山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第17章关联三角形巧合点的性质及应用

第十七章 关联三角形巧合点的性质及应用 习题A 1．作高 ，易知 点是 的垂心．再取 的外心 ，由于 是 的重心，可知 ， ， 三点共线（欧拉线）．由 知 ，亦即 ．而 ，知 ，故 ， ， ， 四点共圆．此时， ．从而 ，故知 为正三角形． 2．连 ， ， ， ， ． 、 的延长线分别交 ， 于 ， ．在 中， ， ．因 ，从而 ， （ 为外接圆半径）． 又 ， 为 的内心，故 ， ≌ ，于是有 ． 3．若 ， 两点重合，易断 为正三角形，此时 ， ， ，结论显然成立． 若 ， 两点互异时，过 ， 作直线 ．（i）如果 通过 的一个顶点，易断 为一等腰三角形，此时 ， ， 中，一个为零，其余两个相等，结论也成立．（ii）如果 与 的两边相交，不妨设与 ， 相交，延长 交 于 ， 必为 的中点，连 ．过 ， ， 分别作到直线 的距离 ， ， ．易证 ，从而 ．又由重心性质，知 ，从而 ，故 ． 4．设 为 的中点，则 在 上，且 ．设 为 的中点， 交 于 ，则 为 的重心．连 交 于 ，则 为 的中点，从而 ， ，从而 ．又 ，从而 为 的垂心，故 ． 5．由心径公式（性质 ），有 ， ．在 中用余弦定理，有 ，故 ． 6．设 ， 的延长线交 于 ， ，于是 ， ．由 及 ，有 ，从而 ，故 ． 7．由 ， 及 ，即 ，有 ．在 中， 及 ，可得 ． 8．设 中，边 ， 上的高的延长线分别交 的外接圆于 ， ，则由性质 有 ．又由性质 ， 推导可知 ， ，从而 ，其中等号当且仅当 为正三角形时成立． 9．（1）因 ， 的交点 是 的内心，则 ．又 ， 分别是 的内、外角平分线，则 ， ，从而 ，故 ．同理，有类似这样的五个等式，将此六式相加，即有 ． （2）由性质 可知 ，即 ，故 ． 10．由 题（1）可知 ， ，得 ．又 ，从而 ．同理 ，故 为 的垂心．由性质 可得 ，就是 ．再由 题 的结论可知 ，故 ． 11．设 是 的垂心，则 ，于是 ， ， ， 四点共圆．同理， ， ， ， ； ， ， ， 分别四点共圆．从而 ．同理， ， ，故 为 的外心． 分别过 的顶点作对边的平行线，围出 ，可知 也是 的外心，并且 在以 为直径的圆上．因而，可将 绕 逆时针方向旋转 后，得到的三角形与 位似（以 为值似中心），所以 ，这里 ， 分别是 和 的垂心．所以，只需证明 的外心为线段 的中点，事实上，利用 关于其重心 ，以 为位似比，所得的位似图形为 ，可知 ，而由性质 （欧拉线）可知 ，于是 ，所以 为 的中点． 习题B 1．设 的延长线交 于 ，交 于 ，连 交 于 ．显然 ， ， 共线． 易证 ， ， ， 四点共圆且 的中点 必是 的外心．连 ， ，由内心性质知 ．由托勒密定理，有 ，即 ，从而 ，亦即 为 的中点，所以 ．在 中， ，故 在 的外接圆上．易证 ，且 ，所以 ． 又 ，而 ，从而有 ，即 ，于是 ，故 与 必相切． 2．若 是等边的（点 与 重合），则结论显然成立．今设点 在点 与 之间．作高 ，则 ， ，故 ，因此， ， ， ， 四点共圆．于是 （同为 所对的圆周角）．又 ，于是 ，所以 ． 当点 在 与 之间时，证法同前． 3．设 ， ， ，设半径为 的内切圆与 的边 ， ， 分别切于点 ， ， ，则 ，所以 ． 由 以及欧拉定理 （ 为 的外接圆半径），有 ，即 ．将 ， ， 代入上式，化简得 ，即 ，亦即 ，亦即 ，则 或 ．由 ，求得 ，故 或 ． 4．设 是 的一个内接五边形， 为 的内心， 是 的中点，作 于 ．在 直线 上取一点 ，使 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 由此可知，满足条件 的唯一的点 在直线 上．同理，可以证明点 也在另外的九条直线上， 注：题中 点即为圆内接五边形的“垂心”．在圆内接五边形中，由任意三顶点构成的三角形的重心到圆内接五边形的“垂心”的距离，等于外心到“对边”距离的 ． $$第十七章 关联三角形巧合点的性质及应用 三角形的巧合点在这里是指三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心，三角形的巧合点各 自具有不同的有趣性质，我们已在前面各章做了介绍．这里介绍关联这些巧合点中的某些 点或全体点的一些性质及应用的实例． 【基础知识】 在前面有关章节中，也曾涉及两心或多心的有关结论，为了方便，有几条也重新罗列出来． 性质1三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的两倍． 性质2三角形的外心是外心在各边上射影三角形的垂心． 性质3三角形的内心和任一顶点的连线与三角形外接圆相交，这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线． 性质4三角形的内心和任一顶点的连线，平分外心、垂心和这一顶点的连线所成的角． 性质5三角形的外心与垂心的连线的中点是九点