山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第13章三角形外心的性质及应用

第十三章 三角形外心的性质及应用 习题A 1．证 ． 2．先证 、 、 和 、 、 分别共线，再证 、 、 、 四点共圆，最后证 点在此圆上． 3．利用 ， ， 以及 证明． 4．证明点 、 、 均在 的外接圆上． 5．连结 并延长交 于 ，则 为 的中点，可证 、 、 三点共线，对于圆内接四边形 ，由托勒密定理及 ，可证得 ． 6．应用外心张角公式和正弦定理． 7．作 的外接圆，连 交圆于 ，连 ， ．由于 ， ，则 ．又 ， ，则 ，从而 为平行四边形，故 ．在 EMBED Equation.DSMT4 和 中， ， ， ，从而 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故 ． 8．设 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的外接圆半径分别是 ， ．设 ， 分别是 ， 的中点，则 ， ， ．由正弦定理，知 ， ，因 ，有 ．从而 ， ，故 ，即有 ，亦即 ．由 ，有 ，从而 ，于是 ． 9．连 ，由于 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，有 ，由此可知 与 相切于点 ，从而 ， ， 三点共线．同理 ， ， 三点共线．连 ， ， ， ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，从而 ，故 ， ， ， 四点共圆．又 ， ，故 ，从而 ， ， ， 共圆，因此有 ， ， ， ， 五点共圆． 10．过 作 的平行线交 于 ，交 的延长线于 ，作 于 ，则 是 的中点，而 ，即 ．又 ，则 ， ， ， 四点共圆．连 ，知 ．因 ，则 ，进而 ，故 ， ， ， 四点共圆．所以 ，从而 ．又 为 的中点，则 是 的中点，又 ，从而 是 的中点，故 ． 11．作 于 ，作 于 ．连 ，由中位线定理，有 ．设 EMBED Equation.DSMT4 的外接圆半径为 ， EMBED Equation.DSMT4 的外接圆半径为 ，连 ， ，有 ， ．在 和 中，由 ，① 得 ，从而 ， ，② 在 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 中，由①，②有 ，则 ，得 ． 12．（1）由轴对称的性质有 ，又由 ， ，有 ，即知 为 EMBED Equation.DSMT4 的外心．同理 为 EMBED Equation.DSMT4 的外心，从而 ， ，但 ，从而 ．由角平分线性质，即有 ． （2）由（1）知 ，又 ，由此即证． 13．显然， 是正三角形， ，由 有 ．又由 可知点 是 EMBED Equation.DSMT4 的外心，故 ．又 ，则 ，即有 ，亦即 ，故 ． 14．作 ， 在 上，易证 ， ， ， 四共点圆，得 ，又 ， ，故 ，从而 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故 ，即有 ， ， ， 四点共圆，即 在 的外接圆上．又已作 ，可断定线段 必是 外接圆的一条直径．换言之，直线 通过 的外心．同理，直线 ， 也通过 的外心． 习题B 1．设 ， ， 为三个等圆的圆心，且 ， 均与 相切，则 ， 到 的距离相等，即 ．同理 ， ．又 ， ， 在 的角平分线 ， ， 上，则 与 EMBED Equation.DSMT4 位似，位似中心为 ．又 ，则 为 EMBED Equation.DSMT4 的外心，故 ， ， 三点共线． 2．连 ， ， ， ，因 与 相切，知 ．同理 ．由三角形外角等于不相邻两内角之和，可得 ．又由 为 的外心，有 ，即有 ，于是 ， ， ， 四点共圆．从而 ， ，即 ． 3．设圆内接四边形 的对角线 ， 相交于 点，过 作直线 于 ，作 的中垂线交 于 ，交 于 ，下证 为 EMBED Equation.DSMT4 的外心． 过 作 交 于 ，则 ， 为 的中点，由 ，知 ， ， ， 四点共圆，记为 ．由 为直角，因此 为 （即 EMBED Equation.DSMT4 外接圆）的中心，故为其外心． 4．设 与 交于 ，连 ，过 作 ．由3题结论知点 必在直线 上，又 ，故 ，即 ．同理可证 ，所以四边形 力平行四边形， 与 互相平分．设它们相交于 ，此即是说 通过 的中点 ．同理 过 的中点 ，故 ， ， 三条直线共点． 5．作 EMBED Equati