山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第11章 线段调和分割的性质及应用

第十一章 线段调和分割的性质及应用 【基础知识】 设两点 、 内分与外分同一线段 成同一比例，即 ，则称点 和 调和分割线断 ，或 、 、 、 为调和点列（特别地，若 为 的中点时，则 为无穷远点）．若从直线外一点 引射线 、 、 、 ，则称该线束为调和线束，且 与 共轭，或 与 共轭． 性质1 如图11-1，设 、 、 、 是共线四点，点 为 的中点，则 、 调和分割线段 的充要条件满足下述六个条件之一： （1）点 、 调和分割 ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 证明 （1）由 、 调和分割 ． （2） ． （3） ． （4） ． （5） ． （6） ． 性质2 （调和点列的角元形式）设 、 、 、 是共线四点，过共点直线外一点 引射线 ， ， ， ．令 ， ， ，则 的 充要条件 ． 证明 如图11-2，运用三角形正弦定理，有 ， ， ， ． 于是 ， ． 从而 ， 故 ． 性质3 设 、 、 、 是共线四点，过共点直线外一点 引射线 、 、 、 ，则 、 调和分割线段 充要条件是满足下述两个条件之一： （1）其中一射线的任一平行线被其他三条射线截成相等的两线段； （2）另一直线 分别交射线 、 、 、 于点 ， ， ， 时，点 ， 调和分割线段 ． 证明 （1）如图11-2，不失一般性，设过点 作 交设线 于 ，交射线 于 ． 注意 ，有 ． （2）不失一般性，过点 作 交射线 于 ，交射线 于 ． 为 的中点 注意 ，知 为 的中点 ， 调和分割线段 ． 注 （2）也可应用性质2来证． 性质4 如图11-3，对线段 的内分点 和外分点 ，以及直线 外一点 ，给出如下四个论断： ① 是 的平分线；② 是 的外角平分线； ③ 、 调和分割线段 ；④ ． 以上四个论断中，任意选取两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题． 证明（1）由①、②推出③、④．此时，有 ，显然 ． （2）由①、③推出②、④．此时，可过点 作 ，交射线 于点 ，交射线于点 ，则由性质2（1）知 ，从而知 ，亦知 ，亦即有 平分 的外角． （3）由①、④推出②、③．此时，推知 是 的外角平分线，由此即知 、 调和分割线段 ． （4）由②、③推出①、④．此时结论是显然成立， （5）由②、④推出①、③．此时结论亦显然成立． （6）由③、④推出①、②．此时，不妨设 ， ，由 ，知 ， ．由正弦定理或共角比例定理，有 ， 亦即有 ． 从而知 平分 ．此亦可推知 是 的外角平分线． 推论1 三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割． 推论2 不相等且外离的两圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割． 推论3 若 、 两点调和分割圆的直径 、 ，则圆周上任一点到 、 两点的距离之比是常数． 推论4 从圆周上一点做两割线，将它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这条直线的直径所在直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割． 证明 如图11-4，直径 弦 有 ，从而知 平分 ．又 ，由此，即知 被 、 调和分割，故 被 、 调和分割． 推论5 一圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交（即交点处的切线互相垂直）． 证明 如图11-5， 与 相交于点 ， 过点 、 、 为 直径，且 、 、 、 共线． 、 调和分割 ． 推论6 设点 是 的内心，角平分线 交边 于点 ，射线 交 的外接圆 于点 ，则射线 上的点 为 旁心的充要条件是 ． 证明 由题设有 ，即 为 的圆心，则 为 的旁心（在 内的） 在 上，且 且 ． 推论7 设 的内角平分线 交 于 ，交 的外接圆于 ，则 ． 性质5 设点 、 调和分割线段 ，从以线段 为弦的圆上一点 引射线 、 分别交圆于点 、 ，则 ． 证明 如图11-6，联结 ， ，由性质2，知 ． 注意到正弦定理，则 上式 ． 注 （1）一般地，称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形．图11-6中的四边形 即为调和四边形．这条性质给出了由调和点列得调和四边形的方法． 这条性质揭示了调和点列与调和四边形的关系． 上述命题的逆命题也是成立的．若 为调和四边形，点 为弧上一点，联结 、 分别交 于 ， ，则 、 调和分割线段 ． （2）调和四边形也可以由下述方法得到． 从圆 外一点作圆的两条切线 、 ，切点为 、 ，引割线 交圆于 、 ，如图11-7，则由 ， ，注意 ， 有 ． 故 ，四边形 为调和四边形． 此时，令 交 于 ，则由正弦定理及性质2，有 ． 这说明点 、 调和分割线段 ．这也揭示了调和四边形与调和点列的关系，且调和四边形一对顶点与另一对顶点处切线交点共线． 于是，我们由如下结论： 推论8 从园外一点引 的割线交 于 ， ，若割线 与点