山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第10章 根轴的性质及应用

第十章 根轴的性质及应用 【基础知识】 定义 从一点 作一圆周的任一割线，从 起到和圆周相交为止两线段之积，称为 点对于此圆周的幂． 由相交弦定理及切割线定理，知点 的幂是定值：若这点在圆内，则这点的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方；则若这点在圆外，则这点的幂等于从这点所引圆周切线长的平方；若这点在圆周上。则这点的幂等于0． 由定义，幂由下列的结论： 结论1 点 对于以 为圆心的圆周的幂，等于 及半径的平方差． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线． 事实上，如图10-1，设点 到 和 的幂相等， ， 的半径分别为 和 （ ），则 ，即 常数． 设 的中点为 ， 于 ，则 ， ，即 ， 亦即 =常数．所以， 点是一定点，过 点的垂线即是两圆等幂点的轨迹． 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴． 特别地，若两圆同心，则 ，从而同心圆的根轴不存在；若 ， 变成一点 ，则 点在 的幂是 ．此时，直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有如下性质： 性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线． 由于两圆的交点对于两圆的幂都是0，所以，它们位于根轴上，而根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线． 性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行． 事实上，若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上．这一点，称为三圆的根心．例如，三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心． 显然，当三个圆的圆心在一直线上时，三条根轴互相平行；当三个圆的圆心不共线时，根心存在． 性质4 若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上． 【典型例题与基本方法】 1．注意点对圆周的幂的结论的应用 例1 如图10-2，从半圆上的一点 向直径 引垂线，设垂足为 ，作 切 ， ， 分别于 ， ， ．求证： ． 证明 设半圆的圆心为 ，则 ， ， 共线．连 ，知 ，得 ．连 ， ，由 ，知 ， ， 三点共线． 又因 ， ，有 ，从而 是 的切线，故点 对 的幂 等于点 对 的幂 ，即有 ． 例2 如图10-3，设 是 的内心，过 作 的垂线，分别交边 ， 于 ， ． 求证：分别于 及 相切于 及 的圆 必与 的外接圆 相切． 证明 延长 交 的半径为 ，则点 对 的幂为 ，于是 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 由 ，知 ． 从而， ． 由此，即知 与 相切． 2．注意根轴性质的灵活运用 例3 如图10-4，设 与 相离，引它们的一条外公切线切 于 ，切 于 ，又引它们的一条内公切线切 于 ，且 于 ．求证：直线 和 的交点在两圆的连心线上． 证明 设直线 和 的交点为 ，直线 与 的交点为 ，连 ， ，则 ， ． 由 平分 ， 平分 ，知 ，由此推知 ，即 时分别以 和 为直径的两圆 和 的交点，从而 在圆 和圆 的根轴上． 连 ， ，又由 ，知 是圆 的切线， 关于圆 的幂是 ． 同理， 是圆 的切线， 关于 的幂是 ．由于 ，所以 是关于圆 和 的等幂点． 同样， 是关于圆 和圆 的等幂点．所以 是圆 和 的根轴．于是， 在连心线 上． 例4 如图10-5，已知两个半径不相等的圆 与 相交于 ， 两点，且 ， 分别与 内切于 ， 两点．求证： 的充分必要条件是 ， ， 三点共线． 证明 连 ， ， ，作公切线 ， 相交于 ，则得 ，由此即知自 点向 和 所昨切线长相等，故点 在这两圆 和 的根轴上，且由 ． 连 交 于点 ，则 ，且 ，故 ， ， ， 四点共圆． 由此，即有 在直线 上 ， ， 三点共线． 例5 如图10-6， 中， 为外心，三条高 ， ， 相交于点 ，直线 和 交于点 ， 和 交于点 ．求证：（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） ． 证明 （Ⅰ）过 作 的外接圆的切线 ，则由 ， ， ， 四点共圆，知 有 ，而 ．故 ．同理 ． （Ⅱ）取 的中点 ，下证 为 的外心．设 ， ， 分别为 ， ， 的中点．由 ， ， ， 四点共圆，有 ．同理， ． 从而 又因为 为 的斜边 上的中点，知 ，从而知 ， ， ， 四点共圆． 同理， ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，由此即知 ， ， ， ， ， 六点共圆． 又因为 ， ， 为 的中点，即知 在 的垂直平分线上． 同理， 在 ， 的垂直平分线上，故 是 的外接圆的圆心． 再由 ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，有 ， ．由此即知 ， 对 的外接圆与 的外接圆的幂相等，从而 ， 在这两个外接圆的根轴上，即有 ，故 ． 【解题思维策略分析】 1．根轴与点对圆的幂是密切相关的 例6 如图10-7， 过 的顶点 ， ，且与 ， 交于