位似中心，与以BK为直径的圆位似的圆也有类似的性质，则原命题的结论即可成立． 设 的三条高 ， ， 相交于点 ，则以 为直径的 与以 为直径的圆位似，且 过点 ， ．由 ，有 ． 设 为 的中点，连 ，则 ，从而 ．于是 ，所以 是 的切线． 同理可证 也是 的切线． 由位似图形性质的对称性，以 为直径的圆也有同样的性质． 5．将 沿 平移至 ，那么以 为中心，位似比为 ，将 ， 和 的中点变到 ， 到 ．由图形的对称性可知 ，所以 ，从而 ． （因 ） （因 ） （因 ） （因 ， ， 在以 为圆心的同一圆上）． 所以 ， ， 共线，因而在上述位似变换下，它们的原象： 的中点， 的中点， 的中点也共线． 6．设 为 的垂心，由 ，知 ， ， ， 和 ， ， ， 分别四点共圆，因此， ，从而 ，即 平分 ．同理， 也平分 ，故 是 的内心（此可由垂心性质直