山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第12章 三角形内心的性质及应用

第十二章 三角形内心的性质及应用 习题A 1．先证 、 、 、 、 五点共圆，再证 、 是 EMBED Equation.DSMT4 的两条内角平分线． 2．先证 、 、 、 四点共圆，再证 ． 3．因为 ， ，所以只须证 即可． 4．注意 ，只须证明 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 的周长之和等于 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 的周长之和． 5．连 并延长交 于 ，连 ．因 ， 为 EMBED Equation.DSMT4 的内心，则 ， ，即 ， ．① 又 ，则 ，从而 ．连 ，则 ，从而 ，于是 ，故 ．② 由①，②得 ．又 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ．从而 ，且 ． 6．由 ， ， ， 四点共圆，有 ．同理 ．从而 ． 同理得 ， ．于是原不等式等价于 ．又 ． 类似其他两式，此三式相加即证． 7．过点 作直线 的垂线，垂足为 ．连 ， ， ，由 ， ，知 ， ．由 ，知 ， ， ， 共圆，从而 ，即 ．由 ， ，知 ，而 ，从而 ．又 ， ，有 ，得 ．因 ，则 ，即知 是 EMBED Equation.DSMT4 的外心．于是 ， ，故 是 的内心． 8．设 切 于 ，连 ，则 ．设 的外心为 ，连 并延长交 于 ，连 ， ，则 ．又 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，即有 ，由内心性质3得 ，于是 ，故 ． 9．（1） 可变形为 ，由内心性质6有 ，① ，此即为 ，亦即有 ，② 由 ① ②得 ，即证． （2）由内心性质8，有 ，即 ，亦即 ，③ 由① ③即证． 10．延长 交 的外接圆于 ，因 是 的内心，由内心性质3知 ，从而知 是 EMBED Equation.DSMT4 的外心．又 是 的外心，则 与 重合，从而 在 的外接圆上．同理， ， 也都在 的外接圆上，由此知 ， ， ， ， ， 六点共圆，故 EMBED Equation.DSMT4 与 有相同的外心． 习题B 1．设 的内心为 ，由内心性质5有 ，于是 ，即 ，①又由性质8有 ，② 由①，②有 ，于是 ．同理 ， ，此三式相加即证． 2．设 ， ， ， 中点分别为 ， ， ， ，则 ，即 EMBED Equation.DSMT4 为等腰三角形．又 平分 ，有 ．同理 ，有 ．同理 ，故四边形 为平行四边形．但 ，而 ， 分别与它们垂直，即有 ．故 是矩形． 3．（1）设 为 的内心，即 为 ， ， 的交点．设 ， ，则 ， ，所以 ，易知 ，所以 ， ．于是 ．类似地还有其他五个等式，这六个等式相加即得 ． （2）由于 ， 分别是 ， 的中点，所以 是 EMBED Equation.DSMT4 的中位线，平分 ，从而 ，类似地还有三个等式，将它们相加得 ，于是只需证明 ．又 （ 为外接圆半径）， EMBED Equation.DSMT4 的内角分别为 ， ， ，因此 EMBED Equation.DSMT4 ． 4．由3（1）得 ， ，则 ， ，易见 ．由3题结论得 ，即 ． 5．设 ， ， ， ， ， ，设 的内切圆半径为 ．由 ， ， 是 中点及 ，可推得 ．但 ， ，注意到 ，则 ，故 ，即 ，同理可得 ．另一方面，由已知 可得 ．于是由 得 ，故 ．由余弦定理知 ，故 ． 6．由 有 ， ，而 与 是两条切线，则 ， ，从而 ．连结 ，则 ．又 ，则 ．从而 ，有 ，故 ，即 （ 为内切圆半径） ，即 为锐角． 7．由例10知 ，且 及 ，故 ． 8．令 ， ， ， ， ， ，由题设及正弦定理，得 等三式， 等三式，有 ， ，故 ，而 ，故 ． 9．要证 ，即须证 ．由 ， ， ， 共圆及 平分 知 ． 还须证 ．由条件易知 ， ， 共线，且直线 ， 关于等腰梯形的对称轴 对称，即两直线交点 在 上， 平分 且 ，故 ．又易知 ， ， ， ， 五点共圆，有 ，故欲证 ，只须证 （因 ， ， ， 共圆， ），又 ，即证 ．但由 平分 及 在 的外接圆上，有 （内心性质3），于是 ． 10．作高 ，又作 使 且 交 于 ，连 ，易知 是 EMBED Equation.DSMT4 的内心（ ， 是角平分线）， ．设 交 于 ，则 ，故 与 重合，从而 ， ． 11．连 并延长交 于 ， 是 的平分线．设 ， ， ．由三角形内角平分线性质有 ， ．又设 ，由已知 ， ． ， ．而由 ，而由内心性质，