山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第7章九点圆定理及应用

第七章九点圆定理及应用 【基础知识】 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆． 如图7-1，设 三条高 ， ， 的垂足分别为 ， ， ；三边 ， ， 的中点分别为 ， ， ；又 ， ， 的中点分别为 ， ， ．求证： ， ， ， ， ， ， ， ， 九点共圆． 证法1连 ， ， ， ，则知 ，即知 为平行四边形．又 ，知 为矩形．从而 ， ， ， 四点共圆，且圆心 为 与 的交点．同理， 为矩形，从而 ， ， ， ， ， 六点共圆，且 ， ， 均为这个 圆的直径． 由 ，知 ， ， 三点也在这个圆上．故 ， ， ， ， ， ， ， ， 九点共圆． 证法2设 的外心为 ，取 的中点并记为 ，连 ，以 为圆心， 为半径作 ，如图 ． 由 ，知 在 上．同理， ， 也在 上． 由 （可由延长 交 的外接圆于 ，得 为平行四边形，此时 为 的中点，则 为 的中位线即得），知 ．又 ，知 ，从而 ，且 ， ， 共线，故 在 上． 同理， ， 在 上． 由 ， ， 共线知 为 的一条直径． 又 ， ， ，知 ， ， 在 上， 故 ， ， ， ， ， ， ， ， 九点共圆． 上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆． 证法3由 ，有 ．注意到 、 分别为 、 的中点， 则 ，即 ，这表明 、 、 、 四点共圆（或者联结 、 ，则由 知 、 、 、 四点共圆）．同理， 、 、 、 及 、 、 、 分别四点共圆． 由戴维斯定理，即知 、 、 、 、 、 六点共圆于 ． 又 ，有 ，注意 、 分别为 、 中点，则 ，知 、 、 、 共圆，即点 在圆 上． 同理，点 、 也在圆 上，故九点均在圆 上． 注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合），若每两对点同在一个圆上，则三对点（六点）均在同一圆上． 事实上，若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形． 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论： 推论1 九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是 的外接圆半径的 ． 注意到 与 是以垂心 为外位似中心的位似形，位似比是 ，因此，可得 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是 的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线），又可得 推论3 的外心 ，重心 ，九点圆圆心 ，垂心 ，这四点（心）共线，且 ， ，或 和 对于 和 是调和共轭的，即 ． 推论4 的九点圆与 的外接圆又是以 的重心 为内位似中心，位似比为 的位似形． 事实上，因 为两相似三角形 与 的相似中心，而 的外接圆即 的九点圆． 推论5一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆． 【典型例题与基本方法】 例1如图 ，设 为 的垂心， 为 边的中点， 为 的中点．过 作 的垂线交 于 ，交 的延长线于 ．求证： ， ， ， 四点共圆． 证明设 的外心为 ，连 ，取 的中点 ， 则 为 九点圆的圆心． 连 ，则 ，从而 ．设 为 的中点，连 ，则 ，由此知 ． 又 ，则 ． 从而 ．故 ， ， ， 四点共圆． 例2试证： 的垂心 与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分． 证明如图 ，过垂心 作 外接圆的两条弦 ， ，连 ， ． 设 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，则 ， ． 又 ，则 ． 故 ， ， ， 四点共圆， 由 ， 的任意性，得 与 外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，由于这个圆过 ， ， 的中点，故这个圆就是 的九点圆，从而命题获证． 例3如图 ， 中， 为外心，三条高 ， ， 交于点 ，直线 和 交于点 ， 和 交于点 ．求证：（1） ， ；（2） ． （2001年全国高中联赛题） 证明（1）设 的外接圆半径为 ，由相交弦定理，有 ， ， 从而 ． 由 ， ， ， 四点共圆，有 ，即 ，亦即 ，故 ．同理， ． （2）由九点圆定理的推论1，知 的中点 为 的外心．又由 ， ， ， 及 ， ， ， 分别四点共圆，有 ， ． 由此，即知 ， 对 的外接圆与 的外接圆的幂相等，从而 ， 在这两个外接圆的根轴上，即有 ，故 ． 【解题思维策略分析】 1．注意题中九点圆的显现形式 例4如图 ， 中， 为外心， 是垂心，作 ， 和 的外接圆，依次记它们的圆心为 ， ， ，求证： ，且这两个三角形的九点圆重合． （ 预选题） 证明由于 ，知 外接圆的半径和 外接圆的半径相等，从而，有 是 关于 的对称点． 设 是 中点，则知 ，即 ． 又 ，则连 与