山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第9章完全四边形的性质及应用

【典型例题与基本方法】 例1在凸四边形 中，对角线 平分 ， 是 边上一点， 交 于 ， 交 于 ．求证 ． （1999年全国高中联赛题） 证明如图 ，在完全四边形 中，点 为对角线 所在直线上一点，由题设知 ． 由性质6，即知 ． 例2已知圆 与圆 交于 、 两点， 、 为圆 上不同于 、 的两个点，直线 、 分别交圆 于 、 ，直线 和 交于点 ．证明：当点 和 变化时， 的外心总在一个定圆上． （ 预选题，2003年国家队集训测试题） 证明如图 ，当点 和 变化时，点 、 、 、 、 、 组成完全四边形的六个顶点．由性质5知点 恰为全四边形的密克尔点，由此即知 的外心 在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆（即斯坦纳圆）上， 例3如图 ，四边形 的两条对角线交于点 ，两组对边的延长线分别相交于 、 ，过 作 的平行线交 、 于 、 ．求证： ． （《数学教学》2006年第10期问题681号） 证明延长 交 于点 ，在完全四边形 中，由性质3，有 ． 又 ，则 ． 故 ． 注类似地，在完全四边形 中，直线 交 于 ，交直线 于 ，则有 ，故 ． 由此，我们可推证得：过完全四边形对角线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行对角线的同一端点所在边（或延长线）相交，所得线段被对角线交点平分． 【解题思维策略分析】 1．灵活应用完全四边形的优美性质解题 例4以 的边 为直径作半圆，与 、 分别交于点 、 ．过 、 作 的垂线，垂足分别是 、 ．线段 、 交于点 ．求证： ． （1996年第37届 中国国家队选拔赛试题） 证明如图 ，连结 与 ，设它们相交于点 ，因 ， ， 则 为 的垂心，于是 ． 又 ， ，则 ． 由性质7，得点 在 上，于是 ． 例5如图 ，在 中， ， 为 上给定的一点( 不是线段 的中点)，设 为直线 上与 、 都不相同的任意一点，并且直线 、 交于 ，直线 、 交于 ，直线 、 交于 ．试证明交点 与 在直线 上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题） 证明作 ，点 、 均在直线 上．连结 、 ．对 ，由性质7，知 与 的交点 在 上．则 ． 这说明点 由 唯一确定．即点 与 在直线 上的位置无关． 注 例5中条件 是多余的． 例6如图 ，任意五角星形 EMBED Equation.DSMT4 的五个小三角形的外接圆分别交于星形外的五个点 、 、 、 、 ．求证： 、 、 、 、 五点共圆． 证明由于五角星可看做是由五个完全四边形所组成，由密克尔性质知每一个完全四边形有一个密克尔点，此题即证五个密克尔点 、 、 、 、 共圆． 设 的延长线与 的延长线交于点 ，令 ， ， ， ， ， ， ， ． 注意到对完全四边形 及完全四边形 分别应用密克尔点性质知 的外接圆要过 及 ，因此 、 、 、 四点共圆． 又 、 、 、 共圆，则 ，从而 、 、 、 共圆． 再由 、 、 、 共圆，知 ．又由 、 、 、 共圆，知 ．因此 ，故 、 、 、 共圆，即 、 、 、 、 五点共圆． 同样可证 、 、 、 共圆，故五个密克尔点共圆． 例7如图 ，设 是锐角 的高线 上的任一点，直线 、 分别交 、 于点 、 ， 与 交点 ，过 的直线交 于 ，交 于点 ．求证： ． (2003年保加利亚奥林匹克试题) 证明如图 ，连结 、 ，则由完全四边形的性质5，知 ，并令其大小为 ，再令 ， ．欲证 ，只须证明 ． 由 ， 有 ． 同理 ． 注意到 ，只须证 ． 设 ， ，又因 ， ． 于是，又只须证 ， 即 ． 而此式，由完全四边形 应用其对角线调和分割性质即证，故 ． 2．发掘有约束条件的完全四边形问题制作竞赛题的背景 例8如图 ，在完全四边形 中， ． (1)若 ，则 ，反之若 ，则 ． (2)若 (或 )， 为完全四边形的密克尔点，则 或 的外心 ，在直线 上． (3)若 (或 )，点 在 上的射影为 ， 的外心为 ，则 为 的中点，且 ． (4)若 （或 ）， 为完全四边形的密克尔点，则 ，且 ， ． 证明(1)可由完全四边形中含有的比例乘积式（或对 及截线 应用梅涅劳斯定理）有 因 ，则由上式，知 ． (2)由(1)知， 和 的外接圆是等圆（或由正弦定理计算推证得）．又由 、 、 、 四点共圆，有 ，从而 ，于是 ，有 ．故 ． 由于 是 的中垂线，而 在 的中垂线上，故 的外心 在直线 上． (3)由(2)知， 和 外接圆是等圆，从而 ，即有 ，即知点 在 的平分线上，亦即 、 、 共线，从而知 为 的中点． 或者直接计算得 为 的中点，在 中，由正弦定理，知 ． 设圆 的半径为 ，流意到 、 、 共线，则 ． 于是 而 ． 故 ，即 为 的中点． 注意到 ， ，所以 在线段 的中垂线上，故