山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第15章三角形垂心的性质及应用

第十五章 三角形垂心的性质及应用 习题A 1．B．由 、 、 、 四点共圆，得 ．同理还有两式，相加即得． 2．2∶1．延长 交 的外接圆于 ，证明四边形 为平行四边形即可． 3．不变．分 为锐角、直角、钝角三种情况分别讨论．或设 外接圆半径为1，由垂心性质5，有 ． ．又 ，故 ，而 ，故 （不变）． 4．只需证明 、 ． 5．存在性可通过作图证明，即设 交 外接圆于 ，交 于 ，连结 交 于 ，则 （ 为 外接圆半径）．类似地可在 、 上得到点 、 ．证明直线 、 、 共点可应用塞瓦定理的逆定理． 6．只需证明 是菱形． 7．过 作 交 于 ，有 ，于是知 为 EMBED Equation.DSMT4 的垂心，故 ， ．由 ， 为 中点，于是知 为 的中点，从而 为 的中点． 8．由 ，有 ，而 ，从而 ，于是 ，即 ．同理 ．即证． 9．作 边上的高 ，延长 交 的外接圆于 ，则 ．连 交 于 ，延长 （ 为 在 上的射影）交圆于 ，与 的延长线交于 ，则 EMBED Equation.DSMT4 为等腰三角形．由 ，可证 （ 为 在 上的射影）．又 为 的中点，所以 为 的中点． 10．设 中点为 ，连 与 交于点 ，于是 ．设 ， 是 的两条高，于是点 在 上．由 ，知 ， ， ， 四点共圆，即有 ．连 ，则 ．由射影定理，有 ，即有 ，故 ， ， ， 四点共圆．连 ，由 ，知 ，从而直线 与 重合，故 ， ， 三点共线． 11．连 ， ，由 是弧 的中点，知 ．又 ，则知 为 EMBED Equation.DSMT4 的垂心．连 交 于 ，则 ．又 ，则 ．而 为 中点，故 ． 12．由正弦定理， ，可知 ，且 ， ， ．在 中， ， ， ． 是 的垂心，由 ，即 ．同理 ， ．由三角形垂心的唯一性及三圆公共点的唯一性可．知结论获证． 13．由 及 ，有 ，解得 ．再由正弦定理 ，得 ． 14．由正弦定理及等比定理，有 ．又 ，有 ．因此 ． 由 为锐角三角形内一点，有 ． 故 ． 15．延长 交 于 ，作 于 ，由垂心性质9，有 ．又 ， ，知 ，即 为平行四边形，点 为 中点，或由垂心性质6，有 ．又 ，在 中， ，则 ．同理 ，得 为平行四边形． 16．连 ， ， ， ．因 ， 与 相切，所以 ．又 ，所以 ．同理 ，所以 为 EMBED Equation.DSMT4 的垂心，故 ，又 ，故 ， ， 三点共线． 17．连 并延长交 于 ．由 ， ，所以 为 EMBED Equation.DSMT4 的垂心，则 ．设过 的切线与 交于 ，所以 ．又 ， ， ， 四点共圆，所以 ，故 ．又 ，则 是 的中点．同理可知过 的切线也过 的中点 ，所以过点 ， 的切线与 三线共点于 ． 18．由垂足三角形性质（Ⅲ），当 时， ，它是关系式 的加强． 习题B 1．由 ， 为 的高，知 ， ， ， 四点共圆，有 ．又 ，知 ，从而 ，从而 ， ， ， 四点共圆，故 ．① 连 ， ，则 ， ．但 ， ， ，从而 ，即有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故 ，于是 ．②由①，②得 ，即 ， ， ， 共圆． 2．设 为 的垂心，而 是边 的中点．分别在线段 和 上取点 和 ，使 于 ， 于 ．将直线 和 的交点记作 ，由于 ，所以四边形 内接于圆．现在来证明 与 相互重合． EMBED Equation.DSMT4 为等腰三角形（ ），因为 ，因此点 位于 的平分线上．现证 亦在直线 上．事实上， ，因它们有两对内角对应相等，因此 ．同理， ，因此 ，进而 ，此因 ，故 ．由此得知 ．所以，线段 的中点位于直线 之上，由于 是平行四边形，所以点 在直线 上，故知点 是直线 与 的平分线的交点．从而点 与点 重合． 3．设 ， EMBED Equation.DSMT4 的内心分别为 ， ．又设 的延长线与 的延长线交于 ， 所在直线交 于 ， 所在直线交 于 ．由于 ， 分别为 ， 的平分线，则 为 的内心，由 为 的平分线， ， ，易得 ，从而 ，故 ．同理 ．从而 又为 EMBED Equation.DSMT4 的垂心．所以 ．又 ，所以 ，即 ，即有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ．设 ，得 ，而 ，显然 斜边中线长不小于高，即 ，故 ． 4．先看由 点得的直线 交 的高 于 ，垂足 ， 各是 ， 之中点；作 于 ，显然 ， ， 共线（西姆松线）．延长 交圆于