山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第14章三角形重心的性质及应用

第十四章 三角形重心的性质及应用 习题A 1．易知 ，则 ，故 为 的重心． 2．先证 ，再由 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，得 ，同理 ， ，则 ． 3．易知 到 的距离等于 内切圆的半径 ，则 边上的高为 ，再利用面积法证明． 4．证明 EMBED Equation.DSMT4 与 的重心重合． 5．由 ， ， ，有 ，知两中线 ， 垂直．于是 ． 6．连 ， ，并延长相交于 ，则 为 的中点．由 ， 分别是 和 EMBED Equation.DSMT4 的重心，则 ．于是 ， ．从而 ， ， ， ， ，故 ． 7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质，推知所有这些直线都经过 的重心，即共点于重心． 习题B 1．设 为 的重心，连 并延长到 使 ，连 ， ，则以三条中线 ， ， 围成的三角形就是 EMBED Equation.DSMT4 ．当 ， ， 成等差数列时，若 为正三角形，易证 ．若 ，有 ， ， ．将 分别代入以上三式，得 ， ， ，从而 ，故有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ．反之，若有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，当 中 时， EMBED Equation.DSMT4 中 ，且 ．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯 ”，有 ，即 ，故 ． 2．分两种情况讨论．①若 ， 两点重合，易断 为正三角形，此时 ，结论显然成立．②若 ， 两点互异，过 ， 作直线 ．若 通过 的一个顶点，易推知 为等腰三角形，此时 ， ， 中一个为零，其余两个相等，结论亦成立；若 与 的两边相交，不妨设 与 ， 相交．延长 交 于 ， 必为 的中点，连 ．过 ， ， 分别作到直线 的距离 ， ， ，易证 ，从而 ．又由重心性质知 ，从而 ，故 ． 3．要证 ， ， 成等差数列，只需证 ，又在 中，由 ，有 ．故只需证 ，亦即 ． 因 为外心，有 ， ．又由 是重心，有 ．注意到 ，有 ，故 ，从而 ，即由 ，有 ，由此即证． 4． 中，重心 到三边距离之和为 ， 内切圆半径为 ，内心 到三边距离之和为 ． 记 ， ， ，射线 交 于 ，连 ， ．则由 知， ．同理， ， ．于是 ，即证． $$第十四章 三角形重心的性质及应用 【基础知识】 三角形三条中线的交点称为三角形的重心，三角形的重心有下列有趣的性质： 性质1设 为 的重心，连 并延长交 于 ，则 为 的中点， ，且 ． 性质2设 为 的重心，过 作 交 于 ，交 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，则 （1） ；（2） ． 性质3设 为 的重心， 为 内任一点，则 （1） ； （2） ． 证明（1）设 为 边上的中点，则对 和 分别应用余弦定理，有 ， ， 而 ， ，于是，有 ． 又 ， 分别是 的 边， 的 边上的中线，有 ， ，从而 ． （2）由性质1，有 ， ， ，此三式相加，整理即得 ． 注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ． 性质4设 为 内一点， 为 的重心的充要条件是下列条件之一： （1） ； （2）当点 在三边 ， ， 上的射影分别为 ， ， 时， 值最大； （3）当 ， ， 的延长线交三边于 ， ， 时， ； （4）过 的直线交 于 ，交 于 时， ； （5） ． 证明（1）必要性：延长 交 于 ，则 为 中点，有 ， ，故 ． 同理， ，故 ． 充分性：如图14-1，令 为 内一点，连 并延长交 于 ，连 并延长交 于 ．记 ， ， ， ， ， ， ， ． 由 ， ，故 ． 即 ，亦即 ， ． 又 ． ． 再由正弦定理，得 ，于是，由上述两式，有 ，于是 ，即 为 的边 上的中线． 同理，可证 为 边 上的中线． 故 为 的重心． 注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比． （2）充分性与必要性合起来证． 设三角形三内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ．记 ， ， ，由 ， ， ，知 为定值．由三个正数的平均值不等式，有 ，即 ．此式当且仅当 时，即 时等号取得，即 为 的重心时，结论成立． （3）仅证充公性：如图14-2，设 ， ， ， ． 由 ， ， ，有 ，① ，② ．③ 由① ②得 ，即 ．④ 同理 ，⑤ ．⑥ 若 代入④得 ．即有 ，再代入①得 ，故 ． 若 ，则 ， ，由④×⑤×⑥得 ，⑦ 而 ， ， 为正数，则 ， ， ，等式⑦无正数解， 故只有正数解 ，即证． （4）必要性：如图14-3，设 为 的边