山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第8章相交两圆的性质及应用

第八章相交两圆的性质及应用 【基础知识】 两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地，由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质． 性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦． 性质2以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形，相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1在相交两圆中，内接三角形都相似． 如图 ， ， ， 均相似． 推论2在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一边垂直，则另两边必分别为两圆直径，反之亦真．如图 中， ， 分别为 ， 的直径 ． 推论3在相交两圆中，两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角． 推论4在相交两圆中，内接三角形的交点（两圆交点）顶点，两非交点顶点以及两非交点顶点处的两切线交点，此四点共圆，或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上． 性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段． 性质4以相交两圆的两交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角的和为 ． 性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等；（3）内接三角形以相交两圆交点为顶点的两边相等（即为等腰三角形）． 事实上，如图 ， 与下 相交于 ， ． （1）令 ， ， 与 为等圆 ． （2） 与 为等圆 ． （3）由正弦定理即证． 性质6过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行． 事实上，如图 所示，即可证得 （证略）． 性质7 与 相交于 、 ， 是过 的一条割线段， 在 上， 在 上， 为 的中点，则 为 的中点的充要条件是 ． 事实上，如图 （a），设 ， ， 分别为 、 、 在 上的射影，由垂径定理，知 、 分别为 、 的中点，由梯形中位线定理知 为 的中点，不妨设 ，则 由 为 的中点 ．（注意 ） 注 特别地，当 与 重合时，有 ． 【典型例题与基本方法】 例1如图 ，四边形 内接于圆 ，对角线 与 相交于 ．设三角形 ， ， 和 的外接圆圆心分别是 ， ， ， ．求证： ， ， 三直线共点．（1990年全国高中联赛题） 证明连 并两方延长交 于 ，交 于 在 和 中， ， ，以而 ，即 ． 利用相交两圆的性质1，知 与 的连心线 公共弦 ，故 ． 同理， ．从而 为平行四边形， 交 于其中点 ． 同理， 也交 于其中点 ． 所以， ， ， 三直线共点． 例2如图 ，证明：若凸五边形 中， ， ，则 ． （第21届全俄中学生（10年级）奥林匹克题） 证明设对角线 与 相交于 ．由 ，知 ， ， ， 共圆．因此， ，即 ，故 ， ， ， 共圆． 此时，两圆 与 相交于点 ， ，从而由相交两圆性质2的推论1，知 ，即 ，故 ． 例3如图 ，两圆 ， 相交于 ， ， 的弦 交 于 ， 的弦 交 于 ．证明：（Ⅰ）若 ，则 ；（Ⅱ）若 ，则 ． （1979年全国高中联赛题） 证明（Ⅰ）对图 （a），因 ， ， ， 四点共圆，有 ，且 ，而么 ，故 ，于是 ． 又由相交两圆性质2的推论1，知 ．注意到 ，则 ，故 ． 对图 （b），由 ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，有 ， 又由 ，知 ， ，有 ，故 ． （Ⅱ）由 及（Ⅰ）中证明，可得 ，由此，可推证得 ． 注此例的第（Ⅰ）部分，1988年又作为第13届全俄中学生数学竞赛题：两圆相交于点 ， ．过点 引直线 ， ，使它们分别与弦 所构成的角相等．除点 外， 与两圆的交点分别为 ， ， 与两圆的交点分别为 ， ．证明： ． 例4如图 ，已知 与 相交于 ， ，直线 垂直于 且分别与 ， 交于 ， ， 为线段 的中点， ， 分别是 ， 上的点， ．求证： ． （1985年广州、武汉、福州联合初中竞赛题） 证明连 ， ，因 ，则由相交两圆性质2的推论2，知 在 上， 在 上．连 ， ，则四边形 为平行四边形，即 ．于是，知 为等腰梯形，从而 ， ． 又 ，注意 ，便有 ． 故 ． 注此例实际上是由 第3题改编而来：平面上两圆相交，其中一交点为 ，两边点各以匀速自 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后同时返回到 点．求证：平面上有一定点 ，它不论在何时皆和两动点等距离． 例5如图 ，平面上两圆 与 相交，其中一交点为 ．两动点 ， 各以匀速自 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后可同时返回到 点．求证：过 的任一割线交两圆的两交点 ， 分别与对应的移动中的 ， 的连线互相平行． （ 试题改编） 证明设两动点 ， 出发后，经某一时段后分别到达 和 上的如图 所示位置．不妨设两动点是按逆时针方向移动，因移动一周的时间相同，故 ． 设 为 与 的另一交点，