山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第16章三角形旁心的性质及应用

第十六章 三角形旁心的性质及应用 习题A 1．先证明 与 的交点 为 与 的共同内心，再证明 的延长线与 的交点 为 与 的一个共同旁心． 2．应用旁切圆的性质、正弦定理和割线定理，通过计算实施证明． 3．由题设知 和 分别是 的 ， 的外角平分线，即 为 的旁心，所以 是 的平分线． 作 交 于 ，因 ， ， ，即 是 的平分线，从而点 是 的内心， 平分 ．由于 ，则 ． 因 ，故四边形 内接于圆，且圆心在 的斜边 （即 ）上，所以过 ， ， 的圆的圆心在 上． 4．（1）由 EMBED Equation.DSMT4 ，即证． （2）由 ， ， ， ，知 ． 5．连 并延长，过 作 的垂线，两线相交于 ，过 ，作 、 延长线的垂线 ， ， ， 为垂足，由 ，有 ．设 切 于 ，连 ，则 ，有 ．故 ． 又 ，则 ．同理有 ．从而，以 为圆心， 为半径的圆必切 ， ， 于 ， ， ，即 为 的旁切圆．由旁心性质 ，知 ． 6．因 是 和 的内心，则由内心性质知 ， ．又因 是 及 的旁心，由旁心性质 ，知 ， ．从而 ． 同理， ， ， ，而这四个三角形的高都等于内切圆的半径，所以 ． 习题B 1．用点 表示圆 的圆心，点 表示 的圆心，点 表示 的圆心． ， 分别为圆 ， 的半径，点 是直线 与 的交点，连 ， ， ，则 ．利用 ， ， 共线有 ，从而 ，即有 ∶ ∶ ．而 ，从而 ， （注意 并不与 相切）． 设 分别与 ， 相交于 ， ，则 ， ， 共线．又 ， ， 共线，则 EMBED Equation.DSMT4 （其中注意到 ， ， ），因此， ， ， ， 其圆．由此 （ ， ， ， 共圆） ． 设直线 切圆 于点 ，切圆 于点 ，则 ， ，于是 ．由于 ，因此 ，从而 ．而 ，故 ．又 ， ，故 ． 2．（1）记 ，则 ， ．（2）设圆 切 边于点 ，则 ．当 时，以点 为坐标原点，射线 为 轴正向建立直角坐标系，则 ， ．显然 ， ， ， ．设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 ， ．又 ，故 ．由于 ，从而 ，因此 ．于是 ，即 ． 当 时， 是一个等腰三角形，点 ， ， 三点重合，则点 与点 重合，于是 ，也满足（*）式，故（*）式给出了本题所求的 长． 3．设 的内切圆 交 于 ，则 ．显然 是 的旁心，由旁心性质 知 ， 是 的两条外角平分线，由于 ，故可得 ． 于是 ． 又 ，有 ， ，从而 ． 同理， ， ． 注意到在 中， ，得 ． 4．设另一圆的圆心为 ， ， 的延长线交于 ，则 为 的旁切圆．设 ， ， ， 的半径为 ，则由旁心性质 ，知 ．又 ，而 是圆内切四边形，则 ∽ ．于是 （常数），即 ， ， ．而 ∶ ，故 ，即 ．从而 ，故 ． $$第十六章 三角形旁心的性质及应用 【基础知识】 与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆．如图16-1，一个三角形有三个旁切圆，旁边圆的圆心简称为三角形的旁心，三角形的旁心有下列有趣的性质： 性质1三角形的旁心是其一内角的平分线（所在直线）和其他两角的外角平分线的交点．每一个旁心到三边的距离相等． 注设 为圆弧 的中点， 是该圆弧所在圆周上另一点，若 与 位于弦 异侧，则 平分 ；若 与 位于弦 同侧，则 平分 的外角． 性质2三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心． 为了介绍后面的性质，我们记 的三边 ， ， 的边长分别为 ， ， ，令 ．分别与 ， ， 外侧相切的旁切圆圆心记为 ， ， ，其半径记为 ， ， ． 表示 的面积， ， 分别为 的外接圆半径与内切圆半径． 性质3 ， （对于顶角 ， 也有类似的式子，略）． 性质4 ； ； ． 性质5 ； ； ． 注第三式由平均值不等式推证得． 性质6（1） ， ， ； （2） ， ， ． 事实上，对于（1），由性质2，知 为 的垂心， 为 的垂足三角形，于是 ， ， ， 四点共圆且 为该圆直径，故由正弦定理知 ．由 ， ， ， 共圆知 ，从而 ．同样可得其余两式． 对于（2），易知 ， ， ， 四点共圆且 为该圆的直径，故 ．又 ，故 ．同样可得其余两式． 推论1（1） ； （2） ． 推论2 ． 事实上，由 等三式相加，有 ． 由推论1有 ，即证． 推论3设 的外接圆半径为 ，则 ． 事实上，由 ，即证．或设 交 的外接圆于 ，连 ，则 ，有 ，即 为 的中点，设 是 关于 外心 的对称点，则由三角形中位线性质知 ．同理有 ，即 为 的外心． 推论4设 的内切圆半径为 ，则 ． 事实上，由 即证． 推论5 ， ， ． 推论6（1） ； （2） （ 不等式）． 事实上，对于（1），由 及 ，有 ， ，